第4章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念。教學(xué)重點：指數(shù)函數(shù)的概念；

教學(xué)難點：指數(shù)增長（衰減）規(guī)律的發(fā)現(xiàn).教學(xué)目標(biāo)【指數(shù)增長】隨著中國經(jīng)濟的高速增長，旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩個景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了門票價格，B地則取消了門票.下

表給了A、B兩個景區(qū)2001~2015年的游客人次及逐年增加量.比較一下兩地景區(qū)旅游人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？A地區(qū)經(jīng)營地比較平衡，B地區(qū)發(fā)展比較快.一.指數(shù)的增長和指數(shù)的衰減為了便于觀察，我們把表格中的數(shù)據(jù)畫成圖像：觀察圖像和表格，可以發(fā)現(xiàn)：A景區(qū)的游客人次近似于直線上升(線性增長)，年增加量大致相等(約為10萬人次)；B景區(qū)的游客人次是非線性增長，年增加量越來越大，難從圖像和年增加量都難看出變化規(guī)律.一.指數(shù)的增長和指數(shù)的衰減【探究】我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的.那么能否通過

對B景區(qū)每年的游客人次做其他運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？增加量=變后量-變前量【嘗試】從2002年起，將B景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002年游客人次2001年游客人次=

2003年游客人次2002年游客人次=

2015年游客人次2014年游客人次=

增長率=增加量變前量【結(jié)論】結(jié)果表明，B景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1=0.11，是一個常數(shù).一.指數(shù)的增長和指數(shù)的衰減【總結(jié)】像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，稱為指數(shù)增長.因此，B景區(qū)的游客

人數(shù)近似于指數(shù)增長.即從2011年起，每一年的游客人次都是上一年的1.1倍左右，增長量越來越多.

t年后，B景區(qū)游客人次是2011年的1.11t倍.即t年后B景區(qū)的游客人次:

容易看出這是一個函數(shù)，其中指數(shù)t是自變量.【指數(shù)衰減】南極冬季的冰架面積大約為1880萬平方千米，假設(shè)冰川每年融化0.1%，

那么n年后南極的冰川的剩余量W為：

一.指數(shù)的增長和指數(shù)的衰減【定義】如果用字母

a代替上述兩個問題中的底數(shù)1.11和0.999，那么函數(shù)

一般地，函數(shù)

y=ax(a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù).

其中

x是自變量，定義域是R.

和就都可以表示為的形式，

其中，是自變量，底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量.

所以它是指數(shù)函數(shù).二.指數(shù)函數(shù)的概念【1】解析式中

ax

的系數(shù)為1【2】底數(shù)

a是常數(shù)，滿足a>0且a≠1

【3】自變量x是指數(shù)，且

因此，指數(shù)函數(shù)的定義只是一個形式定義.判斷一個函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)關(guān)鍵是看這個函數(shù)的解析式變形整理之后是不是具備以上三個特征.

例如，等都是指數(shù)函數(shù)，這是因為

其中，稱為指數(shù)型函數(shù)，

稱為正整數(shù)指數(shù)函數(shù).二.指數(shù)函數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)

y=ax(a>0且a≠1）的結(jié)構(gòu)特征.【問題】指數(shù)函數(shù)中為什么規(guī)定？【答】①若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，無意義.

②若，則對于的某些數(shù)值，可以無意義.如，這

時對于等情況在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.

③若，則對于任意，是一個常量，沒有研究

的必要.為了避免上述情況的發(fā)生，所以規(guī)定，這樣

規(guī)定之后，對于任意的實數(shù)，都有意義且.

二.指數(shù)函數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)

y=ax(a>0且a≠1）的結(jié)構(gòu)特征.

解析C二.指數(shù)函數(shù)的概念

解析C二.指數(shù)函數(shù)的概念若函數(shù)y=(a2-3a+3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a的值為

.

解析2二.指數(shù)函數(shù)的概念

?

【變式】判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)：

二.指數(shù)函數(shù)的概念【例2】已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.

解三.求指數(shù)函數(shù)的解析式或求值課本——114頁【例1】

三.求指數(shù)函數(shù)的解析式或求值

√

解析

三.求指數(shù)函數(shù)的解析式或求值三.求指數(shù)函數(shù)的解析式或求值

√

解析

如果我們將3張A4復(fù)印紙連續(xù)對折，折疊次數(shù)x與對應(yīng)的層數(shù)y之間有什么關(guān)系？對折后的面積S(A4紙的面積近似為0.06平方米)與折疊的次數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？四.指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實際應(yīng)用1.y=kax(k>0，a>0且a≠1)，當(dāng)

時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.2.y=kax(k>0，a>0且a≠1)，當(dāng)

時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.a>10<a<1四.指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實際應(yīng)用【例4】(1)某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子.則第n代得到的種子數(shù)y與n的函數(shù)關(guān)系式為

，第5代得到的種子數(shù)為

.根據(jù)題意，假設(shè)第n代得到的種子數(shù)為y，由于第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子，則y=120n-1(n∈N*)，當(dāng)n=5時，y=1204=2.073

6×108(粒).解析y=120n-1(n∈N*)2.073

6×108四.指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實際應(yīng)用(2)某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%.寫出這種物質(zhì)的剩留量關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式.設(shè)該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過x年剩留量是y.經(jīng)過1年，剩留量是y=1×0.84=0.841；經(jīng)過2年，剩留量是y=0.84×0.84=0.842；……一般地，經(jīng)過x年，剩留量是y=0.84x(x∈N*).解四.指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實際應(yīng)用【變式】某種細(xì)菌經(jīng)60分鐘培養(yǎng)，可繁殖為原來的2倍，