第十章概率【章末測試】單項選擇題1.[2024西南大學(xué)附中模擬]對于兩個事件A,B,則事件A∪B表示的含義是()A.A與B同時發(fā)生 B.A與B有且僅有一個發(fā)生C.A與B至少有一個發(fā)生 D.A與B不能同時發(fā)生2.[2025廣東省潮州市高一期末]某射箭運動員進行射擊訓(xùn)練,共3組,每組射擊次數(shù)和命中目標的次數(shù)如下表.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息,用頻率估計一次射擊命中目標的概率,誤差較小的可能性的估計是()

第一組第二組第三組合計射擊次數(shù)100200300600命中目標的次數(shù)66126183375命中目標的頻率0.660.630.610.625A.0.61 B.0.63 C.0.625 D.0.663.[2025重慶南開中學(xué)高一期末]已知事件A,B互斥,且事件A發(fā)生的概率P(A)=25,事件B發(fā)生的概率P(B)=13,則事件A,A.215 B.415 C.1115 4.[2025佛山一中檢測]投籃測試中,每人投2次,至少投中1次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學(xué)通過測試的概率為()A.0.24 B.0.48 C.0.84 D.0.945.[2025安徽師大附中模擬]已知樣本空間Ω={a,b,c,d}中有4個等可能的樣本點,且A={a,b},B={b,c},則P(AB)=()A.1 B.12 C.34 6.[2025河南省實驗中學(xué)、鄭州外國語學(xué)校等校高一聯(lián)考]為加強學(xué)生身體健康,某校對學(xué)生進行了體能測試.已知同學(xué)甲在立定跳遠項目中每次及格的概率均為0.6,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計甲在立定跳遠項目中3次機會里至少及格2次的概率:先由計算機產(chǎn)生0到9范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù),指定0,1,2,3表示沒有及格,4,5,6,7,8,9表示及格,再以每3個隨機數(shù)為一組,代表3次立定跳遠的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):759421113215345257704066186203037624616045601366959742710428據(jù)隨機模擬試驗估計,甲在立定跳遠項目中3次機會里至少及格2次的概率為()A.12 B.35 C.81125 7.【學(xué)科綜合】[2025九江一中高一期末]如圖,某電子元件由A,B,C三種部件組成,現(xiàn)將該電子元件應(yīng)用到某研發(fā)設(shè)備中,經(jīng)過反復(fù)測試,A,B,C三種部件不能正常工作的概率分別為14,13,12,各個部件是否正常工作相互獨立.A,B同時正常工作或C正常工作,則該電子元件能正常工作,那么該電子元件能正常工作的概率是(A.34 B.23 C.11128.【模塊綜合】[2025青島二中高一調(diào)研]在集合{0,1,2,3}中任取兩個數(shù)a,b(a<b)構(gòu)成以原點為起點的向量m=(a,b).從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個不共線向量為鄰邊作平行四邊形,則平行四邊形面積不超過2的概率為()A.13 B.512 C.712 多項選擇題9.[2025成都外國語學(xué)校月考]拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,觀察向上的面的點數(shù),“點數(shù)為奇數(shù)”記為事件A,“點數(shù)小于5”記為事件B,“點數(shù)大于5”記為事件C.則下列說法正確的是()A.A與C互斥 B.B與C對立C.A與B相互獨立 D.P(A∪B)=P(A)+P(B)10.[2025廈門一中入學(xué)考試]某社團開展“建黨104周年主題活動——學(xué)黨史知識競賽”,甲、乙兩人能得滿分的概率分別為34,2A.兩人均獲得滿分的概率為1B.兩人至少一人獲得滿分的概率為7C.只有甲獲得滿分的概率為1D.兩人至多一人獲得滿分的概率為111.[2025合肥一六八中學(xué)高一期末]在一個不透明的袋子中,裝有大小、材質(zhì)相同的2個紅球和3個綠球,從袋中依次抽取2個球,記Ri=“第i次取到紅球”,Gi=“第i次取到綠球”,其中i=1,2,則下列說法正確的是()A.若有放回地抽取,則P(R1)=P(R2)=P(G1)=P(G2)=1B.若有放回地抽取,則P(R1G2)=6C.若不放回地抽取,則P(R1G2)=3D.若不放回地抽取,則P(R1∪G2)=7填空題12.[2025長春市十一高中高一月考]設(shè)A,B是兩個相互獨立事件,且P(A)=23,P(B)=13,則P(A∪B)=13.【傳統(tǒng)文化】[2025鞍山一中高一質(zhì)量監(jiān)測]如圖是《河圖洛書》中的八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(表示一根陽線,表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦中陽線數(shù)量之和為4的概率是.

14.[2025北京市房山區(qū)高一期末改編]隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,越來越多的人習(xí)慣用手機應(yīng)用程序(簡稱App)獲取新聞資訊,手機應(yīng)用程序已經(jīng)成為人們生活中不可或缺的一部分,它悄無聲息地改變著人們的生活習(xí)慣,也為人們的生活提供了極大的便利.為了解用戶對某款A(yù)pp的滿意度,隨機調(diào)研了3000名用戶,調(diào)研結(jié)果如下表(單位:人):

青年人中年人老年人滿意600700300一般550250200不滿意25050100從所有參與調(diào)研的人中隨機選取1人,則此人“不滿意”的概率為;若用頻率估計概率,從使用該款A(yù)pp的青年人和中年人中各隨機選取1人,估計恰有1人“滿意”的概率為.(本題第一空2分,第二空3分)

解答題15.(13分)[2025廣東高州中學(xué)質(zhì)量檢測]如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機抽取100個從A地到火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:所用時間(單位:分)[10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試用頻率估計概率,估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡可能在允許時間內(nèi)趕到火車站,試用頻率估計概率,通過計算說明他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.16.(15分)[2025宜春中學(xué)高一期末]宜春明月山是國家森林公園、省級風(fēng)景名勝區(qū).為更好地提升旅游品質(zhì),隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分(滿分100分),根據(jù)評分,制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求x的值;(2)若采用按比例分層隨機抽樣的方法從評分在[50,60),[60,70)的兩組中共抽取3人,再從這3人中隨機抽取2人進行交流,求選取的2人評分分別在[50,60)和[60,70)內(nèi)的概率.17.(15分)[2025呂梁市鳳山高級中學(xué)高一期末]某校舉行數(shù)學(xué)競賽,初賽時,每位參賽選手從4道題中隨機抽取2道作答,若2道題全部答對,則直接進入決賽;若2道題都答錯,則直接淘汰;若恰好答對1道題,則進入復(fù)賽.復(fù)賽時,每位參賽選手回答2道題(與初賽時的題目不同),若2道題都答對,則進入決賽,否則淘汰.該校學(xué)生甲參加了這次數(shù)學(xué)競賽,已知甲初賽時只會其中2道題,復(fù)賽時答對每道題的概率均為12,初、復(fù)賽結(jié)果互不影響,且復(fù)賽時各題答對與否互不影響(1)求甲進入決賽的概率;(2)求甲至少答對2道題的概率.18.(17分)[2025南昌二中高一期末]為了建設(shè)書香校園,營造良好的讀書氛圍,學(xué)校開展“送書券”活動.該活動由三個游戲組成,每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響.連勝兩個游戲可以獲得一張書券,連勝三個游戲可以獲得兩張書券.游戲規(guī)則如下表:

游戲一游戲二游戲三取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為m獲勝箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個,白球2個(紅球編號為“1,2,3”,白球編號為“4,5”)(1)分別求出游戲一、游戲二的獲勝概率;(2)一名同學(xué)先玩了游戲一,試問m為何值時,接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大.19.(17分)[2025雅安中學(xué)入學(xué)檢測]在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時,收到1的概率為p1(0<p1<1),收到0的概率為1-p1;發(fā)送1時,收到0的概率為p2(0<p2<1),收到1的概率為1-p2.現(xiàn)有兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼(例如,若收到1,則譯碼為1,若收到0,則譯碼為0);三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1,若依次收到1,1,1,則譯碼為1).(1)已知p1=23,p2=3①若采用單次傳輸方案,重復(fù)發(fā)送信號0兩次,求至少收到一次0的概率;②若采用單次傳輸方案,依次發(fā)送0,0,1,證明:事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立.(2)若發(fā)送1,采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率,求p2的取值范圍.參考答案1.C由事件的和知A∪B表示的是A與B至少有一個發(fā)生.2.C由題可知,試驗次數(shù)越多,頻率越接近概率,對可能性的估計誤差越小,所以射擊次數(shù)600對應(yīng)的頻率最為合適.3.B事件A,B互斥,事件A,B都不發(fā)生的對立事件是事件A與B至少有一個發(fā)生,由此即可求出答案.事件A,B互斥,且事件A發(fā)生的概率P(A)=25,事件B發(fā)生的P(B)=13,事件A,B都不發(fā)生的對立事件是事件A,B至少有一個發(fā)生,所以事件A,B都不發(fā)生的概率為P(AB)=1-P(A∪B)=1-25-13=415(事件A,B互斥,所以P(AB)=0,即P(A∪B)=P(A)4.C方法一該同學(xué)通過測試的概率為0.6×0.6+0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.84.方法二依題意,該同學(xué)兩次投籃都不中的概率為(1-0.6)2=0.16,所以該同學(xué)通過測試的概率為1-0.16=0.84.5.D先求事件AB包含的樣本點個數(shù),再利用古典概型概率公式計算可得.因為樣本空間Ω={a,b,c,d},又A={a,b},B={b,c},則B={a,d},所以AB={a}.因為樣本空間Ω={a,b,c,d}中包含4個等可能的樣本點,事件AB包含1個樣本點,所以由古典概型的概率公式可得P(AB)=146.D找到20組數(shù)據(jù)中符合題意的數(shù)據(jù)個數(shù),然后利用古典概型概率公式求解即可.依題意,在每組隨機數(shù)中,至少有2個數(shù)字在4,5,6,7,8,9中,即代表甲在立定跳遠項目中3次機會里至少及格2次,經(jīng)統(tǒng)計,20組中一共有13組符合要求,即759,345,257,704,066,186,624,616,045,366,959,742,428,故概率為13207.A設(shè)上半部分正常工作為事件M,下半部分正常工作為事件N,該電子元件能正常工作為事件E.∵P(M)=(1-14)×(1-13)=12,∴P(M)=1-P(M)=1-12=12.又∵P(N)=12,∴P(E)=1-P(M)P(N)=1-128.C由坐標判斷向量是否共線+向量夾角的坐標表示+計算古典概型的概率思路導(dǎo)引任選兩個不共線向量為鄰邊作平行四邊形,共12種情況,其中求出相應(yīng)的平行四邊形面積,得到面積不超過2的情況,結(jié)合古典概型的概率公式得到相應(yīng)的概率.向量m可以為(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3),從中任選兩個不共線向量,有{(0,1),(1,2)},{(0,1),(1,3)},{(0,1),(2,3)},{(0,2),(1,2)},{(0,2),(1,3)},{(0,2),(2,3)},{(0,3),(1,2)},{(0,3),(1,3)},{(0,3),(2,3)},{(1,2),(1,3)},{(1,2),(2,3)},{(1,3),(2,3)},共12種情況.設(shè)θ為兩向量的夾角,當(dāng)選擇{(0,1),(1,2)}時,cosθ=(0,1)·(1,2)1×1+4=255,故sinθ=1?9.AC事件A={1,3,5},事件B={1,2,3,4},事件C={6}.A(√)事件A,C沒有公共元素,不可能同時發(fā)生,A與C互斥.B(?)事件B,C可以同時不發(fā)生,如點數(shù)為5,故B與C不對立.C(√)P(A)=36=12,P(B)=46=23,P(AB)=26=13,因為P(AB)=P(A)P(BD(?)由選項C知,P(AB)≠0,則P(A∪B)≠P(A)+P(B).10.ACD設(shè)A=“甲獲得滿分”,B=“乙獲得滿分”,則P(A)=34,P(B)=2A(√)“兩人均獲得滿分”可表示為A∩B,因為兩人能否獲得滿分相互獨立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=34×23=B(?)因為“兩人至少一人獲得滿分”的對立事件為“兩人都沒獲得滿分”,即A∩B,所以“兩人至少一人獲得滿分”的概率為1-P(A∩B)=1-P(A)P(B)=1-14×13=11C(√)“只有甲獲得滿分”可表示為A∩B,其概率為P(A∩B)=P(A)P(B)=34×13=D(√)因為“兩人至多一人獲得滿分”的對立事件為“兩人都獲得滿分”,即A∩B,所以“兩人至多一人獲得滿分”的概率為1-P(A∩B)=1-P(A)P(B)=1-34×23=111.BCDA(?)B(√)給大小、材質(zhì)相同的2個紅球編號為a,b,3個綠球編號為c,d,e,若有放回地抽取,則樣本空間Ω={(x,y)|x,y∈{a,b,c,d,e}},共包含25個樣本點,R1={(x,y)|x∈{a,b},y∈{a,b,c,d,e}},所以第1次取到紅球包含10個樣本點;R2={(x,y)|x∈{a,b,c,d,e},y∈{a,b}},所以第2次取到紅球包含10個樣本點;G1={(x,y)|x∈{c,d,e},y∈{a,b,c,d,e}},所以第1次取到綠球包含15個樣本點;G2={(x,y)|x∈{a,b,c,d,e},y∈{c,d,e}},所以第2次取到綠球包含15個樣本點.所以P(R1)=P(R2)=1025=25,P(G1)=P(G2)=1525=35.因為事件R1G2={(x,y)|x∈{a,b},y∈{c,d,e}},包含6個樣本點,所以P(R1G2C(√)D(√)若不放回地抽取,則樣本空間Ω1={ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed},共包含20個樣本點.因為事件R1G2={ac,ad,ae,bc,bd,be},包含6個樣本點,所以P(R1G2)=620=3因為事件R1∪G2={ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,cd,ce,dc,de,ec,ed},包含14個樣本點,所以P(R1∪G2)=1420=712.59因為A,B是兩個相互獨立事件,所以A,B也相互獨立,即P(AB)=P(A)P(B).因為P(A)=23,所以P(A)=1-P(A)=13,則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=13+13-113.314由題圖可知有0根陽線的有一卦、有1根陽線的有三卦、有2根陽線的有三卦、有3根陽線的有一卦.記有0根陽線的一卦為0,有1根陽線的三卦分別為a,b,c,有2根陽線的三卦分別為A,B,C,有3根陽線的一卦為3,從八卦中任取兩卦,對應(yīng)的樣本空間Ω={(0,a),(0,b),(0,c),(0,A),(0,B),(0,C),(0,3),(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(a,C),(a,3),(b,c),(b,A),(b,B),(b,C),(b,3),(c,A),(c,B),(c,C),(c,3),(A,B),(A,C),(A,3),(B,C),(B,3),(C,3)},一共有28個樣本點,其中滿足陽線數(shù)量之和為4的樣本點有(a,3),(b,3),(c,3),(A,B),(A,C),(B,C),共6個,所以根據(jù)古典概型的概率計算公式得兩卦中陽線數(shù)量之和為4的概率P=628=14.215

3770所有參與調(diào)研的人共有3000人,不滿意的人數(shù)是250+50+100=400.記事件D=“從所有參與調(diào)研的人中隨機選取1人,此人不滿意”,則P(D)=4003

000=215.參與調(diào)研的青年人共有600+550+250=140(人),滿意的有600人,記事件M=“從使用該款A(yù)pp的青年人中隨機選取1人,此人滿意”,則P(M)的估計值為6001

400=37.參與調(diào)研的中年人共有700+250+50=100(人),滿意的有700人,記事件N=“從使用該款A(yù)pp的中年人中隨機選取1人,此人滿意”,則P(N)的估計值為7001

000=710.則從使用該款A(yù)pp的青年人和中年人中各隨機選取1人,恰有1人“滿意”的概率估計為P(MN+MN)=P(M)P(N)+P(M)P(N)=15.【解析】(1)調(diào)查的100人中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),(2分)因此40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的頻率為0.44,(4分)用頻率估計概率,估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率為0.44.(5分)(2)設(shè)A1,A2分別表示甲選擇路徑L1和L2時,在40分鐘內(nèi)趕到火車站,B1,B2分別表示乙選擇路徑L1和L2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站.依題意,抽取的100人選擇L1的人數(shù)為6+12+18+12+12=60,選擇L2的人數(shù)為0+4+16+16+4=40,故P(A1)=660+1260+1860=0.6,P(A2)=440+16由P(A1)>P(A2),得甲應(yīng)選擇路徑L1;(9分)P(B1)=660+1260+1860+1260=0.8,P(B2)=440+1640由P(B1)<P(B2),得乙應(yīng)選擇路徑L2,(12分)所以甲應(yīng)選擇路徑L1,乙應(yīng)選擇路徑L2.(13分)16.【解析】(1)由頻率分布直方圖可知,10×(0.005+x+0.015+0.03+0.04)=1(頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1),解得x=0.01.(4分)(2)因為評分在[50,60),[60,70)的頻率分別為0.05,0.1,所以在[50,60)中抽取0.050.05+0.在[60,70)中抽取0.10.05+0.1×記事件A表示從這3人中隨機抽取2人進行交流,選取的2人評分分別在[50,60)和[60,70)內(nèi).從這3人中隨機抽取2人,則有{a,B},{a,C},{B,C},共3個樣本點,(10分)選取的2人評分分別在[50,60)和[60,70)內(nèi)的有{a,B},{a,C},共2個樣本點,(12分)所以P(A)=23即選取的2人評分分別在[50,60)和[60,70)內(nèi)的概率為23.17.【解析】(1)設(shè)事件Ai=“甲初賽答對i道題”(i=0,1,2),Bi=“甲復(fù)賽答對i道題”(i=0,1,2),A=“甲進入決賽”.第一步:利用古典概型的概率計算公式求得P(A1),P(A2)將初賽的4道題編號為1,2,a,b,其中甲會的題為a,b,從4道中選2道,樣本空間Ω={(1,2),(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(a,b)},共6個樣本點.因為A1={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)},A2={(a,b)},所以n(A1)=4,n(A2)=1,所以P(A1)=46=23,P(A2)=1第二步:根據(jù)獨立事件的概率乘法公式求得P(B1),P(B2)根據(jù)獨立事件的概率乘法公式,得P(B1)=12×(1-12)×2=12,P(B2)=12×1第三步:由A=A2∪A1B2,A2與A1B2互斥,根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解因為A=A2∪A1B2,A2與A1B2互斥,所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式,可得P(A)=P(A2)+P(A1B2)=16+23×14因此,甲進入決賽的概率為13.(2)設(shè)事件B=“甲至少答對2道題”,則B=A2∪A1B1∪A1B2,A2,A1B1,A1B2兩兩互斥,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,可得P(B)=P(A2)+P(A1B1)+P(A1B2)=16+23×12+23×因此,甲至少答對2道題的概率為23.18.【解析】(1)第一步:利用列舉法求出游戲一、游戲二的樣本空間設(shè)事件A=“游戲一獲勝”,B=“游戲二獲勝”,C=“游戲三獲勝”,游戲一中取出一個球的樣本空間為Ω1={1,2,3,4,5},共5個樣本點,游戲二中有放回地依次取出兩個球的樣本空間Ω2={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5}},共25個樣本點.(2分)第二步:結(jié)合古典概型的概率公式求游戲一、游戲二的獲勝概率因為A={4,5},含有2個樣本點,所以P(A)=25,所以游戲一獲勝的概率為25因為B={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)},含有4個樣本點,所以P(B)=425,所以游戲二獲勝的概率為425(2)第一步:利用互斥事件與獨立事件的概率公式分別求先玩游戲二與先玩游戲三獲得書券的概率設(shè)M=“先玩游戲二,獲得書券”,N=“先玩游戲三,獲得書券”,則M=ABC∪ABC∪ABC,且ABC,ABC,ABC互斥,A,B,C相互獨立,所以P(M)=P(ABC∪ABC∪ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)[1-P(C)]+[1-