2026屆高三數(shù)學一輪復習三角函數(shù)、解三角形（復習講義）第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式【考試要求】理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α+能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出π2±α【命題規(guī)律】考查利用同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式解決條件求值問題，常與三角恒等變換相結合，可起到化簡三角函數(shù)關系的作用，強調利用三角公式進行恒等變形的技能以及基本的運算能力。基礎知識：1．同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系．(2)商數(shù)關系：.注意：平方關系對任意角都成立，而商數(shù)關系中α≠2．三角函數(shù)的誘導公式公式角正弦余弦正切一2kπ＋α(k∈Z)sinαcosαtanα二－α三π＋α四π－α五eq\f(π,2)－α六eq\f(π,2)＋α注意：誘導公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限?！捌妗薄芭肌敝傅氖恰発?π2+αk∈Z”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)?！白儭迸c“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若類型一同角三角函數(shù)的基本關系1.已知α∈0,π,cosA.34B.?34C.432.已知角α是第二象限角，且滿足sin5π2+A.3B.?3C.?333.已知sinπ2+θ+A.15B.25C.354.已知θ是第三象限角，且sin4θ+A.?23B.23C.135.已知α是三角形的內角，且tanα=?13，則6.已知tanαsinα?3cos7.已知x∈?π,0（1）求sinx（2）求sin2x8.若θ∈0，π2，tanθ＝12，則sinθ－cos9.若tan(α－π)＝2，則1?A．－13B．－3C．1310.已知3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，且θ∈(－π，0)，則sinA．－31010B．－1010C．31011.已知sinα＋cosα＝2，則tanα＋cosαA．－1B．－2C．1212.已知sinαcosα＝38，且π4<α<π2，則cosαA．12B．±12C．－1413.(多選題)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝反思總結1.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.2.應用公式時注意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3.化簡的式子中同時出現(xiàn)正弦、余弦、正切時，一般利用公式tanα＝sinα4.利用平方關系求值時，要注意角所在象限，以免出現(xiàn)函數(shù)值的符號錯誤．5.形如asinx+bcosxcsinx+dcosx，asin2x＋類型二誘導公式的應用1．已知sinx?π3＝3A．35B．45C．－352．已知a＝tan?7π6，b＝cos23π4，c＝sin?25πA．b>a>cB．a(chǎn)>b>cC．b>c>aD．a(chǎn)>c>b3．已知sinα＝12，則cosα?π2sin5π2+α·sin(4．若P(cosθ，sinθ)與Q(cosθ+π6，sin(θ+π6))5.化簡：sin?α?36.已知sinα+π12=13，則cos7.已知角α的終邊過點P?7,A.?4825B.4825C.08.已知cos2πA.13B.79C.?139.已知A=sinkA.{1,?1,2,?2}B.{?1反思總結1．誘導公式的兩個應用口訣(1)求值：負化正，大化小，化到銳角就終了．(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少目的到．2．(1)靈活使用誘導公式的關鍵是“奇變偶不變，符號看象限”．(2)常見的互余和互補的角①互余的角：π3－α與π6＋α；π4＋α與π②互補的角：π3＋θ與2π3－θ；π4＋θ與類型三同角關系式和誘導公式的綜合應用1.已知sin3π2?α＋cos(π－α)＝sinα，則2sin2α－sinA．2110B．32C．322.已知α是第三象限角，且cosα＝－1010.則cosπ?3.已知sinα＋cosα＝－15，且π2<α<π，則1sin4.已知tanα=3，sin2α5.若3sinα+cosA.103B.53C.236.已知sinθ+cosθ=713,7.已知sinα?cosα=28.化簡sinnπ+反思總結1．利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形．2．運用兩類公式解題，要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程．注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響．基礎通關練（測試時間：15分鐘）1．若α是第四象限角，tanα＝－512，則sinαA．15B．－14C．5132．(多選題)已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，則下列不等關系中成立的是()A．sinθ<0B．sinθ>0C．cosθ>0D．cosθ<03．若cos2α＝1＋2cosα，則sin2α＋sin4α的值為()A．5－1B．5?12C．14．已知tanα＝－3，則sin3αA．－34B．34C．3105．已知角α的頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與直線2x＋y＋3＝0平行，則sinαA．－2B．－14C．26．已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，則sinα＝()A．53B．23C．13重難突破練（測試時間：10分鐘）1．(多選題)給出下列四個結論，其中正確的結論是()A．sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是角α是銳角B．若cos(nπ－α)＝13(n∈Z)，則cosα＝C．若α≠kπ2(k∈Z)，則tanπD．若sinα＋cosα＝1，則sinnα＋cosnα＝12．已知cosπ6?α＝13，則cos5π6+α3．已知θ為三角形的內角，且sin2θ＝sin2θ，則sinθ1?4．已知sinαcosα＝18，且5π4<α<3π2，則cosα5.在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于原點對稱．若α∈π6，π3，則cos綜合拓展練（測試時間：15分鐘）1．(多選題)已知tanθ＝2，則下列結論正確的是()A．tan(π－θ)＝－2B．tan(π＋θ)＝－2C．sinθ?3cosθ2．若α∈π2，π，2sinα＋cosα＝3A．－2B．2C．211