【第17講：對(duì)數(shù)運(yùn)算】總覽總覽題型梳理【知識(shí)梳理】一、核心定義1.指數(shù)對(duì)數(shù)互化2.特殊對(duì)數(shù)二、基礎(chǔ)運(yùn)算公式（必記）1.特殊值公式2.對(duì)數(shù)恒等式4.換底公式三、拓展核心公式（?？迹┧摹⒊？冀Y(jié)論（高頻）1.單調(diào)性與大小比較底數(shù)范圍單調(diào)遞增單調(diào)遞減2.特殊關(guān)系與不等式五、易錯(cuò)點(diǎn)（必避）3.必驗(yàn)定義域：真數(shù)，底數(shù)且題型題型分類知識(shí)講解與?？碱}型【題型1：對(duì)數(shù)的概念與判斷】【解題策略】一、核心前提（判斷必用）二、3類高頻題型解題速覽題型1：判斷對(duì)數(shù)是否有意義 核心：底數(shù)+真數(shù)雙驗(yàn)證 步驟： 1.拆“底數(shù)”“真數(shù)”（真數(shù)是對(duì)數(shù)后整體）； 4.雙條件同時(shí)滿足則有意義。題型2：判斷對(duì)數(shù)表達(dá)式正誤 核心：對(duì)照公式+避誤區(qū) 步驟： 1.定位表達(dá)式涉及的公式（積/商/冪法則、換底等）； 3.排常見錯(cuò)：題型3：判斷對(duì)數(shù)命題真假 核心：拆要素+用性質(zhì)+舉反例 步驟： 1.拆命題：明確對(duì)數(shù)的底數(shù)、真數(shù)及涉及的性質(zhì)（單調(diào)性、定義域等）； 2.驗(yàn)性質(zhì)： 定義域：直接解“真數(shù)>0”對(duì)比命題；三、解題口訣（速記）1.有意義：底數(shù)正且≠1，真數(shù)>0雙滿足；2.表達(dá)式：積商冪有法則，加減無分配，錯(cuò)變形要規(guī)避；3.命題判：拆要素驗(yàn)性質(zhì)，反例證假最直接。例題精選例題精選【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，底數(shù)大于且不等于，真數(shù)大于0，列不等式組即可求解．故選：D.【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的底大于零且不等于1，真數(shù)大于零列出不等式組，解不等式組即可.故選：D.【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，得到關(guān)于的不等式組，求解即可得到答案.故選：C.相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式有意義可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.故選：B.A．2 B． C． D．【答案】ACD【答案】BC【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義列出關(guān)于a的不等式組，求解即可.故選：BC.【題型2：指數(shù)對(duì)數(shù)的互化】【解題策略】一、互化核心公式（必記）（關(guān)鍵：3個(gè)條件+“指數(shù)式?對(duì)數(shù)式”雙向轉(zhuǎn)換）二、高頻題型解題步驟 解題關(guān)鍵：直接對(duì)號(hào)互化 步驟： 步驟： ①互化（或直接用“同底則指數(shù)/真數(shù)相等”）； ②解方程； 步驟： ②互化為同底方程； ③求解+驗(yàn)條件。 解題關(guān)鍵：互化后抓“真數(shù)/指數(shù)值范圍” 步驟： ③得定義域/值域。 步驟：三、易錯(cuò)點(diǎn)（避坑）2.互化對(duì)應(yīng)：指數(shù)式中“底數(shù)→對(duì)數(shù)底數(shù)，指數(shù)→對(duì)數(shù)值，結(jié)果→真數(shù)”，別錯(cuò)位；四、做題口訣“互化先看三條件，對(duì)號(hào)入座找a/x/N；解方程先驗(yàn)范圍，證等式設(shè)元最簡(jiǎn)便?！崩}精選例題精選A． B．1 C． D．2【答案】A故選：A【例題2】（2526高一上·全國(guó)·課堂例題）求下列各式中的x的值．【答案】(1)(2)9(3)2【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一求解；A．0 B．2 C．1 D．1【答案】B【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用指數(shù)運(yùn)算律計(jì)算求解.故選：B.相似練習(xí)相似練習(xí)A．26 B．24 C．22 D．20【答案】B【分析】將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，運(yùn)算得解.故選：B.【答案】A【分析】化對(duì)數(shù)式為指數(shù)式，然后利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.故選：A.【答案】/【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.故答案為:【題型3：對(duì)數(shù)的運(yùn)算】【解題策略】一、通用解題步驟（先做這3步）1.定定義域：先確保所有對(duì)數(shù)的真數(shù)>0、底數(shù)>0且≠1（不滿足則無意義，直接排除）；2.選公式：根據(jù)式子結(jié)構(gòu)選對(duì)應(yīng)公式（積/商/冪法則、換底公式、恒等式）；3.簡(jiǎn)運(yùn)算：從復(fù)雜項(xiàng)入手（如根式、負(fù)指數(shù)），逐步化簡(jiǎn)，最后合并結(jié)果。二、分題型解題策略題型1：基本運(yùn)算法則應(yīng)用（化簡(jiǎn)/求值） 策略：“拆復(fù)雜，湊特殊值”題型2：換底公式應(yīng)用（跨底運(yùn)算） 策略：“統(tǒng)一底數(shù)，優(yōu)先換為常用/自然對(duì)數(shù)”題型3：與指數(shù)結(jié)合的運(yùn)算（指對(duì)混合） 策略：“指對(duì)互化，用恒等式”題型4：含參數(shù)的運(yùn)算（求參數(shù)值/范圍） 策略：“先定范圍，再列等式/不等式” ③注意參數(shù)范圍對(duì)結(jié)果的篩選（排除不符合定義域的解）。三、避坑關(guān)鍵（必記）2.忌忽略定義域：先定范圍再運(yùn)算，避免最后求錯(cuò)解；例題精選例題精選【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式計(jì)算可得.故答案為：【例題2】（2526高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）求值：【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解.【例題3】（2526高三上·河南周口·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則直接求解即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則直接化簡(jiǎn)求解即可；（3）利用對(duì)數(shù)表示出，代入所求式子，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】【分析】直接根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.故答案為：【答案】（1）3；（2）16；（3）【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值，即可求解.（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值，即可求解.（3）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值，即可求解.【題型4：對(duì)數(shù)的換底公式】【解題策略】一、先抓核心公式與推論（必記）2.高頻推論（直接用，省步驟）：二、分題型解題策略（對(duì)應(yīng)場(chǎng)景+步驟）題型1：不同底數(shù)對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)/求值（最常用） 解題步驟： ①優(yōu)先選“常用對(duì)數(shù)（）”或“自然對(duì)數(shù)（）”統(tǒng)一底數(shù)（計(jì)算方便，不易錯(cuò)）；題型2：非特殊對(duì)數(shù)值計(jì)算（無計(jì)算器） 解題步驟：題型3：對(duì)數(shù)等式證明（中檔題） 解題步驟： ①?gòu)摹白筮厪?fù)雜端”入手（避免兩邊同時(shí)推，易混亂）； ②用換底公式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對(duì)數(shù)（優(yōu)先選）；題型4：含參數(shù)的對(duì)數(shù)問題（求參數(shù)值/范圍） 解題步驟：三、避坑關(guān)鍵（3個(gè)必注意點(diǎn)）1.定義域優(yōu)先：所有步驟前先驗(yàn)證“底數(shù)>0且≠1，真數(shù)>0”，否則后續(xù)計(jì)算無意義；例題精選例題精選A． B． C． D．【答案】B故選：B【分析】利用對(duì)數(shù)換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即得.【答案】1【分析】先把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式求出的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.故答案為：1.相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】8【分析】利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．故答案為：8.A． B．3 C．6 D．9【答案】A【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，利用換底公式代入運(yùn)算得解.故選：A.【相似題3】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：【答案】(1)(2)【分析】（1）、（2）利用對(duì)數(shù)法則計(jì)算出答案即可；（3）利用指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式、換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【題型5：對(duì)數(shù)恒等式的證明】例題精選例題精選【答案】證明見詳解【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及換底公式運(yùn)算分析證明.【答案】證明見解析【分析】運(yùn)用換底公式證明即可.【答案】證明見解析【詳解】依題意、、均不為，相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3）證明見解析；【分析】（1）由題設(shè)條件結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算證明即可；（2）利用換底公式證明即可；（3）利用換底公式證明即可.【詳解】解答：（1）證明：（3）證明：【答案】C故選：C【相似題3】（2122高一下·廣西崇左·階段練習(xí)）求滿足下列條件的各式的值【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解；（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的換底公式即可證明.【題型6：對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【解題策略】一、通用解題流程（先走這5步）1.定模型：根據(jù)實(shí)際場(chǎng)景識(shí)別數(shù)學(xué)模型（如增長(zhǎng)/衰減用指數(shù)模型，測(cè)量用對(duì)數(shù)定義模型）；2.找已知：提取題目中已知量（如初始值、最終值、時(shí)間、參考值），明確待求量；3.列方程：將已知量代入模型，列出含待求量的等式；4.轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)：用“指對(duì)互化”“對(duì)數(shù)運(yùn)算法則”將方程轉(zhuǎn)化為可解的對(duì)數(shù)形式（消去指數(shù)，分離待求量）；5.驗(yàn)意義：求解后驗(yàn)證結(jié)果是否符合實(shí)際（如時(shí)間>0、濃度>0、利率>0）。二、分場(chǎng)景解題策略（高頻3類）場(chǎng)景1：增長(zhǎng)/衰減問題（如人口、細(xì)菌、放射性物質(zhì)）核心模型解題步驟（以“求時(shí)間”為例）避坑點(diǎn) 增長(zhǎng)率/衰減率需化為小數(shù)（如20%→0.2，不能直接代20）；場(chǎng)景2：測(cè)量類問題（pH值、聲強(qiáng)級(jí)、地震震級(jí)）核心模型（均為對(duì)數(shù)定義型）避坑點(diǎn) 公式中的“負(fù)號(hào)”“系數(shù)”別漏（如pH帶負(fù)號(hào)，聲強(qiáng)級(jí)乘10）；場(chǎng)景3：復(fù)利與投資問題（如存款、理財(cái)）核心模型（復(fù)利公式）（最終本息和，本金，年利率（小數(shù)），每年復(fù)利次數(shù)，年數(shù)）解題步驟（以“求年數(shù)”為例）避坑點(diǎn) 年利率需化為小數(shù)（如5%→0.05，不能代5）；三、核心技巧與避坑總結(jié)1.模型記準(zhǔn)：區(qū)分“指數(shù)模型（求時(shí)間/率）”和“對(duì)數(shù)定義模型（求物理量，如pH）”，別混淆公式；4.實(shí)際意義優(yōu)先：解出的時(shí)間、濃度、利率需為正，否則舍去（如求增長(zhǎng)率得負(fù)，說明是衰減，需調(diào)整模型）。例題精選例題精選A．23 B．24 C．33 D．34【答案】D【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)互化公式、換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過10天后，種群數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍，設(shè)至少經(jīng)過天，該生物數(shù)量超過初始數(shù)量的10倍，因?yàn)闀r(shí)間的單位為天，所以時(shí)間為正整數(shù)，因此至少經(jīng)過天，生物數(shù)量超過初始數(shù)量的10倍，故選：DA．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1【答案】B【分析】直接代入數(shù)據(jù)求值即可.故選：B.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指對(duì)數(shù)的關(guān)系及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值即可.故選：A相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】C【分析】根據(jù)題意列方程求出，進(jìn)一步計(jì)算求解即可.故選：C.【答案】81【分析】根據(jù)題意列出等式，根據(jù)對(duì)數(shù)的計(jì)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)求解故答案為：81A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B故選：B.【題型7：對(duì)數(shù)運(yùn)算的新文化題型】例題精選例題精選【答案】D故選：D【答案】故答案為：A．145 B．857 C．150 D．243【答案】B【分析】根據(jù)高斯函數(shù)以及對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)來求得正確答案.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的核心方法是高斯函數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的結(jié)合，首先根據(jù)高斯函數(shù)的定義，逐步列出對(duì)數(shù)值的范圍，并確定每個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)值個(gè)數(shù)，然后將每個(gè)區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的高斯函數(shù)值相乘，最后求和得到結(jié)果，這種方法依賴于對(duì)數(shù)值的分段計(jì)算，并注意區(qū)間內(nèi)數(shù)值個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù).相似練習(xí)相似練習(xí)A．33 B．35 C．37 D．39【答案】B真數(shù)2345678910（近似值）0.301030.477120.602060.698970.778150.845100.903090.954241.000【答案】所以的最高位的數(shù)值為.故答案為：.A．72 B．73 C．74 D．75【答案】B所以學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為73.故選：B.【題型8：對(duì)數(shù)的比較大小】【解題策略】一、核心依據(jù)（先記牢，再做題）對(duì)數(shù)大小比較的本質(zhì)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，關(guān)鍵看底數(shù)范圍：*注：所有比較前，先驗(yàn)證真數(shù)>0、底數(shù)>0且≠1（無意義的對(duì)數(shù)直接排除）。*二、分題型解題策略（高頻4類+新增方法）題型1：同底對(duì)數(shù)比較（最基礎(chǔ)，直接用單調(diào)性）策略：“定底數(shù)→判單調(diào)→比真數(shù)”解題步驟：2.根據(jù)底數(shù)范圍確定單調(diào)性（遞增/遞減）；3.比較兩個(gè)真數(shù)的大小（需保證真數(shù)>0）；4.結(jié)合單調(diào)性，由“真數(shù)大小”推“對(duì)數(shù)值大小”。題型2：同真數(shù)對(duì)數(shù)比較（“底大圖低”規(guī)律）策略：“同真數(shù)看底數(shù)，分范圍用規(guī)律”核心規(guī)律：解題步驟：3.得出結(jié)論。題型3：不同底不同真數(shù)比較（找“中間量”+新增方法）策略：“優(yōu)先找中間量（0/1），區(qū)間相同用轉(zhuǎn)化法/糖水不等式/擴(kuò)大倍數(shù)法”常用中間量：解題步驟：2.若區(qū)間不同，直接通過中間量定大?。ㄈ缂?gt;1，乙<1→甲>乙）；3.若區(qū)間相同，可選擇以下3種方法： 方法1：換底公式統(tǒng)一底數(shù)（原方法）：轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)，用單調(diào)性比較； 方法3：擴(kuò)大倍數(shù)法（適用于分子分母可湊同的情況）。新增方法詳解方法2：糖水不等式法（核心公式+應(yīng)用） 應(yīng)用步驟：方法3：擴(kuò)大倍數(shù)法（核心思路+應(yīng)用） 核心思路：給兩個(gè)對(duì)數(shù)的“分子分母”同乘一個(gè)公共倍數(shù)，湊出相同的分子或分母，再比較大小。 應(yīng)用步驟：題型4：含參數(shù)的對(duì)數(shù)比較（分類討論底數(shù)）解題步驟：3.若參數(shù)為真數(shù)：先定底數(shù)范圍（已知或隱含），再按單調(diào)性比較參數(shù)（需保證真數(shù)>0）；4.綜合兩類情況，寫出結(jié)論。三、避坑關(guān)鍵（5個(gè)必注意）3.中間量選對(duì)：優(yōu)先用0或1（計(jì)算簡(jiǎn)單），復(fù)雜情況再用2、等；四、速記口訣同底看單調(diào)，真數(shù)定大??；同真看底數(shù)，N大底大圖低；不同找中間（0/1），區(qū)間相同有三法：換底統(tǒng)一、糖水湊、擴(kuò)大倍數(shù)比先后；參數(shù)分兩類（a>1和0<a<1），討論要周到。例題精選例題精選【答案】D故選：D.【答案】A【分析】借助指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷即可得.故選：A.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小.故選：B相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】B故選：B.【答案】D故選：D.【答案】C故選：C.【題型9：對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合基本不等式】例題精選例題精選A．16 B．24 C．32 D．40【答案】C【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合基本不等式計(jì)算求解.故選：C.【答案】故答案為：.相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】故答案為：【答案】故答案為：A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式與換底公式即可求得.故選：D.課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題A．5 B．6 C．7 D．12二、填空題三、解答題參考答案題號(hào)123答案DBB1．D【分析】將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算，求解即可.故選：D.2．B【分析】由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.故選：B3．B故選：B