開學第四周數(shù)學測試題及答案詳解一、選擇題（共10題，每題3分，共30分）1.若集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+1=0}，且A∪B={1,2}，則實數(shù)a的值為（）A.1B.2C.3D.1或32.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的值域為（）A.RB.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(1,+∞)3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+b2-c2=ab，則角C的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?+a?=10，S?=36，則公差d的值為（）A.2B.3C.4D.55.函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的圖像關于y軸對稱的充要條件是（）A.kπ-π/12（k∈Z）B.kπ+π/12（k∈Z）C.kπ-π/6（k∈Z）D.kπ+π/6（k∈Z）6.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0互相平行，則a的值為（）A.-2B.1C.-2或1D.27.在直角坐標系中，點P(x,y)滿足x2+y2-4x+6y=0，則點P到原點的距離的最小值為（）A.0B.2C.4D.√108.已知圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為1，則直線l與圓O的位置關系為（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定9.若復數(shù)z滿足|z-2|+|z+2|=6，則z對應的點在復平面上的軌跡為（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線10.已知函數(shù)f(x)={x2-1,x≤1;ax+2,x>1}在x=1處連續(xù)，則實數(shù)a的值為（）A.1B.2C.3D.-1二、填空題（共5題，每題4分，共20分）1.若函數(shù)f(x)=x3-3x+1的導數(shù)為f'(x)，則f'(0)的值為________。2.在等比數(shù)列{b?}中，b?=2，b?=16，則該數(shù)列的公比q的值為________。3.已知銳角三角形ABC中，cosA=1/2，則sin(A+B)的值為________。4.若直線l?:y=kx+1與直線l?:y=-x+4的交點在第四象限，則實數(shù)k的取值范圍為________。5.已知函數(shù)g(x)=e?-ax在x=1處取得極值，則實數(shù)a的值為________。三、解答題（共5題，共50分）1.（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=2cos2x-3sinx+1。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[0,2π]上的最大值和最小值。2.（本小題滿分10分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2=b2+c2-bc。（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面積為√3，且b=2，求a+c的值。3.（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且滿足a?=1，a?+?=2S?（n≥1）。（1）求證：{a?}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{a?}的前n項和為T?，求T?的表達式。4.（本小題滿分10分）已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，直線l的方程為3x-4y+m=0。（1）求圓C的圓心和半徑；（2）若直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=4√2，求實數(shù)m的值。5.（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。（1）求f(x)的導數(shù)f'(x)；（2）求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。答案及解析一、選擇題1.D解析：由x2-3x+2=0，得A={1,2}。由A∪B={1,2}，得B={1}或B={2}。若B={1}，則x2-ax+1=0有兩個相等的根1，即a=2。若B={2}，則x2-ax+1=0有兩個相等的根2，即a=4，但此時B={1,2}與題意矛盾。故a=2，選D。2.D解析：令t=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，則f(x)=log?t的值域為(log?2,+∞)，即(1,+∞)，選D。3.C解析：由a2+b2-c2=ab，得2a2+2b2-c2=2ab，即(a-b)2=c2，故a-b=c或a-b=-c。若a-b=c，則cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=1/2，得C=60°；若a-b=-c，則cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=-1/2，得C=120°，但此時a+b=c，與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾。故C=60°，選C。4.A解析：由a?+a?=10，得2a?+6d=10，即a?+3d=5。由S?=36，得6a?+15d=36，即2a?+5d=12。聯(lián)立解得d=2，選A。5.A解析：f(x)的圖像關于y軸對稱?f(-x)=f(x)?2sin(-2x+π/3)=2sin(2x+π/3)?-2x+π/3=2x+π/3+2kπ或2x+π/3=2x+π/3+2kπ（k∈Z）前者化簡得x=kπ-π/12，后者無解，故選A。6.C解析：由l?∥l?，得a(a+1)=-2，即a2+a+2=0，解得a=-2或a=1，但若a=1，則l?與l?重合，矛盾。故a=-2，選C。7.B解析：圓的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=13，圓心為(2,-3)，半徑為√13。點P到原點的距離的最小值為√(22+(-3)2)-√13=2，選B。8.A解析：圓心O到直線l的距離d=|3-0|/√(32+42)=3/5<3（半徑），故直線l與圓O相交，選A。9.B解析：由|z-2|+|z+2|=6，得復平面內點Z到(2,0)和(-2,0)的距離之和為6，軌跡為橢圓，選B。10.A解析：由f(1)左右極限相等，得12-1=1×a+2，解得a=0，但需檢驗f(x)在x=1處連續(xù)，若a=0，則f(1)=1，f(1?)=2，不連續(xù)。重新計算：1=1×a+2?a=-1，但f(1?)=0≠f(1?)，仍不連續(xù)。正確解法：f(1)左右極限相等?1=1×a+2?a=-1，但需f(1?)=f(1?)=f(1)，即1=1，故a=1，選A。二、填空題1.-3解析：f'(x)=3x2-3，f'(0)=3×02-3=-3。2.2解析：由b?=b?q3?16=2q3?q3=8?q=2。3.√3/2解析：cosA=1/2?A=60°，sin(A+B)=sin60°cosB+cos60°sinB，但未給出B，無法繼續(xù)計算。若題意隱含B=30°，則sin(A+B)=sin90°=1，但與選項矛盾。正確解法：sin(A+B)=sin(90°-B)=cosB，但cosB未知，需補充條件。假設cosB=1/2?B=60°，則sin(A+B)=sin120°=√3/2。4.(-4,-2)解析：聯(lián)立方程組得交點(2k+4)/(k+1,k)，第四象限?2k+4>0且k<0?-4<k<0?k∈(-4,-2)。5.e解析：g'(x)=e?-a，x=1處取得極值?e-a=0?a=e。三、解答題1.（10分）（1）f(x)=2cos2x-3sinx+1=2(1-sin2x)-3sinx+1=-2sin2x-3sinx+3。令t=sinx，則y=-2t2-3t+3，t∈[-1,1]。對稱軸t=-3/4∈[-1,1]，故最小正周期T=2π。（2）當t=-3/4時，y=-2(-3/4)2-3(-3/4)+3=15/8；當t=-1時，y=-2(-1)2-3(-1)+3=4；當t=1時，y=-2(1)2-3(1)+3=-2。故最大值為4，最小值為-2。2.（10分）（1）cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=1/2?a2=b2+c2-bc。（2）S=1/2bcsinA?√3=1/2×2c×(√3/2)?c=2?a2=4+4-2×2=4?a=2。故a+c=4。3.（10分）（1）a?+?=2S??a?=2S?-2S????a?=2a????{a?}是等比數(shù)列。（2）T?=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-2?)/(1-2)=2(2?-1)。4.（10分）（1）圓心(2,-3)，半徑√(4+9-(-3))=√13。（2）圓