專題10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1分類加法計數(shù)原理】 3【題型2分步乘法計數(shù)原理】 4【題型3涂色問題】 6【題型4兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用】 81、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義(2)能利用計數(shù)原理解決簡單的實際問題2023年新高考I卷：第13題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第7題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分從近幾年的高考情況來看，高考對兩個計數(shù)原理的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以考查兩個計數(shù)原理的基本概念與步驟方法為主，有時會與排列組合結(jié)合考查，難度不大.知識點1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.(2)分類的原則分類計數(shù)時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數(shù)時不重不漏.2．分步乘法計數(shù)原理(1)分步乘法計數(shù)原理的概念完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.概念推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.(2)分步的原則①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事；②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.(2)區(qū)別分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個步驟都完成才算完成這件事(3)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇分類→將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計數(shù)原理；分步→將問題分為幾個相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計數(shù)原理.在解決有關(guān)計數(shù)問題時，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.知識點2分類、分步計數(shù)原理的解題策略1．分類加法計數(shù)原理的解題策略分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)；(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù)；(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.2．分步乘法計數(shù)原理的解題策略(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.【方法技巧與總結(jié)】分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.【題型1分類加法計數(shù)原理】【例1】（2425高二下·福建福州·期末）某天小丁要從福州出發(fā)去廈門，已知當(dāng)天的飛機(jī)有5班，動車有12趟，高鐵有10個車次，則小丁當(dāng)天出行的方案共有（

）A．12種 B．27種 C．120種 D．600種【答案】B【解題思路】由分類加法計數(shù)原理即可求解.【解答過程】已知當(dāng)天的飛機(jī)有5班，動車有12趟，高鐵有10個車次，則小丁當(dāng)天出行的方案共有5+12+10=27.故選：B.【變式11】（2425高二下·青海西寧·期末）在全球高鐵技術(shù)競爭中，中國站到了前沿.全國政協(xié)委員、中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗，預(yù)計將在一年后投入商業(yè)運營.小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，則小張的購票方案種數(shù)為（

）A．14 B．19 C．90 D．200【答案】B【解題思路】由分類加法計數(shù)原理運算即可.【解答過程】按照分類加法計數(shù)原理可得小張的購票方案種數(shù)為4+10+5=19.故選：B.【變式12】（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236，567），則比423大的三位“漸升數(shù)”共有個．【答案】20【解題思路】根據(jù)定義結(jié)合分類加法計數(shù)原理計算可得答案.【解答過程】完成這件事需選出3個數(shù)，要滿足“漸升數(shù)”需分類來解.當(dāng)百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為5時，個位上的數(shù)字有4種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為6時，個位上的數(shù)字有3種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為7時，個位上的數(shù)字有2種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為6時，個位上的數(shù)字有3種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為7時，個位上的數(shù)字有2種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為6，十位上的數(shù)字為7時，個位上的數(shù)字有2種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為6，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為7，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法；所以比423大的三位“漸升數(shù)”共有4+3+2+1+3+2+1+2+1+1=20個.故答案為：20.【變式13】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）有3名同學(xué)同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有種不同的去法.（用數(shù)字回答）【答案】7【解題思路】按去1，2，3個人分類，利用組合數(shù)求解即可.【解答過程】由題意，去1人有C31=3種去法，去2人有C所以共有3+3+1=7種不同的去法，故答案為：7.【題型2分步乘法計數(shù)原理】【例2】（2025·湖北武漢·二模）有四對雙胞胎共8人，從中隨機(jī)選出4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種數(shù)為（

）A．40 B．48 C．52 D．60【答案】B【解題思路】由題意，根據(jù)分步乘法原理，可得答案.【解答過程】先從四對雙胞胎中選出一對，有4種選擇；然后從剩下的六個人中選出兩個人，且不能是同一對雙胞胎，這相當(dāng)于從三對雙胞胎中選出兩對，再從每對中選出一個人，共有3×2×2=12種選擇.根據(jù)乘法原理，總共有4×12=48種選法.故選：B.【變式21】（2425高三下·河南·階段練習(xí)）同時滿足：①偶數(shù)；②沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；③個位數(shù)不為0，這三個條件的數(shù)有（

）A．64個 B．128個 C．196個 D．256個【答案】D【解題思路】根據(jù)分步計數(shù)原理求解即可.【解答過程】個位數(shù)的選擇：由于是偶數(shù)且個位不能為0，個位只能是2、4、6、8中的一個，共有4種選擇.百位數(shù)的選擇：百位不能為0，且不能與個位數(shù)字重復(fù).因此，對于每個個位數(shù)，百位有8種選擇（19中排除個位數(shù)）.十位數(shù)的選擇：十位可以是09中排除百位和個位已經(jīng)使用的數(shù)字，剩下的8種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理同時滿足題設(shè)三個條件得數(shù)得總個數(shù)為4×8×8=256種.故選：D.【變式22】（2025·云南大理·模擬預(yù)測）現(xiàn)有4個同學(xué)站成一排，將甲、乙2個同學(xué)加入排列，保持原來4個同學(xué)順序不變，不同的方法共有（

）種A．10 B．20 C．30 D．60【答案】C【解題思路】應(yīng)用分步乘法原理計算即可.【解答過程】4個同學(xué)站成一排有5個空，甲加入排列有5種情況，隊列變成5個人有6個空，乙加入排列有6種情況，由分步計數(shù)原理得，共有5×6=30種不同的方法.故選：C.【變式23】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從A，B，C，D四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲到過A．64種 B．48種 C．36種 D．24種【答案】B【解題思路】由分步乘法計數(shù)原理求解即可.【解答過程】因甲不選A景點，應(yīng)該分步完成：第一步，先考慮甲在B,C,D三個景點中任選一個，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從A,B,C,D中分別任選一個景點，有4×4=16中選法．由分步乘法計數(shù)原理，可得不同選法有：3×16=48種．故選：B．【題型3涂色問題】【例3】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個圓形區(qū)域分成A,B,C,D,E五個部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種【答案】A【解題思路】滿足條件的涂色方案可分為B,D區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色和C,E區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，分類加法計數(shù)原理求解即可【解答過程】滿足條件的擺放方案可分為兩類，第一類B,D區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，第二步，擺放區(qū)域B,D有3種方法，第三步，擺放區(qū)域C有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域A,B,C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域E有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有4×3×2×1=24種方案，第二類，C,E區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，第二步，擺放區(qū)域B有3種方法，第三步，擺放區(qū)域C,E有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域A,B,C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域D有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有4×3×2×1=24種方案，根據(jù)分步加法計數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有48種，故選：A.【變式31】（2425高二上·山東德州·階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．550種 B．630種C．720種 D．840種【答案】B【解題思路】確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進(jìn)而可得出答案.【解答過程】由題意可得，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有6種選擇，再涂區(qū)域2，有5種選擇，當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有5種選擇，故不同的涂色方案有6×5×(4×4+5)=630種．故選：B．【變式32】（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，某社區(qū)為墻面A、B、C、D四個區(qū)域進(jìn)行涂色裝飾，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（有公共邊）不能用同一種顏色，若只有四種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂色方法共有（

）ABCDA．12種 B．24種 C．48種 D．84種【答案】C【解題思路】由條件可知，若只用3種顏色，則只有A和D顏色相同，或只有B和C顏色相同，所以采用分類和分步計數(shù)原理，結(jié)合排列組合，即可求解.【解答過程】由條件可知，可以分成只有A和D顏色相同，或只有B和C顏色相同，若只有A和D顏色相同，則有C4只有B和C顏色相同，也有24種方法，所以一共有24×2=48種方法.故選：C.【變式33】（2025·廣東茂名·模擬預(yù)測）如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（

）A．120 B．160 C．180 D．300【答案】C【解題思路】分兩步，第一步先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，第二步再排Ⅳ，然后根據(jù)分步計數(shù)原理相乘即可.【解答過程】先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有A53=60故不同的著色方法數(shù)有60×3=180種.故選：C.【題型4兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用】【例4】（2025·甘肅·模擬預(yù)測）因工作需要，某單位安排甲、乙、丙、丁4位領(lǐng)導(dǎo)在端午節(jié)3天假期值班，要求每天有兩人值班，且每人需要值班1天或2天，則不同的值班方案有（

）A．92種 B．90種 C．86種 D．76種【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，先確定值班天數(shù)分配，然后分兩種情況討論，結(jié)合組合數(shù)以及兩類計數(shù)原理代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】總值班人次為3×2=6，每人需要值班1天或2天，因此唯一可能的分配是其中兩人各值班2天，另外兩人各值班1天，先從四人中選出值班兩天的兩人，有C4假設(shè)選出的兩人分別為甲乙，需要值班2天，另外兩人丙丁各值班1天，具體分兩種情況，若甲乙共同值班2天，選擇共同值班的2天，有C3剩余1天，由丙丁共同值班僅1種方式，總方式3×1=3；若甲乙共同值班1天，從3天中選1天，有C3然后甲從剩余的2天選擇1天值班，乙選擇剩下1天，有2×1=2種情況，然后丙丁分別在甲乙剩余值班天中各選擇1天，有2種方式，總方式3×2×2=12；一共有3+12=15種方式，則總方案數(shù)有6×15=90種.故選：B.【變式41】（2025·河北·模擬預(yù)測）用0,1,2,3,4能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個.A．212 B．213 C．224 D．225【答案】D【解題思路】先對數(shù)字位數(shù)分類討論，在對五位數(shù)的首位數(shù)字進(jìn)行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過程】分?jǐn)?shù)字位數(shù)討論：一位數(shù)5個；兩位數(shù)有4×4=16個；三位數(shù)有4×4×3=48個；四位數(shù)有4×4×3×2=96個；五位數(shù)分以下兩種情況討論：①首位數(shù)字為1或2，此時共有2A②首位數(shù)字為3，則千位數(shù)從0或1中選擇一個，其余三個數(shù)位任意排列，此時共有2A綜上所述，共有5+16+48+96+48+12=225個比32000小的數(shù).故選：D.【變式42】（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）2024屆高三某次聯(lián)考中對尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有A、B、C、D、E五名屏蔽生總分在前9名，現(xiàn)在確定第一、二、五名是A、B、C三位同學(xué)，但A不是第一名，D、E兩名同學(xué)只知道在6至9名，且D的成績比E好，則這5位同學(xué)總分名次有多少種可能（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【解題思路】先排A，再排B和C，對D進(jìn)行分類，可排6，7，8位，最后根據(jù)D的情況再排E?！窘獯疬^程】第一步排A有兩種可能：第2名或第5名；第二步排B和C有兩種可能；第三步排D和E，D有6，7，8位三種可能；當(dāng)D為第6名時，E有7，8，9名三種可能，當(dāng)D為第7名時，E有8，9名兩種可能，當(dāng)D為第8名時，E只有第9名一種可能，所以第三步的總數(shù)為3+2+1=6種；根據(jù)分類計數(shù)原理，所有名次排位的總數(shù)=2×2×6=24種。故選：C.【變式43】（2025·河南鄭州·三模）河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色．現(xiàn)有一名游客計劃在三天內(nèi)品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚．該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進(jìn)行品嘗（每天必須選擇且不能重復(fù)選擇已品嘗過的美食）．若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數(shù)為（

）A．450 B．360 C．180 D．90【答案】A【解題思路】根據(jù)題意可知分配方式有1+2+3和2+2+2兩種情況，然后分別計算這兩種情況的選法種數(shù)，最后相加就是所求答案.【解答過程】①計算按照1+2+3分配的選法種數(shù).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，按1+2+3分配的選法種數(shù)為：C6②按照2+2+2分配的選法種數(shù)為：C6最后將兩種選法種數(shù)相加得到總的選法種數(shù)為360+90=450種.故選：A.一、單選題1．（2025·上海楊浦·二模）3名同學(xué)報名參加社團(tuán)活動，有4個社團(tuán)可以報名，這些社團(tuán)招收人數(shù)不限，但每位同學(xué)只能報名其中1個社團(tuán)，則這3位同學(xué)可能的報名結(jié)果共有（

）種.A．6 B．24 C．64 D．81【答案】C【解題思路】由分步乘法原理計算可得.【解答過程】由題意可得每位同學(xué)有4種選擇，根據(jù)乘法原理，共有43故選：C.2．（2025·云南·模擬預(yù)測）為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，某中學(xué)特開設(shè)了“數(shù)學(xué)史”“數(shù)學(xué)建?！薄肮沤駭?shù)學(xué)思想”“數(shù)學(xué)探究”“中國大學(xué)先修課程微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)”五門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選四門，高一到高二兩學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)不同的選修方式為（

）A．30 B．20 C．15 D．10【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合分步計數(shù)原理，得到安排的總數(shù)為25種安排方法，再除去五門選修課程安排到同一學(xué)年的2【解答過程】由題意，每門選修課程被安排到高一到高二兩學(xué)年都有2種安排方法，共有25其中五門選修課程安排到同一學(xué)年的情況有2種，則每位同學(xué)不同的選修方式為32?2=30種．故選：A．3．（2025·遼寧·二模）第五批實施新高考的8個省份將于2025年迎來新高考，新高考模式下語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選科模式，若今年高一的甲、乙兩名同學(xué)，在四選二科目中，恰有一科相同，則他們四選二科目的選科方式共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合分步計數(shù)原理解決即可.【解答過程】先確定相同的科目，有4種情況，再從剩下的3個科目中，甲、乙各選一個不同的科目，有3×2=6種情況，則他們四選二科目的選科方式共有4×6=24種.故選：B.4．（2025·遼寧·一模）學(xué)校放三天假，甲?乙兩名同學(xué)打算去敬老院做志愿者，甲同學(xué)準(zhǔn)備在三天中隨機(jī)選一天，乙同學(xué)準(zhǔn)備在前兩天中隨機(jī)選一天，則甲乙選擇同一天的概率是（

）A．12 B．16 C．13【答案】C【解題思路】先用分步乘法計數(shù)原理得到共有6種選擇，其中甲乙選擇同一天的情況有2種，從而得到概率.【解答過程】甲同學(xué)有3種選擇，乙同學(xué)有2種選擇，故共有3×2=6種選擇，其中甲乙選擇同一天的情況有2種，故甲乙選擇同一天的概率為26故選：C.5．（2025·貴州·三模）省會貴陽已開通的地鐵線路如圖所示.某人乘坐地鐵從貴陽北站（A點）前往貴州大學(xué)（B點），若同一站點最多經(jīng)過一次，則不同的乘坐線路共有（

）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【答案】B【解題思路】逐個列舉求解即可.【解答過程】逐個列舉，用站名第一個字，貴陽北站北噴望中貴州大學(xué)；貴陽北站北噴延中貴州大學(xué)；貴陽北站北延中貴州大學(xué)；貴陽北站北延噴望中貴州大學(xué)；貴陽北站林延中貴州大學(xué)；貴陽北站林延北噴望中貴州大學(xué)；貴陽北站林延噴望中貴州大學(xué)；共計7種路線，故選：B.6．（2025·河北保定·一模）勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.現(xiàn)提供5種顏色給如圖所示的勒洛三角形中的4個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，且相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）A．120 B．240 C．300 D．320【答案】D【解題思路】通過先確定中間的涂色情況，再依次確定其他部分的涂色情況，利用分步乘法原理計算總方案數(shù).【解答過程】先涂中間，有5種選色，再逐個涂旁邊部分，都有4種選色.由分步乘法計數(shù)原理得不同的涂色方案種數(shù)為5×4×4×4=320.故選：D.7．（2025·安徽蚌埠·三模）空間中三個點A、B、C滿足AB=BC=CA=1，在空間中任取2個不同的點，使得它們與A、B、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法種數(shù)為（

）A．8 B．9 C．11 D．12【答案】B【解題思路】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系，和正四棱錐的幾何性質(zhì)，分類討論，求出不同的取法數(shù)量.【解答過程】如圖所示，設(shè)任取2個不同的點為P、Q，當(dāng)△ABC為正四棱錐的側(cè)面時，平面ABC的兩側(cè)分別可以做以四邊形ABPQ為底面的正四棱錐，有2種情況，同理以四邊形BCPQ、四邊形ACPQ為底面各有2種情況，所以共有6種情況；當(dāng)△ABC為正四棱錐的截面時，P、Q位于AB兩側(cè)，四邊形APBQ為圓錐的底面，只有一種情況，同理以四邊形BPCQ、四邊形APCQ為底面各有1種情況，所以共有3種情況；綜上，共有6+3=9種情況．故選：B．8．（2025·全國·模擬預(yù)測）如圖（1），由兩個半徑相等的圓柱體呈直角相交而得到的公共部分對應(yīng)的幾何體稱為“牟合方蓋”（如圖（2）），牟合方蓋的表面可以看成四個曲面拼接成的.將一個牟合方蓋的四個曲面編號為1,2,3,4，然后每個曲面染一種顏色，相鄰（有公共圖邊）的兩面顏色不能相同，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)（

）A．24 B．48 C．60 D．84【答案】D【解題思路】利用分步計數(shù)乘法原理與分類加法計數(shù)原理可求解.【解答過程】根據(jù)牟合方蓋的表面可以看成四個曲面拼接成的.將一個牟合方蓋的四個曲面編號為1,2,3,4，故可轉(zhuǎn)化為有公共點的4個區(qū)域，如圖所示：1號小方格可以從4種顏色的染料中任取一種涂色，有4種不同的涂法.①當(dāng)2號，3號小方格涂不同顏色的染料時，有3×2=6種不同的涂法，4號小方格有2種不同的涂法，故由分步乘法計數(shù)原理，可知有4×6×2=48種不同的涂法.②當(dāng)2號，3號小方格涂相同顏色的染料時，有3種不同的涂法，4號小方格也有3種不同的涂法，故由分步乘法計數(shù)原理，可知有4×3×3=36種不同的涂法.綜上，由分類加法計數(shù)原理，可得共有48+36=84種不同的涂法.故選：D.二、多選題9．（2025·四川成都·模擬預(yù)測）用數(shù)字0,1,2,3,4組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，下列說法正確的有（

）A．一共可以組成96個數(shù) B．一共可以組成120個數(shù)C．一共可以組成偶數(shù)60個 D．一共可以組成72個大于2000的數(shù)【答案】ACD【解題思路】由特殊位置優(yōu)先的原則，結(jié)合兩個計數(shù)原理逐個判斷即可.【解答過程】對于AB，四位數(shù)的首位不能為0，有4種選項，在剩下的4個數(shù)字中任選3個，排在后面3個數(shù)位，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)4×4×3×2=96個，A正確，B錯誤；對于C，若個位數(shù)為0，則有4×3×2=24個，若個位數(shù)不為0，則有2×3×3×2=36個，所以可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)24+36=60個，C正確；對于D，四位數(shù)的首位有3種選擇，在剩下的4個數(shù)字中任選3個，排在后面3個數(shù)位，可以組成無重復(fù)數(shù)字且大于2000的四位數(shù)3×4×3×2=72個，D正確．故選：ACD.10．（2025·四川眉山·模擬預(yù)測）現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1幅畫布置房間，有14種不同的選法B．從這些國畫、油畫、水彩畫中各選1幅布置房間，有70種不同的選法C．從這些畫中選出2幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法D．從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不同的掛法【答案】ABC【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，逐項計算，即可求解.【解答過程】對于A，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有5+2+7=14種不同的選法，故A正確.對于B，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有5×2×7=70種不同的選法，故B正確.對于C，可分為三類：第一類是1幅選自國畫，1幅選自油畫，有5×2=10種不同的選法；第二類是1幅選自國畫，1幅選自水彩畫，有5×7=35種不同的選法；第三類是1幅選自油畫，1幅選自水彩畫，有2×7=14種不同的選法，故共有10+35+14=59種不同的選法，故C正確.對于D，可以分兩個步驟完成：第一步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第二步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，不同掛法的種數(shù)是3×2=6，故D錯誤.故選：ABC.11．（2425高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）某市地鐵按照乘客乘坐的站數(shù)實施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如下表：現(xiàn)有小明、小華兩位乘客同時從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論正確的是（

）站數(shù)x0<x≤33<x≤66<x≤9票價/元234A．若小明、小華兩人共花費5元，則小明、小華下地鐵的方案共有9種B．若小明、小華兩人共花費5元，則小明、小華下地鐵的方案共有18種C．若小明、小華兩人共花費6元，則小明、小華下地鐵的方案共有27種D．若小明、小華兩人共花費6元，則小明比小華先下地鐵的方案共有12種（同一地鐵站出站不分先后）【答案】BCD【解題思路】利用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理可求答案.【解答過程】兩人共花費5元分為兩類：小明花費2元，小華花費3元，此時兩人下地鐵的方案有3×3=9種，同理小明花費3元，小華花費2元時，兩人下地鐵的方案也是9種，所以共有18種，A不正確，B正確.兩人共花費6元分為三類：小明花費2元，小華花費4元，此時兩人下地鐵的方案有3×3=9種；小明花費3元，小華花費3元，此時兩人下地鐵的方案有3×3=9種；小明花費4元，小華花費2元，此時兩人下地鐵的方案有3×3=9種，共有27種，C正確.小明比小華先下地鐵有兩類：小明花費2元，小華花費4元，此時兩人下地鐵的方案有9種；小明和小華均花費3元，小明比小華先下地鐵僅有3種方案，所以共有12種方案，D正確.故選：BCD.三、填空題12．（2025·浙江·二模）將6個相同的球放入編號為1、2、3的3個盒子中，要求每個盒子至少放1個球，且編號為1的盒子中球數(shù)不超過2個，則不同的放法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】7【解題思路】對編號為1的盒子中球數(shù)進(jìn)行分類討論，確定編號為2的盒子中的球數(shù)，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過程】若編號為1的盒子中球數(shù)為1，則編號為2的盒子中的球數(shù)可以為1、2、3、4，有4種情況，若編號為1的盒子中球數(shù)為2，則編號為2的盒子中的球數(shù)可以為1、2、3，有3種情況，綜上所述，不同的放法種數(shù)為4+3=7種.故答案為：7.13．（2025·河北秦皇島·三模）安排4位顧客去A,?B,?C三家餐館就餐，其中一位顧客由于飲食特殊性，只能安排在【答案】27【解題思路】根據(jù)題意，利用分步乘法計數(shù)原理計算即可.【解答過程】由題意可知，其中一位顧客由于飲食特殊性，只能安排在A餐館，則剩下3位顧客每人就餐餐館有3種安排方案，故不同的安排方案共有33故答案為：27.14．（2025·江蘇南京·二模）英國數(shù)學(xué)家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地圖只需不超過四種顏色即可實現(xiàn)相鄰區(qū)域顏色不同.該猜想于1976年由阿佩爾和哈肯借助計算機(jī)完成證明.如圖，一個地區(qū)分為6個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖上的行政區(qū)域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每個區(qū)域涂1種顏色，相鄰區(qū)域不同色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有種（用數(shù)字作答）.【答案】216【解題思路】如圖，將6個行政區(qū)標(biāo)上序號，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，按照一定的順序?qū)Ω鱾€區(qū)域進(jìn)行涂色，同時考慮相鄰區(qū)域顏色不同的限制條件即可求解.【解答過程】如圖，將6個行政區(qū)標(biāo)上序號，區(qū)域1有4種顏色可選，共4種方法；區(qū)域2與區(qū)域1相鄰，不能與區(qū)域1同色，有3種顏色可選，共3種方法；區(qū)域3與區(qū)域1、2相鄰，不能與區(qū)域1、2同色，有2種顏色可選，共2種方法；①若區(qū)域4與區(qū)域2同色，有1種顏色可選，此時區(qū)域5與區(qū)域2不同色且有2種涂色方法，此時區(qū)域6有2種涂色方法；②若區(qū)域4與區(qū)域2不同色，有1種顏色可選，此時若區(qū)域5與區(qū)域2同色，有1種涂色方法，區(qū)域6有3種涂色方法，若區(qū)域5與區(qū)域2不同色，有1種涂色方法，區(qū)域6有2種涂色方法，所以一共有4×3×2×1×2×2+1×故答案為：216.四、解答題15．（2025高三·全國·專題練習(xí)）書架的第1層放有5本不同的計算機(jī)書，第2層放有4本不同的文藝書，第3層放有3本不同的體育書．(1)從書架中任取1本書，有多少種不同的取法？(2)從書架的第1，2，3層各取1本書，有多少種不同的取法？【答案】(1)12(2)60【解題思路】（1）根據(jù)分類加法原理計算；（2）根據(jù)分步乘法原理計算得解.【解答過程】（1）從書架上任取1本書，有三類辦法：第1類方法是從第1層取1本計算機(jī)書，有5種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有4種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有3種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法有5+4+3=12種.（2）從書架的第1，2，3層各取1本書，可以分成三個步驟完成：第1步，從第1層取1本計算機(jī)書，有5種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有4種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有3種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的取法有5×4×3=60種.16．（2425高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字中選擇若干個數(shù).(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？(2)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且不大于3450的四位數(shù)？【答案】(1)216(2)166【解題思路】（1）分個位數(shù)為0和5兩種情況討論，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理即可得解；（2）分千位數(shù)為1或2和3兩種情況討論，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理即可得解.【解答過程】（1）當(dāng)個位數(shù)為0時，則萬位數(shù)有5種選法，則千位數(shù)有4種選法，百位數(shù)有3種選法，十位數(shù)有2種選法，所以能組成5×4×3×2=120個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)；當(dāng)個位數(shù)為5時，則萬位數(shù)有4種選法，則千位數(shù)有4種選法，百位數(shù)有3種選法，十位數(shù)有2種選法，所以能組成4×4×3×2=96個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)，綜上所述，能組成120+96=216個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)；（2）當(dāng)千位數(shù)為1或2時，則能組成2×5×4×3=120個無重復(fù)數(shù)字且不大于3450的四位數(shù)；當(dāng)千位數(shù)為3，百位數(shù)為4，十位數(shù)為5時，則符合題意的數(shù)只有3450一個；當(dāng)千位數(shù)為3，百位數(shù)為4，十位數(shù)不為5時，則十位數(shù)有3種選法，個位數(shù)有3種選法，所以符合題意的數(shù)有3×3=9種；當(dāng)千位數(shù)為3，百位數(shù)不為4，則百位數(shù)有3種選法，十位數(shù)有4種選法，個位數(shù)有3種選法，所以符合題意的數(shù)有3×4×3=36種，綜上所述，能組成120+1+9+36=166個無重復(fù)數(shù)字且不大于3450的四位數(shù).17．（2425高二下·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)有來自高一4個班的學(xué)生34人，其中7人、8人、9人、10人分別來