江西省小學五年級上學期數學期末總復習-圖形與幾何一、平面圖形的認識與測量（一）直線、射線與線段直線是幾何圖形的基本構成元素，它沒有端點，可以向兩端無限延伸，無法測量長度。射線則是由線段的一端無限延長所形成的圖形，只有一個端點，同樣具有無限延伸性。線段是直線上兩點間的有限部分，有兩個明確的端點，可以測量長度。在實際解題中，需要注意區(qū)分這三種線的特征：例如，經過一點可以畫無數條直線，經過兩點只能畫一條直線；從一點出發(fā)可以引出無數條射線。（二）角的概念與分類角是由兩條有公共端點的射線組成的幾何圖形，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線叫做角的邊。角的大小與邊的長短無關，只與兩條邊張開的程度有關。角的度量單位是度，用符號“°”表示，量角器是測量角的工具。用量角器量角時，需將量角器的中心與角的頂點重合，0°刻度線與角的一條邊重合，角的另一條邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數。角可以根據度數大小進行分類：小于90°的角叫做銳角；等于90°的角叫做直角；大于90°而小于180°的角叫做鈍角；等于180°的角叫做平角；等于360°的角叫做周角。此外，還需掌握角的度量和畫法：畫指定度數的角時，先畫一條射線，使量角器的中心和射線的端點重合，0°刻度線和射線重合，在量角器相應度數刻度線的地方點一個點，以畫出的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線，即可得到所需度數的角。（三）三角形的特性與分類三角形是由三條線段首尾相連圍成的封閉圖形，具有穩(wěn)定性，生活中許多物體利用了三角形的這一特性，如自行車車架、屋頂桁架等。三角形有三個頂點、三條邊和三個角，三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，這是判斷三條線段能否組成三角形的重要依據。三角形按角分類可分為銳角三角形（三個角都是銳角）、直角三角形（有一個角是直角）和鈍角三角形（有一個角是鈍角）。按邊分類可分為不等邊三角形（三條邊都不相等）、等腰三角形（有兩條邊相等）和等邊三角形（三條邊都相等），等邊三角形是特殊的等腰三角形。等腰三角形的兩條腰相等，兩個底角相等；等邊三角形的三個角都相等，每個角都是60°。三角形的內角和是180°，這是一個重要的性質，在求三角形中未知角的度數時經常用到。例如，在一個直角三角形中，已知一個銳角是35°，則另一個銳角的度數為180°-90°-35°=55°。（四）平行四邊形和梯形平行四邊形是兩組對邊分別平行的四邊形，它的對邊平行且相等，對角相等，相鄰的兩個角互補（和是180°）。平行四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形，生活中的伸縮門、升降機等就是利用了這一特性。長方形和正方形是特殊的平行四邊形，長方形的四個角都是直角，對邊相等且鄰邊互相垂直；正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，它既是特殊的長方形，也是特殊的菱形。梯形是只有一組對邊平行的四邊形，平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底），不平行的兩邊叫做梯形的腰。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形的兩腰相等，同一底上的兩個角相等。有一個角是直角的梯形叫做直角梯形，直角梯形有兩個直角。二、平面圖形的周長與面積（一）周長的概念與計算周長是指封閉圖形一周的長度。長方形的周長=（長+寬）×2，用字母表示為C=2(a+b)；正方形的周長=邊長×4，字母公式為C=4a。例如，一個長方形的長是8厘米，寬是5厘米，其周長為（8+5）×2=26厘米；一個正方形的邊長是6分米，它的周長是6×4=24分米。對于不規(guī)則圖形的周長，可以采用“平移法”將其轉化為規(guī)則圖形的周長來計算。例如，求一個由多個正方形組成的“凹”字形圖形的周長，可以通過平移某些線段，使其成為一個大的長方形，再加上多余的線段長度。（二）面積的概念與計算面積是指物體的表面或圍成的平面圖形的大小。常用的面積單位有平方厘米、平方分米、平方米，較大的面積單位有公頃和平方千米，1公頃=10000平方米，1平方千米=100公頃=1000000平方米。長方形的面積=長×寬，字母公式S=ab；正方形的面積=邊長×邊長，即S=a2。例如，一個長方形操場的長是100米，寬是50米，其面積為100×50=5000平方米，合0.5公頃。平行四邊形的面積=底×高，用字母表示為S=ah，這里的高是指從平行四邊形一條邊上的一點向對邊引垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。需要注意的是，計算面積時底和高必須相對應，不能隨意搭配。三角形的面積=底×高÷2，字母公式S=ah÷2。這是因為兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，拼成的平行四邊形的底和高分別與三角形的底和高相等，所以三角形的面積是平行四邊形面積的一半。例如，一個三角形的底是12厘米，高是8厘米，它的面積是12×8÷2=48平方厘米。梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，用字母表示為S=(a+b)h÷2。同樣，兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，拼成的平行四邊形的底等于梯形的上底與下底之和，高等于梯形的高，所以梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半。例如，一個梯形的上底是5米，下底是9米，高是4米，其面積為（5+9）×4÷2=28平方米。（三）組合圖形的面積計算組合圖形是由兩個或兩個以上的基本圖形組合而成的。計算組合圖形的面積，通常采用“分割法”或“添補法”。分割法是將組合圖形分割成幾個已學過的基本圖形，分別計算它們的面積，再相加；添補法是通過添補一個或幾個基本圖形，使組合圖形變成一個大的基本圖形，用大圖形的面積減去添補圖形的面積。例如，一個組合圖形由一個長方形和一個三角形組成，長方形的長是10厘米，寬是6厘米，三角形的底是10厘米，高是3厘米，采用分割法計算其面積，長方形的面積為10×6=60平方厘米，三角形的面積為10×3÷2=15平方厘米，組合圖形的面積為60+15=75平方厘米。三、位置與方向（一）用數對確定位置在平面內，我們可以用數對來確定物體的位置。數對是一個表示位置的概念，相當于坐標，前一個數字表示列，后一個數字表示行，通常把豎排叫做列，橫排叫做行。例如，在教室里，小明坐在第3列第4行，用數對表示為（3，4）；小紅的位置用數對表示是（5，2），則說明她坐在第5列第2行。在方格紙上用數對確定位置時，先看物體在第幾列，這個數就是數對中的第一個數；再看物體在第幾行，這個數就是數對中的第二個數。需要注意的是，數對的第一個數和第二個數不能調換位置，否則表示的位置就不同了。（二）根據方向和距離確定位置確定物體的位置需要方向和距離兩個要素。通常以“上北下南，左西右東”為基本方向，在此基礎上還有東北、東南、西北、西南四個方向。描述方向時，一般先說夾角較小的方向，例如，北偏東30°，表示從正北方向向東偏30°；如果夾角較大，則可以說南偏東60°，而不是東偏南30°。距離是指物體與觀測點之間的長度。在描述位置時，需要明確觀測點，不同的觀測點，物體的位置描述也不同。例如，以學校為觀測點，圖書館在學校的北偏東40°方向，距離學校200米；那么以圖書館為觀測點，學校就在圖書館的南偏西40°方向，距離圖書館200米。四、圖形的運動（一）平移與旋轉平移是指在平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的移動。平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置。判斷一個圖形是否平移，關鍵看圖形上的每個點是否都向同一個方向移動了相同的距離。例如，電梯的上下運動、火車在鐵軌上的行駛都是平移現象。旋轉是指物體圍繞一個點或一個軸做圓周運動。旋轉也不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的方向和位置。旋轉的三要素是旋轉中心、旋轉方向（順時針或逆時針）和旋轉角度。例如，鐘面上指針的轉動、風車的轉動都是旋轉現象。在方格紙上畫平移后的圖形時，先確定平移的方向和距離，然后找出原圖形的關鍵點，將這些關鍵點按照指定的方向和距離進行平移，最后連接平移后的關鍵點，即可得到平移后的圖形。畫旋轉后的圖形時，同樣先確定旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度，再找出原圖形的關鍵點，將關鍵點繞旋轉中心按指定方向旋轉指定角度，最后連接各點。（二）軸對稱圖形如果一個圖形沿著一條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。例如，長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰三角形有1條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，圓有無數條對稱軸。判斷一個圖形是否是軸對稱圖形，關鍵是看能否找到一條直線，使圖形沿這條直線對折后兩邊完全重合。在畫軸對稱圖形的另一半時，先找出已知圖形的關鍵點，然后根據對稱軸確定這些關鍵點的對稱點（對稱點到對稱軸的距離相等），最后連接對稱點即可。五、立體圖形的初步認識（一）長方體和正方體的特征長方體是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形，它有8個頂點，12條棱（相對的棱長度相等），6個面（相對的面完全相同）。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。正方體是長、寬、高都相等的長方體，它也有8個頂點，12條棱（所有棱的長度都相等），6個面（所有面都是完全相同的正方形）。正方體是特殊的長方體，它具有長方體的所有特征。（二）立體圖形的展開圖長方體和正方體都有各自的展開圖。長方體的展開圖由6個長方形組成（可能有兩個相對的面是正方形），相對的面在展開圖中不相鄰。正方體的展開圖有11種基本形式，分為“1-4-1型”“2-3-1型”“2-2-2型”“3-3型”四種類型，判斷一個圖形是否是正方體的展開圖，需要看它能否折疊成一個正方體，且沒有重疊的面。例如，“1-4-1型”展開圖是指中間有4個正方形，上下各有1個正方形；“2-3-1型”是指中間有3個正方形，上面有2個正方形，下面有1個正方形（或上面有1個，下面有2個）。六、圖形與幾何的實際應用（一）解決生活中的面積問題在實際生活中，經常會遇到計算面積的問題。例如，給教室的地面鋪地磚，需要先計算教室地面的面積和每塊地磚的面積，然后用教室地面的面積除以每塊地磚的面積，得到所需地磚的塊數（注意：計算時單位要統(tǒng)一）。如果地磚的邊長是50厘米，教室地面的長是9米，寬是6米，先將50厘米換算成0.5米，每塊地磚的面積是0.5×0.5=0.25平方米，教室地面的面積是9×6=54平方米，所需地磚的塊數為54÷0.25=216塊。又如，一塊三角形的菜地，底是25米，高是16米，每平方米收白菜8千克，這塊地一共可以收白菜多少千克？先計算三角形菜地的面積：25×16÷2=200平方米，再計算總產量：200×8=1600千克。（二）利用圖形的運動設計圖案圖形的平移、旋轉和軸對稱在圖案設計中有著廣泛的應用。許多美麗的圖案都是通過這些圖形運動方式組合而成的。例如，利用平移可以設計出整齊的花邊；利用旋轉可以設計出具有動感的圖案；利用軸對稱可以設計出對稱美的圖案。在設計圖案時，可以先確定基本圖形，然后通過平移、旋轉或軸對稱的方式進行變換，重復多次后就能得到一幅完整的圖案。（三）位置與方向在實際中的運用位置與方向在導航、測繪等領域有著重要的應用。例如，航海中，船只需要根據燈塔的方向和距離來確定自己的位置和航行路線；在軍事上，需要根據敵方目標的方向和距離來制定作戰(zhàn)計劃。在日常生活中，我們也會用到位置與方向的知識，如描述建筑物的位置、尋找目的地等。七、易錯點與解題技巧（一）易錯點分析概念混淆：例如，混淆直線、射線和線段的特征，誤認為射線和直線可以測量長度；混淆周長和面積的概念，將面積單位用于表示周長，或將周長單位用于表示面積。公式運用錯誤：在計算三角形和梯形的面積時，忘記除以2；計算平行四邊形面積時，用底邊乘以鄰邊而不是高。單位換算錯誤：面積單位之間的換算進率容易記錯，如將1公頃換算成100平方米，或將1平方千米換算成1000平方米。方向描述不準確：在描述方向時，沒有明確觀測點，或混淆了方向的夾角描述，如將北偏東30°說成東偏北30°。數對表示錯誤：將數對中的列和行顛倒，如將（3，5）表示為（5，3）。（二）解題技巧總結畫圖輔助法：對于圖形與幾何的問題，畫圖是一種直觀有效的方法。例如，在解決組合圖形的面積問題時，畫出圖形并進行分割或添補，能幫助理清思路；在根據方向和距離確定位置時，畫出示意圖可以使問題更清晰。公式推導法：理解公式的推導過程，而不是死記硬背。例如，通過將兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，推導出三角形的面積公式，這樣在運用時就不容易忘記除以2。單位換算技巧：牢記常用的單位換算進率，進行單位換算時，先明確是高級單位換算成低級單位還是低級單位換算成高級單位，然后乘以或除以相應的進率。例如，將平方米換算成公頃，是低級單位換算成高級單位，除以進率10000。多角度思考