2025~2026學(xué)年北京市工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題(★)1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）

A．B．C．D．(★)2.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（）

A．B．C．1D．-1(★)3.已知，，且，則（）

A．B．2C．4D．6(★★★)4.圓與圓的位置關(guān)系為（）

A．外離B．相交C．外切D．內(nèi)含(★★★)5.已知圓，直線，若直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為，最小值為，則（）

A．B．C．D．(★★)6.已知為直線l的方向向量，、分別為平面、的法向量（、不重合），那么下列說法中：①；②；③；④其中正確的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(★★★)7.已知，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)的距離的倍，則面積的最大值（）

A．B．8C．D．(★★★★)8.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)射出的一條光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，且反射后的光線與在第四象限交于點(diǎn)．若，則的離心率為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.黃金分割比例具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性，和諧性，蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)價(jià)值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例．我們把離心率的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（）

A．橢圓是“黃金橢圓”B．若橢圓的右焦點(diǎn)為，且滿足，則該橢圓為“黃金橢圓”C．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，右頂點(diǎn)為A，若，則該橢圓為“黃金橢圓”D．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是，，若，則該橢圓為“黃金橢圓”三、單選題(★★★★)10.2021年3月30日我國(guó)知名品牌小米公司啟用了具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的全新Logo．新Logo將原本方正的邊框換成了圓角邊框（如圖），這種由方到圓的弧度變化，為小米融入了東方哲學(xué)的思想，賦予了品牌生命的律動(dòng)感．設(shè)計(jì)師的靈感來源于數(shù)學(xué)中的曲線，則下列有關(guān)曲線的說法中錯(cuò)誤的是（）

A．對(duì)任意的且，曲線總關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱B．當(dāng)時(shí)，曲線上總過四個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）C．當(dāng)時(shí)，曲線圍成的圖形面積可以為2D．當(dāng)時(shí)，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)最近距離為四、填空題(★)11.圓的半徑為_________(★★)12.已知直線與互相平行，則他們之間的距離是__________.(★★)13.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為______．(★★★)14.點(diǎn)到直線的最大距離為______．(★★)15.雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____(★★★★)16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，動(dòng)點(diǎn)在其表面上運(yùn)動(dòng)，且，把點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度稱為“喇叭花”函數(shù)，給出下列結(jié)論：①；②；③；④其中正確的結(jié)論是：______．（填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號(hào)）五、解答題(★)17.已知圓C的圓心為，半徑為3，l是過點(diǎn)的直線．(1)判斷點(diǎn)P是否在圓上，并證明你的結(jié)論；(2)若圓C被直線l截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．(★★★)18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成的角；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(★★★★)19.橢圓短軸長(zhǎng)為2，離心率為.(1)求橢圓方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線,的斜率為，，求的值.(★★★)20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，底面為等腰直角三角形，為中點(diǎn).(1)求證:；(2)再從以下條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值.條件①:；條件②:.(★★★★★)21.通過研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的