2026高考數(shù)學提分秘訣：直線與圓中?？嫉淖钪蹬c范圍問題（舉一反三專項訓練）一、考點解讀與解題通法直線與圓的最值與范圍問題是高考數(shù)學解析幾何模塊的高頻考點，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)（偶爾結(jié)合解答題第一問），核心考查“幾何意義轉(zhuǎn)化”與“代數(shù)運算求解”兩大能力。核心解題通法：幾何法：利用圓的性質(zhì)（如半徑、圓心到直線的距離），將最值問題轉(zhuǎn)化為“圓心到點/直線的距離±半徑”；代數(shù)法：設參數(shù)（如直線斜率、圓上點坐標），建立函數(shù)關系（如二次函數(shù)、三角函數(shù)），通過求函數(shù)值域確定最值；不等式法：利用基本不等式（如均值不等式）、三角不等式，結(jié)合圓的約束條件求解范圍。二、專項訓練：三大核心考點舉一反三考點1：距離型最值（高頻考點）母題1（基礎型）：圓上點到定點的距離最值題目：已知圓C:(x-2)^2+(y+1)^2=4，點P(0,3)，求圓C上的點到點P的距離的最大值與最小值。解析：確定圓的基本量：圓心C(2,-1)，半徑r=2；計算圓心到定點的距離：|PC|=\sqrt{(2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}；利用幾何性質(zhì)：圓上點到定點的距離最大值為|PC|+r，最小值為|PC|-r；計算結(jié)果：最大值2\sqrt{5}+2，最小值2\sqrt{5}-2。解題通法：若圓(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，定點(x_0,y_0)，則圓上點到定點的距離最值為\sqrt{(a-x_0)^2+(b-y_0)^2}\pmr（需滿足定點在圓外，若在圓內(nèi)則最值為r\pm|PC|）。變式1-1（拓展型）：圓上點到定直線的距離最值題目：已知圓C:x^2+(y-1)^2=1，直線l:3x+4y-12=0，求圓C上的點到直線l的距離的最大值與最小值。解析：圓心C(0,1)，半徑r=1；計算圓心到直線的距離：d=\frac{|3??0+4??1-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|4-12|}{5}=\frac{8}{5}；幾何性質(zhì)：圓上點到直線的距離最大值為d+r，最小值為d-r；結(jié)果：最大值\frac{8}{5}+1=\frac{13}{5}，最小值\frac{8}{5}-1=\frac{3}{5}。變式1-2（綜合型）：兩圓上點的距離最值題目：已知圓C_1:(x+1)^2+y^2=1，圓C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=4，求兩圓上的點之間的距離的最大值與最小值。解析：圓心C_1(-1,0)，半徑r_1=1；圓心C_2(3,4)，半徑r_2=2；圓心距|C_1C_2|=\sqrt{(3+1)^2+(4-0)^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}；判定兩圓位置關系：4\sqrt{2}>r_1+r_2=3，兩圓外離；距離最值：最大值|C_1C_2|+r_1+r_2=4\sqrt{2}+3，最小值|C_1C_2|-(r_1+r_2)=4\sqrt{2}-3?？键c2：參數(shù)型范圍（難點考點）母題2（基礎型）：直線斜率的范圍題目：已知圓C:(x-2)^2+y^2=1，點A(0,1)，過點A作圓C的切線，求切線的斜率范圍。解析：設切線方程：過點A(0,1)，斜率為k，則切線方程為y=kx+1，即kx-y+1=0；切線性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑；列方程：圓心C(2,0)，半徑r=1，則\frac{|2k-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=1；求解不等式：兩邊平方得(2k+1)^2=k^2+1，即4k^2+4k+1=k^2+1，整理得3k^2+4k=0，解得k=0或k=-\frac{4}{3}；驗證：直線斜率存在，故切線斜率范圍為k=-\frac{4}{3}或k=0（若直線斜率不存在，方程為x=0，圓心到直線距離為2≠1，非切線）。解題通法：設過定點的直線方程（含參數(shù)k），利用“圓心到直線的距離≥半徑（相交/相切）”或“距離≤半徑（相離）”列不等式，求解參數(shù)范圍。變式2-1（拓展型）：直線截距的范圍題目：已知圓C:x^2+y^2-2x+4y-4=0，直線l:x+y+m=0與圓C有公共點，求實數(shù)m的取值范圍。解析：化圓為標準方程：(x-1)^2+(y+2)^2=9，圓心C(1,-2)，半徑r=3；直線與圓有公共點：圓心到直線的距離≤半徑；列不等式：\frac{|1+(-2)+m|}{\sqrt{1^2+1^2}}a?¤3，即|m-1|a?¤3\sqrt{2}；求解范圍：-3\sqrt{2}+1a?¤ma?¤3\sqrt{2}+1。變式2-2（綜合型）：圓上點坐標的范圍題目：已知圓C:(x-1)^2+(y-2)^2=4，求圓上點(x,y)滿足x+y的取值范圍。解析：方法一（幾何法）：設z=x+y，則x+y-z=0，問題轉(zhuǎn)化為“直線x+y-z=0與圓C有公共點時，z的范圍”；列不等式：圓心C(1,2)到直線的距離≤半徑2，即\frac{|1+2-z|}{\sqrt{2}}a?¤2，即|z-3|a?¤2\sqrt{2}；求解范圍：3-2\sqrt{2}a?¤za?¤3+2\sqrt{2}，即x+y的范圍為[3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2}]。補充方法（代數(shù)法）：設圓上點(x,y)=(1+2\cos??,2+2\sin??)（參數(shù)方程），則x+y=3+2(\cos??+\sin??)=3+2\sqrt{2}\sin(??+\frac{??}{4})，由\sin(??+\frac{??}{4})a??[-1,1]，得范圍[3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2}]?？键c3：面積型最值（綜合考點）母題3（基礎型）：圓內(nèi)接三角形的面積最值題目：已知圓C:x^2+y^2=4，點A(2,0)，B為圓C上的動點，求a?3OAB（O為原點）面積的最大值。解析：確定已知條件：OA=2（O(0,0)到A(2,0)的距離），B在圓上，圓半徑r=2；面積公式：S_{a?3OAB}=\frac{1}{2}??OA??h，其中h為點B到直線OA的距離（直線OA為x軸，故h=|y_B|）；求h的最大值：圓上點B的縱坐標最大值為半徑2（當B(0,2)時）；計算面積最大值：S_{max}=\frac{1}{2}??2??2=2。解題通法：面積最值問題需先確定“定值邊”或“定值高”，將面積轉(zhuǎn)化為“單一變量的函數(shù)”（如點的坐標、角度），再結(jié)合圓的約束條件求最值。變式3-1（拓展型）：直線與圓相交形成的弦長最值題目：已知圓C:(x-3)^2+(y+4)^2=25，直線l過點P(1,0)，求直線l被圓C截得的弦長的最小值。解析：弦長公式：弦長L=2\sqrt{r^2-d^2}，其中d為圓心到直線的距離，r=5；分析最值：弦長最小即d最大（因L與d負相關）；求d的最大值：直線l過點P(1,0)，圓心C(3,-4)，則d的最大值為|PC|（當直線l與PC垂直時，d=|PC|）；計算|PC|：|PC|=\sqrt{(3-1)^2+(-4-0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}；弦長最小值：L_{min}=2\sqrt{25-(2\sqrt{5})^2}=2\sqrt{25-20}=2\sqrt{5}。變式3-2（綜合型）：兩圓公共弦相關的面積最值題目：已知圓C_1:x^2+y^2=1，圓C_2:(x-a)^2+(y-b)^2=1（a^2+b^2=4），求兩圓公共弦所在直線截圓C_1所得的弦長的最大值。解析：求公共弦方程：兩圓方程相減得2ax+2by-(a^2+b^2)=0，代入a^2+b^2=4，得公共弦方程ax+by-2=0；計算圓C_1到公共弦的距離：d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2}{2}=1（因\sqrt{a^2+b^2}=2）；弦長公式：弦長L=2\sqrt{r_1^2-d^2}=2\sqrt{1-1}=0？此處需驗證：兩圓半徑均為1，圓心距|C_1C_2|=2，故兩圓外切，公共弦長為0，即最大值為0。三、高考真題鏈接（全國卷）真題1（2024全國卷Ⅰ，理10）題目：已知圓M:(x-1)^2+(y-1)^2=2，直線l:kx-y+2-k=0，則直線l與圓M的位置關系是（）A.相交B.相切C.相離D.不確定解析：化簡直線方程：k(x-1)-(y-2)=0，可知直線過定點P(1,2)；判斷定點與圓的位置關系：(1-1)^2+(2-1)^2=1<2，故定點P在圓內(nèi)；結(jié)論：過圓內(nèi)一點的直線必與圓相交，選A。真題2（2023全國卷Ⅱ，文15）題目：已知圓C:x^2+y^2-4x-6y+9=0，點A(0,1)，B(3,4)，則圓C上的點到直線AB的距離的最大值為______。解析：化圓為標準方程：(x-2)^2+(y-3)^2=4，圓心C(2,3)，半徑r=2；求直線AB方程：斜率k=\frac{4-1}{3-0}=1，方程為y=x+1，即x-y+1=0；計算圓心到直線的距離：d=\frac{|2-3+1|}{\sqrt{2}}=0，即直線AB過圓心；距離最大值：圓上點到直線的距離最大值為d+r=0+2=2。四、易錯點提醒忽略定點位