西藏自治區(qū)小學五年級下學期數(shù)學第八單元測試卷-數(shù)學廣角單元檢測一、知識點梳理（一）找次品的基本方法找次品是通過天平稱重，利用次品與正品在質量上的差異（通常假設次品較輕或較重），通過合理分組和推理找出次品的過程。其核心策略是將待測物品分成3份，盡量平均分；如果不能平均分，也要使多的一份與少的一份只相差1。例如：9個物品可平均分成3份（3，3，3）；10個物品可分成3份（3，3，4），確保每份數(shù)量接近。（二）天平稱重的推理邏輯平衡狀態(tài)：若天平兩端物品質量相等，次品在未稱重的那份中；不平衡狀態(tài)：若次品較輕，次品在天平翹起的一端；若次品較重，次品在天平下沉的一端。通過多次稱重，逐步縮小次品所在范圍，直至找出次品。（三）物品數(shù)量與稱重次數(shù)的關系當物品數(shù)量在(3^n)（(n)為正整數(shù)）以內(nèi)時，至少需要(n)次稱重可保證找出次品：(1)～(3)個物品（(3^1)），需稱(1)次；(4)～(9)個物品（(3^2)），需稱(2)次；(10)～(27)個物品（(3^3)），需稱(3)次；(28)～(81)個物品（(3^4)），需稱(4)次。二、易錯點解析（一）分組不合理，未遵循“三分法”錯誤示例：將8個零件分成2份（4，4），第一次稱重后次品范圍仍為4個，未有效縮小。正確分組：分成3份（3，3，2）。若天平平衡，次品在2個中，再稱1次即可；若不平衡，次品在翹起的3個中，再稱1次可找出。（二）天平推理錯誤，混淆次品輕重方向錯誤示例：已知次品較輕，當天平兩端各放6個物品時，錯誤認為次品在下沉的一端。正確推理：次品較輕時，天平翹起的一端才是次品所在位置。（三）對數(shù)量與次數(shù)關系理解偏差錯誤示例：認為10個物品比9個物品需要更多稱重次數(shù)。正確分析：9個物品（(3^2)）需稱2次，10個物品分成（3，3，4），通過3次稱重即可找出次品，二者均符合“(3^n)以內(nèi)”的規(guī)律。三、典型例題與變式訓練（一）基礎應用題：分組策略與稱重次數(shù)計算例題1：有11瓶口香糖，其中1瓶是次品（次品較輕），至少稱幾次能保證找出次品？解答步驟：分組：將11瓶分成3份（4，4，3）；第一次稱重：天平兩端各放4瓶。若平衡，次品在3瓶中；第二次稱2瓶，平衡則剩余1瓶為次品，不平衡則翹起端為次品（共2次）。若不平衡，次品在翹起的4瓶中；第二次將4瓶分成（1，1，2），稱2個1瓶，平衡則次品在2瓶中，第三次稱重找出（共3次）。結論：至少稱3次。變式訓練1：有13個零件（次品較重），至少稱幾次能保證找出次品？提示：分成（4，4，5），利用次品較重的條件推理。答案：3次。（二）進階應用題：結合實際場景的推理例題2：有27個乒乓球（次品較輕），至少稱幾次能保證找出次品？解答步驟：分組：平均分成3份（9，9，9）；第一次稱重：天平兩端各放9瓶，次品在翹起的9瓶中；第二次稱重：將9瓶分成（3，3，3），次品在翹起的3瓶中；第三次稱重：將3瓶分成（1，1，1），翹起端為次品。結論：至少稱3次（符合(3^3=27)的規(guī)律）。變式訓練2：有25個羽毛球（次品較輕），至少稱幾次能保證找出次品？提示：分成（8，8，9），分情況討論平衡與不平衡的推理過程。答案：3次。（三）思維拓展題：逆向推導物品數(shù)量范圍例題3：現(xiàn)有一批糖果，已知至少稱3次能保證找出次品，這批糖果最多有多少瓶？解答邏輯：稱3次對應的最大數(shù)量為(3^3=27)瓶（10～27瓶需稱3次）。結論：最多27瓶。變式訓練3：若至少稱4次能保證找出次品，物品數(shù)量最多是多少？答案：81瓶（(3^4=81)）。（四）實際操作題：天平狀態(tài)與次品位置判斷例題4：有9個零件，第一次稱重時天平兩端各放3個，天平平衡，次品在哪里？解答：天平平衡說明次品在未稱重的3個中，需進一步稱重這3個。變式訓練4：有15盒餅干（次品較輕），第一次稱重天平兩端各放5盒，若天平不平衡，次品在哪部分？答案：翹起的5盒中。四、綜合檢測題一、填空題有7盒曲別針（1盒次品較輕），至少稱（）次可找出次品。找次品的最優(yōu)策略是將物品分成（）份，盡量（）分，不能平均分則使多與少的份數(shù)相差（）。28個物品中找次品（較輕），至少稱（）次。二、解答題有10瓶水，其中1瓶是鹽水（較重），用天平稱，至少稱幾次能保證找出鹽水？質檢人員從27盒巧克力中找出1盒次品（較輕），請寫出稱重步驟。一批零件共20個（次品較輕），能否用3次稱重保證找出次品？說明理由。參考答案一、填空題22.3；平均分；13.4二、解答題3次（分組：3，3，4）；3次（分3份（9，9，9），逐步縮小范圍）；能（20在10～27范圍內(nèi)，符合3次稱重條件）。五、思維提升：生活中的“找次品”模型找次品問題本質是一種邏輯推理與優(yōu)化思想的結合，類似問題在生活中廣泛應用：藥品檢測：從多瓶藥品中找出不合格產(chǎn)品；食品質檢：通過稱重排查包裝缺量的零食；工業(yè)生產(chǎn)：檢測零件重量偏差。掌握“三分法”和推理邏輯，可高效解決此類問題，培養(yǎng)分析與解決復雜問