2025~2026學(xué)年上海市南匯中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題(★)1.已知，，則直線m、n的位置關(guān)系為_(kāi)______________________（填平行、相交、異面）(★★)2.已知向量，，若，則_____．(★)3.正方體中，異面直線與所成角的大小為_(kāi)_______.(★★)4.已知水平放置的是按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如下圖所示的直觀圖，其中，，則原的面積為_(kāi)_____.(★)5.若球的體積是，則球的表面積是______.(★★★)6.如圖，在四面體中，點(diǎn)是的重心，設(shè)，，，則_____．（用，，表示）(★★★)7.點(diǎn)在銳二面角的平面上，點(diǎn)到平面的距離為3，點(diǎn)到棱的距離為，則此二面角的大小是_____．(★★)8.將一個(gè)圓心角為，面積為的扇形卷成一個(gè)圓錐，那么該圓錐的體積為_(kāi)_________.(★★★)9.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在截面上，則線段AP的最小值等于________.(★★★)10.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)____．(★)11.如圖，對(duì)四棱錐的各面進(jìn)行染色，要求有公共棱的兩個(gè)面不同色.現(xiàn)有種顏色可供選擇，則不同的染色方法共有______種.(★★★★★)12.在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說(shuō)法中，正確的有_________（請(qǐng)?zhí)钊胨姓_說(shuō)法的序號(hào)）①當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得④當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面二、單選題(★★)13.設(shè)l，m，n是不同的直線，m，n在平面內(nèi)，則“且”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(★★)14.已知乘積展開(kāi)后共有60項(xiàng)，則的值為（）

A．5B．7C．10D．12(★★)15.如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）

A．5B．C．D．(★★★★)16.已知是正方體的中心，過(guò)點(diǎn)的直線與該正方體的表面交于、兩點(diǎn)，現(xiàn)有如下命題：①線段在正方體6個(gè)表面的投影長(zhǎng)度為，則為定值；②直線與正方體12條棱所成的夾角的，則為定值.下列判斷正確的是（）

A．①和②均為真命題B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為真命題三、解答題(★★)17.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加，，三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，每個(gè)人都要報(bào)名且只能參加一個(gè)項(xiàng)目．(1)共有多少種不同的報(bào)名方法？(2)若甲、乙報(bào)同一項(xiàng)目，丙不報(bào)A項(xiàng)目，則有多少種不同的報(bào)名方法？(★★★)18.在如圖所示的圓柱中，是底面直徑，是圓柱的母線，且．設(shè)是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求圓柱的表面積；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．(★★★)19.在正四棱錐中，側(cè)棱的長(zhǎng)為，與所成的角的大小等于．(1)求正四棱錐的體積；(2)若正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，求此球的半徑．(★★★)20.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．（1）求證：AF∥平面BCE；（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．(★★★★)21.如圖所示，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，且滿足．