第06講空間向量及其應用TOC\o"13"\h\z\u目錄TOC\o"12"\h\z\u01考情研究 202知識梳理· 303探究核心考點 4考點一：向量法證明平行、垂直 5考點二：求兩異面直線所成角 6考點三：求直線與平面所成角 7考點四：求平面與平面所成角 9考點五：求點面距、線面距、面面距 11三階段突破訓練基礎訓練· 12能力提升 15真題感知 19一、5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析考情分析（1）空間向量的線性運算（2）空間向量基本定理及其應用（3）向量法證明平行、垂直（4）向量法求空間角（5）空間距離2025年I卷第17題，15分2025年II卷第17題，15分2024年I卷第17題，15分2024年II卷第17題，15分2023年I卷第18題，12分2023年II卷第20題，12分2022年I卷第19題，12分2022年II卷第20題，12分立體幾何的空間向量解法通常以解答題的形式出現(xiàn)，屬于每年必考內容，分值一般為12分。此類題目以解答題為主，難度適中，考生可靈活選用向量方法或綜合幾何方法，從多個角度解決立體幾何問題，并通過對比感受向量方法的優(yōu)勢。選擇題和填空題一般不采用空間向量法，但需理解向量基本定理的實質，領會“基底”的思想，并運用其解決立體幾何相關問題。二、課標要求1.理解直線的方向向量及平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系；能用向量方法證明立體幾何中有關線面的位置關系.3.了解利用空間向量求空間距離的方法，會求點到線、點到面的距離.4.了解利用空間向量求空間角的方法.5.會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角、二面角.三、知識導圖1.直線的方向向量與平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的方向向量.（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a,則向量a為平面（3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一.2．空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為nl1n1//l1n1⊥n2?①____________直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml//n⊥m?②_______l⊥n//m平面α，β的法向量分別為n，mα//n//mα⊥n⊥m?③_______3．空間距離名稱概念求法兩點距空間中兩個點連線的線段長利用向量的模點線距過空間一點作一條直線的垂線段的長設直線l的單位方向向量為u,A∈l,P?l,設AP=a,則點P到直線l的距離d=④_______________點面距過平面外一點作平面的垂線段的長已知平面α的法向量為n，A∈α,P?α,則點P到平面α的距離d=⑤__________線面距當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離轉化為求點面距面面距當平面與平面平行時，一個平面內的任意一點到另一個平面的距離3．空間角的定義（1）直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的①__所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，則它們所成的角是②______；一條直線和平面平行,或在平面內，則它們所成的角是0°;直線與平面所成的角θ的取值范圍是③____________（2）二面角：從一條直線出發(fā)的④________所組成的圖形叫做二面角.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作⑤________的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.（3）平面與平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，把這四個二面角中不大于⑥______的二面角稱為平面α與平面β的夾角.提醒二面角與兩個平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系：二面角的范圍為[0,π]，兩個平面的夾角的范圍為4.空間向量與空間角的關系（1）異面直線所成的角：設異面直線l1,l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ（2）直線與平面所成的角：如圖所示，設l為平面α的斜線,l∩α=A,a為l的方向向量,n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則（3）平面與平面的夾角：設平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ考點一：利用空間向量證明平行與垂直【方法技巧】利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟（1）建立空間直角坐標系,建系時,要盡可能地利用已知圖形中的垂直關系；（2）建立空間圖形與空間向量之間的關系,用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面等要素；（3）通過空間向量的坐標運算研究平行、垂直關系；（4）根據(jù)運算結果證明相關問題.注意運用向量知識判定空間位置關系時，仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時，仍需強調直線在平面外.考點二：求兩異面直線所成角A． B． C． D．【方法技巧】用向量法求異面直線所成的角的一般步驟（1）選擇合適的基底或建立空間直角坐標系；（2）求出兩直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）兩異面直線所成的角的范圍是(0考點三：求直線與平面所成角【方法技巧】利用空間向量求線面角的解題步驟考點四：求平面與平面所成角

【方法技巧】利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟

考點五：求點面距、線面距、面面距

【方法技巧】用向量法求點面距離的步驟（1）建系：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）求點坐標：寫出（求出）相關點的坐標；（3）求向量：求出相關向量的坐標(AP,平面α的法向量n（4）求距離：d=C．直線與的距離為B．異面直線和所成的角為(2)求直線MN與平面ACE所成角的正弦值.(1)證明：F是的中點；(1)求五面體BCDFPQ的體積；(2)判斷在同一平面中相互平行的兩條直線，在平面經過折疊后是否一定依