5.1變量與函數(shù)（第2課時(shí)函數(shù)的表示）教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)為新教材蘇科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第五章一次函數(shù)第5.1節(jié)《變量與函數(shù)》第2課時(shí)“函數(shù)的表示”。核心知識(shí)點(diǎn)包括：函數(shù)三種表示方法（表達(dá)式、列表、圖象）及其優(yōu)缺點(diǎn)；根據(jù)具體情境確定自變量的取值范圍；利用函數(shù)圖象解讀信息并解決實(shí)際問題。2.內(nèi)容解析本節(jié)圍繞“函數(shù)的三種表示方法”展開。首先，通過用一根長2m的鐵絲圍成長方形的示例引出函數(shù)的概念，進(jìn)而讓學(xué)生了解可用表達(dá)式、表格、圖象來描述變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中，表達(dá)式能直觀顯示自變量與函數(shù)值之間的代數(shù)關(guān)系，如y=1-x；表格可羅列部分取值及對(duì)應(yīng)函數(shù)值，便于觀察局部規(guī)律；圖象在平面直角坐標(biāo)系中清晰呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。在此基礎(chǔ)上，教學(xué)重點(diǎn)放在如何確定自變量的取值范圍，如步行時(shí)間t在0≤t≤70的區(qū)間內(nèi)，或腰長x在3<x<6的取值限制。學(xué)生通過典型案例（小明步行、海洋潮汐、高度與溫度、聲音傳播等）感受函數(shù)圖象在實(shí)際問題分析中的作用：它不僅能使數(shù)形結(jié)合，更能方便地解釋停留、加速、恒速等變化過程。最后，教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)“構(gòu)建模型”的思路：將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為合適的函數(shù)模型，或通過表達(dá)式明確量與量之間的關(guān)系，或通過表格厘清部分?jǐn)?shù)據(jù)跡象，或借助函數(shù)圖象洞察整體趨勢(shì)與特殊拐點(diǎn)，進(jìn)而幫助學(xué)生掌握從具體問題過渡到數(shù)學(xué)表示，再回歸實(shí)際解讀結(jié)果的能力。1.教學(xué)目標(biāo)?在實(shí)際情境中，了解函數(shù)的三種表示方法，能用適當(dāng)?shù)谋硎痉椒坍嫼唵螌?shí)際問題中變量之間的關(guān)系。?能在簡單實(shí)際情境中，根據(jù)實(shí)際情況確定自變量的取值范圍，并會(huì)求函數(shù)值。?在根據(jù)函數(shù)圖象回答實(shí)際問題的過程中，發(fā)展幾何直觀、滲透模型思想。2.目標(biāo)解析?通過實(shí)際情境（如圍長方形、步行路程等）理解表達(dá)式、列表、圖象三種方式分別適用于不同的分析與溝通場(chǎng)景，達(dá)成“能用適當(dāng)方式表現(xiàn)函數(shù)關(guān)系”的目標(biāo)。?進(jìn)一步要求學(xué)生能審視情境中自變量的實(shí)際含義，如時(shí)間不可為負(fù)、邊長不宜超出周長等，學(xué)會(huì)綜合現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)條件限定取值范圍并進(jìn)行函數(shù)值的求解與運(yùn)算。?借助圖象，學(xué)生可更直觀地根據(jù)拐點(diǎn)、平行線段等找出關(guān)鍵信息，形成數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，安排探究、討論，以培養(yǎng)應(yīng)用函數(shù)概念解決實(shí)際問題的綜合素養(yǎng)。3.重點(diǎn)難點(diǎn)?教學(xué)重點(diǎn)：掌握函數(shù)的三種表示方法，并能依據(jù)實(shí)際需要選用合適的表示方式。?教學(xué)難點(diǎn)：在建模過程中正確限定自變量的取值范圍，以及通過圖象解讀關(guān)鍵點(diǎn)的意義。學(xué)生已具備一定的代數(shù)基礎(chǔ)（如一元一次方程與多項(xiàng)式運(yùn)算），對(duì)“自變量、因變量”的概念已有初步了解，但對(duì)函數(shù)的形式化表達(dá)尚不熟悉。他們對(duì)圖象理解的幾何直觀較強(qiáng)，但在將現(xiàn)實(shí)情境抽象成函數(shù)模型并精確限定取值范圍時(shí)容易出現(xiàn)混淆。因此，需要在具體案例與圖象分析中反復(fù)強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”和“取值范圍”，讓學(xué)生逐步體會(huì)到函數(shù)模型與現(xiàn)實(shí)綜合運(yùn)用的重要性。創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師：同學(xué)們，我們?cè)谏弦还?jié)課中初步認(rèn)識(shí)了“變量與函數(shù)”的概念，知道一件事情發(fā)生變化時(shí)，常常會(huì)有兩個(gè)量相互影響。那么，在現(xiàn)實(shí)生活中，如何用不同的方式來表示它們之間的關(guān)系呢？（教師出示情境：用一根長2m的鐵絲圍成一個(gè)長方形，當(dāng)其中一邊為x米時(shí)，另一邊為y米，怎么表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系？）生：（可能回答或猜測(cè)）可以列式：y=1-x；也可以把x和y分別列在表格里；還可以把點(diǎn)(x,y)畫在坐標(biāo)平面內(nèi)，用圖象表示。師：大家說得很好！事實(shí)上，函數(shù)有三種常見的表示方式，接下來讓我們一起探究如何利用這三種表示方法來表現(xiàn)實(shí)際問題中的變量關(guān)系，并進(jìn)一步體會(huì)自變量取值范圍以及如何求函數(shù)值?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過“圍鐵絲做長方形”的實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生從舊知（變量與函數(shù)）過渡到新知（函數(shù)的三種表示），激發(fā)探究興趣，明確接下來要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和方向。探究點(diǎn)1：函數(shù)的三種表示方法1.問題引入師：剛才我們提到，把2m鐵絲圍成長方形，一邊是x米時(shí)，另一邊就是y=1-x。那么，除了表達(dá)式，還可以分別用表格和圖象來表示它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，大家能否列舉或總結(jié)一下“三種表示”各自的優(yōu)缺點(diǎn)？學(xué)生討論后，教師歸納：表達(dá)式法：如y=1-x，優(yōu)點(diǎn)是比較簡潔，便于計(jì)算；缺點(diǎn)是有些函數(shù)無法用簡單表達(dá)式表示。列表法：如把x的一些取值和對(duì)應(yīng)的y值分層列出，優(yōu)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)關(guān)系一目了然；缺點(diǎn)是只能列有限的點(diǎn)，不易看出變化趨勢(shì)或規(guī)律。圖象法：如在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)并連線，優(yōu)點(diǎn)是直觀，能看出變化趨勢(shì)；缺點(diǎn)是有時(shí)難以得到準(zhǔn)確數(shù)值。2.新知導(dǎo)出師：一般地，函數(shù)有三種常見的表示方法：1．用表達(dá)式表示．如y＝1－x，y＝30t等，像這樣用自變量和常量組成的表示函數(shù)的表達(dá)式叫作函數(shù)表達(dá)式．2．用表格表示．把自變量的取值寫在第一行，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值寫在第二行.3．用圖象表示．如圖，把自變量的取值作為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)組成的圖形叫作函數(shù)的圖象．接下來，讓我們通過典型實(shí)例來深化認(rèn)識(shí)。（師生活動(dòng)：師出示例題，生先嘗試作答，師再組織討論，突出多種表示方式的價(jià)值。）例2小明從甲地步行到乙地，圖中的折線表示小明步行的路程skm與所用時(shí)間tmin之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖象回答問題：(1)小明全程用了多長時(shí)間？(2)小明出發(fā)50min時(shí)，步行的路程是多少？(3)折線中有一條平行于橫軸的線段，它的實(shí)際意義是什么?解：(1)小明全程用了70min．(2)當(dāng)t＝50時(shí)，s＝3，即小明出發(fā)50min時(shí)，步行的路程為3km．(3)當(dāng)t從20變化到40時(shí)，s的值不變，說明小明在途中停留了20min．教師歸納：解答圖像信息題主要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，化圖像信息為數(shù)字信息.主要步驟如下：(1)了解橫、縱軸的意義；(2)從圖像形狀上判定函數(shù)與自變量的關(guān)系；(3)抓住圖像中端點(diǎn)、拐點(diǎn)等特殊點(diǎn)的實(shí)際意義.【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)比討論與匯總，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)三種表示方法及其優(yōu)缺點(diǎn)形成整體認(rèn)識(shí)，并通過實(shí)際情境（鐵絲圍長方形）再次感受不同表示方法的作用，培養(yǎng)學(xué)生初步的模型思想和數(shù)形結(jié)合意識(shí)。探究點(diǎn)2：自變量的取值范圍1.問題引入師：同學(xué)們，我們先來看一個(gè)生活中的潮汐現(xiàn)象（展示潮汐曲線圖片）。圖中曲線反映了潮位ycm和時(shí)間th的函數(shù)關(guān)系。大家觀察這條曲線，能說說從圖中你能直接得到哪些關(guān)于潮汐的信息嗎？（學(xué)生思考、討論后回答，教師引導(dǎo)總結(jié)：比如最高潮位496cm、最低潮位59cm，8:0014:00潮位隨時(shí)間下降等）師：很好，通過這個(gè)圖像，我們能直觀看到潮位的變化趨勢(shì)。那再回想一下，如果給大家一根2m長的鐵絲，圍成一個(gè)長方形，設(shè)一邊長為xm，另一邊長就是y=1?xm。除了用y=1?x這個(gè)表達(dá)式，大家覺得還可以用什么方式來表示x和y的關(guān)系呢？（學(xué)生可能回答表格、畫圖等，教師進(jìn)一步追問）師：另外，在實(shí)際問題中，自變量的取值不是任意的。比如潮汐問題中，時(shí)間t的范圍是0≤t≤24（一天的時(shí)間）；鐵絲圍長方形的問題中，邊長x得滿足0<x<1（邊長為正數(shù)）。我們把使函數(shù)有意義的自變量取值的全體，叫作自變量的取值范圍。比如剛才潮汐問題里自變量t的取值范圍是0≤t≤24。2.新知導(dǎo)出自變量的取值范圍：在實(shí)際問題中，自變量的取值通常有一定的范圍.使函數(shù)有意義的自變量取值的全體叫作自變量的取值范圍．接下來，我們通過典型例題來深化對(duì)這些知識(shí)的理解。例3等腰三角形頂角的度數(shù)是x，底角的度數(shù)是y，y是x的函數(shù)嗎？如果是，寫出函數(shù)表達(dá)式及自變量的取值范圍.解：y是x的函數(shù)，y＝90°－12x(0°＜x＜180°)變式等腰三角形周長為12，則底邊y與腰長x之間的函數(shù)表達(dá)式是_____y＝－2x＋12________，其中自變量x的取值范圍是_____3＜x＜6________.教師總結(jié)：確定函數(shù)自變量的取值范圍需要注意的問題：(1)使函數(shù)表達(dá)式有意義；(2)使實(shí)際問題有意義.例4研究發(fā)現(xiàn)，某種蟋蜂平均每分鐘鳴叫的次數(shù)n次與環(huán)境溫度t℃有關(guān)，它們之間近似滿足關(guān)系：t＝10＋17(n－40)(1)露營時(shí)小明記錄了這種蟋蜂平均每分鐘鳴叫60次，估計(jì)此時(shí)的溫度(結(jié)果精確到1℃)．(2)按此關(guān)系，溫度大約降為多少時(shí)，這種蟋蜂會(huì)停止鳴叫？(結(jié)果精確到1℃)解：(1)當(dāng)n＝60時(shí)，t＝10＋17×(60－40)＝1267≈答：估計(jì)此時(shí)的溫度是13℃．(2)當(dāng)n＝0時(shí)，t＝10＋17×(0－40)＝427≈答：溫度大約降為4℃時(shí)，這種蟋蜂會(huì)停止鳴叫．【設(shè)計(jì)意圖】通過圖象獲取信息，讓學(xué)生從真實(shí)情境中體會(huì)“圖象法”的作用，進(jìn)一步鞏固數(shù)形結(jié)合思想。將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為圖象閱讀和數(shù)值分析，有助于突破“從圖上讀信息”的理解難點(diǎn)，并為后續(xù)深入探究函數(shù)自變量取值范圍、函數(shù)值計(jì)算等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。1．小明和爸爸出門散步，用20min勻速走了900m后，小明隨即按原速度返回．而爸爸遇到一位朋友，停下與朋友交談10min后，用15min勻速步行回到家里．在下列四個(gè)圖象中，哪一個(gè)表示小明行走路程sm與時(shí)間tmin之間的函數(shù)關(guān)系？哪一個(gè)表示爸爸行走路程sm與時(shí)間tmin之間的函數(shù)關(guān)系？解：(2)表示小明離家的路程s(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系．(4)表示爸爸離家的路程s(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系．2．某容器的截面如圖所示，出水閥門在點(diǎn)A處．如果這個(gè)注滿水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪個(gè)圖象能大致表示水的深度hcm與放水時(shí)間ts之間的關(guān)系？解：(1)能大致表示水的深度h與放水時(shí)間t之間的關(guān)系．3．如圖①，小亮家、報(bào)亭、羽毛球館在同一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報(bào)亭看報(bào)，最后散步回家．小亮到家的距離y(km)與時(shí)間x(min)之間的關(guān)系如圖②所示．（1）小亮從家到羽毛球館用了__7__min，報(bào)亭到小亮家的距離是___400_____m；（2）小亮打羽毛球的時(shí)間是__30____min；（3）小亮從羽毛球館到報(bào)亭的平均速度為__75___m/min．4．某書店倉庫中有1000套辭典，出庫x套，剩余y套．y是x的函數(shù)嗎？如果是，寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及自變量的取值范圍．解：y是x的函數(shù)，y＝1000－x(x≤1000)．5．已知從山腳起每升高100m，氣溫就下降0.6℃．測(cè)得山腳處的氣溫為14.1℃，用xm表示從山腳起上升的高度，y℃表示上山過程中的氣溫，判斷y是否是x的函數(shù)，如果是，寫出函數(shù)表達(dá)式．解：y是x的函數(shù)，y＝14.1－x100×0.6(x＞0)6．聲音在空氣中的傳播速度約340m/s．(1)判斷傳播距離dm是否是傳播時(shí)間ts的函數(shù)，并用含t的代數(shù)式表示d；(2)如果聽到雷聲比看到閃電延遲了7s，那么雷電大約發(fā)生在離觀察者多遠(yuǎn)的高空？解：(1)是．傳播距離d隨傳播時(shí)間t的變化而變化，當(dāng)t取一個(gè)確定的值時(shí)，d有唯一的值與它對(duì)應(yīng)；d＝340t．(2)d＝340×7＝2380(m)．能力提升1.龜兔賽跑之后，輸了比賽的兔子決定和烏龜再賽一場(chǎng).如圖所示的函數(shù)圖象表示了龜兔再次賽跑的過程，其中x（分鐘）表示兔子和烏龜從起點(diǎn)出發(fā)所走的時(shí)間，y1（米），y2（米）分別表示兔子與烏龜所走的路程.下列說法錯(cuò)誤的是（C）A.兔子和烏龜比賽的路程是500米B.中途，兔子比烏龜多休息了35分鐘C.兔子比烏龜多走了50米D.兔子比烏龜早5分鐘到達(dá)終點(diǎn)2.（2023·株洲）某花店每天購進(jìn)16枝某種花，然后出售，如果當(dāng)天售不完，那么剩下的這種花進(jìn)行作廢處理.該花店記錄了10天該種花的日需求量n（n為正整數(shù)，單位：枝），統(tǒng)計(jì)如下表：（1）該花店在這10天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的有4天.（2）當(dāng)n＜16時(shí)，日利潤y（元）關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為y＝10n－80；當(dāng)n≥16時(shí)，日利潤為80元．①當(dāng)n＝14時(shí)，求該花店這天的利潤為多少元；②求該花店這10天中日利潤為70元的天數(shù)．解：①當(dāng)n＝14時(shí)，y＝10n－80＝10×14－80＝60．當(dāng)n＝14時(shí)，該花店這天的利潤為60元．②當(dāng)n＜16時(shí)，令70＝10n－80，解得n＝15．當(dāng)n＝15時(shí)，對(duì)照表格，發(fā)現(xiàn)滿足題意的天數(shù)是2．【設(shè)計(jì)意圖】“鞏固練習(xí)”提供了多樣化實(shí)際案例，如倉庫調(diào)貨、山地氣溫變化、聲學(xué)現(xiàn)象等，結(jié)合前面所學(xué)，全面熟悉函數(shù)圖象、表達(dá)式及列表法的相互轉(zhuǎn)化與運(yùn)用；通過“拓展提升”題目，讓學(xué)生在較為熟悉的情境(如龜兔賽跑)中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，提升興趣和解題思路；1.課題：5.1變量與函數(shù)（第2課時(shí)函數(shù)的表示）2.新知講解?函數(shù)表示：表達(dá)式法、列表法、圖象法?自變量取值范圍?典例：3. 小結(jié)：1. 基礎(chǔ)鞏固：完成教材相應(yīng)練習(xí)中關(guān)于函數(shù)三種表示法的選擇題或填空題2. 拓展探究：觀察生活中兩個(gè)相關(guān)量之間的變化關(guān)系（如室溫與空調(diào)運(yùn)行時(shí)間），嘗試用表達(dá)式法、列表法和圖象法分別表示，并簡述各自優(yōu)缺點(diǎn)（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與