方向角是從正北或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準，來描述物體所處的方向．（2）用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西注意幾個方向的角平分線按日常習慣，即東北，東南，西北，西南（3）畫方向角以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線．2．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．一．選擇題（共5小題）1如圖，瓢蟲在地圖上從A點先向南爬7cm，又向東爬4cm，再向北爬2cm，又向東爬4cm，再向南爬1cm到B點，如此爬行比從A點直接爬到B點多爬行()A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm2《九章算術(shù)》勾股章中有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．向水深、葭長各幾何”．其大意為：有一個水池，其水面是邊長為1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺在水池正中央有一根蘆葦GE，它高出水面AB的部分為1尺（即EF＝1尺如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達池邊水面點A處，則蘆葦GE的長是()A．10尺B．12尺C．13尺3松松同學學習了“勾股定理”之后，為了計算如圖所示的風箏高度CE，測得如下數(shù)據(jù)：①測得BD的長度為12mBD⊥CE）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為15m；③松松身高AB為1.6m，若松松同學想使風箏沿CD方向下降4m，則他應該往回收線米．A．2B．54如圖，李伯伯家有一塊四邊形田地ABCD，其中∠A＝90°,AB＝3m，BC=12m，CD＝13m，AD＝4m，則這塊地的面積為()A．36m2B．42m2C．66m2D．76m25如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺折斷后，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，求折斷處離地面的高度．設(shè)竹子折斷處離地面x尺，根據(jù)題意，列出的正確方程A．x2+62＝102B10x）2+62＝x2C．x2+6210x）2二．填空題（共5小題）6如圖，某會展中心準備將高5m，長13m，寬2m的樓道鋪上地毯，若地毯每平方米30元，則鋪完這個樓道至少需要元．7如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距30海里．已知“遠航”號沿東北方向航行，則“海天”號沿方向航行．8如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為．9如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了米．10蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動，小亮想利用所學的勾股定理的知識測算公園里一架秋千的繩索AB的長度，如圖，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度BC＝0.5m，將踏板往前推送，使秋千繩索到達點D的位置，測得推送的水平距離為2m，即DE=2m，此時秋千踏板離地面的垂直高度DF＝1.5m，那么繩索AB的長度為m．三．解答題（共5小題）11消防車上的云梯示意圖如圖1所示，云梯最多只能伸長到25米，消防車高4米，如圖2，某棟樓發(fā)生火災，在這棟樓的B處有一老人需要救援，救人時消防車上的云梯伸長至最長，此時消防車的位置A與樓房的距離OA為15米．（1）求B處與地面的距離．（2）完成B處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在B處的上方4米的D處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功地救出小孩，消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？12圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標準需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°),通過計算說明該車是否符合安全標準．13如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200米，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．14星期天小明去釣魚，魚鉤A在離水面BD1.3米處，在距離魚線1.2米處D點的水下0.8米處有一條魚發(fā)現(xiàn)了魚餌，于是以0.2m/s的速度向魚餌游來，那么這條魚至少幾秒后才能到這魚餌處？152025年是“全運年”，第十五屆全運會將于2025年11月9日～21日在粵港澳大灣區(qū)舉行，健身運動的熱潮也席卷全國，更多的人開始運動健身．小亮堅持每天和爸爸一起沿著公園的綠道晨跑，他們跑步的路線如圖所示，已知從A點到D點有兩條路線，分別是A→B→D和A→C→D．已知AB＝160m，AC＝200m，點C在點B的正東方120m處，點D在點C的正北方50m處．（1）試判斷AB與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如果小亮沿著A→C→D的路線跑，爸爸沿著A→B→D的路線跑，請你通過計算比較誰跑的路線更短．一．選擇題（共5小題）題號12345答案ACAAC一．選擇題（共5小題）1如圖，瓢蟲在地圖上從A點先向南爬7cm，又向東爬4cm，再向北爬2cm，又向東爬4cm，再向南爬1cm到B點，如此爬行比從A點直接爬到B點多爬行()A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm【答案】A【分析】過點B作BC⊥AC于C，根據(jù)勾股定理求出AB即可求出答案．【解答】解：過點B作BC⊥AC于C，在Rt△ABC中，AC＝72+1＝6（cmBC＝4+4＝8（cm∴AB=AC2+BC2=62+82=10（cm答：如此爬行比從A點直接爬到B點多爬行了8cm．故選：A．2《九章算術(shù)》勾股章中有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．向水深、葭長各幾何”．其大意為：有一個水池，其水面是邊長為1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺在水池正中央有一根蘆葦GE，它高出水面AB的部分為1尺（即EF＝1尺如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達池邊水面點A處，則蘆葦GE的長是()A．10尺B．12尺C．13尺【答案】C【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【解答】解：設(shè)水深GF長為x尺，則蘆葦GE＝AGx+1）尺，∵GF2+AF2＝AG2，解得：x＝12，則蘆葦?shù)拈L度為x+1＝12+1＝13（尺故選：C．3松松同學學習了“勾股定理”之后，為了計算如圖所示的風箏高度CE，測得如下數(shù)據(jù)：①測得BD的長度為12mBD⊥CE）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為15m；③松松身高AB為1.6m，若松松同學想使風箏沿CD方向下降4m，則他應該往回收線米．A．2B．5【答案】A【分析】由勾股定理求出CD的長，再由勾股定理求出BM的長，即可解決問題．【解答】解：∵BD⊥CE，在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD=BC2BD2=152122=9（m設(shè)風箏沿CD方向下降9m至點M，連接BM，如圖，則CM＝4m，即松松同學應該往回收線2米，故選：A．4如圖，李伯伯家有一塊四邊形田地ABCD，其中∠A＝90°,AB＝3m，BC=12m，CD＝13m，AD＝4m則這塊地的面積為()A．36m2B．42m2C．66m2D．76m2【答案】A【分析】連接BD，運用勾股定理逆定理可證△DBC為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積和．【解答】解：如圖，連接BD，由勾股定理得：BD2＝AB2+AD2＝32+42＝25，∴BD＝5（負值已舍去在△DBC中，CD2＝169，DB2+BC2＝25+122＝169，∴DC2＝BD2+BC2，故選：A．5如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺折斷后，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，求折斷處離地面的高度．設(shè)竹子折斷處離地面x尺，根據(jù)題意，列出的正確方程A．x2+62＝102B10x）2+62＝x2C．x2+6210x）2【答案】C【分析】根據(jù)圖形和勾股定理，可以得到x2+6210x）2，然后即可得到哪個選項符合題意．【解答】解：由圖可得，故選：C．二．填空題（共5小題）6如圖，某會展中心準備將高5m，長13m，寬2m的樓道鋪上地毯，若地毯每平方米30元，則鋪完這個樓道至少需要1020元．【答案】1020．【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AB與BC的和，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價即可求解．【解答】解：由勾股定理得則地毯總長為12+5＝17（m則地毯的總面積為17×2＝34（平方米所以鋪完這個樓道至少需要34×30＝1020（元故答案為：1020．7如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距30海里．已知“遠航”號沿東北方向航行，則“海天”號沿西北方向方向航行．【答案】西北方向，【分析】根據(jù)題意，得出△PRQ的三邊長，再利用勾股定理的逆定理推出△PRQ是直角三角形，再求解即可．【解答】解：由題知，PQ＝16×1.5＝24海里，PR＝12×1.5＝18海里，QR＝30海里，∠SPQ＝45°,∵PQ2+PR2＝242+182＝900，QR2＝900，∴PQ2+PR2＝QR2，∴∠SPR=∠RPQ∠SPQ＝90°45°=45°.故答案為：西北方向．8如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為4m．【答案】4m．【分析】先利用勾股定理求出AB，再計算少走的路長即可．【解答】解：由題意知∠ACB＝90°,在Rt△ACB中，AC＝6m，BC＝8m，由勾股定理得∴他們少走的路長為4m，故答案為：4m．9如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了9米．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD＝ABAD可得BD長．【解答】解：在Rt△ABC中：答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9．10蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動，小亮想利用所學的勾股定理的知識測算公園里一架秋千的繩索AB的長度，如圖，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度BC＝0.5m，將踏板往前推送，使秋千繩索到達點D的位置，測得推送的水平距離為2m，即DE=2m，此時秋千踏板離地面的垂直高度DF＝1.5m，那么繩索AB的長度為2.5m．【答案】2.5．【分析】可設(shè)秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可知AEx1）m，利用勾股定理可得x2＝22+（x1）2，即可得出答案．【解答】解：∵EC＝DF＝1.5m，BC＝0.5m，在Rt△AED中，AD2＝AE2+ED2，ED＝2m，設(shè)秋千的繩索長為xm，則AEx1）m，解得：x＝2.5．答：繩索AB的長度為2.5m，故答案為：2.5．三．解答題（共5小題）11消防車上的云梯示意圖如圖1所示，云梯最多只能伸長到25米，消防車高4米，如圖2，某棟樓發(fā)生火災，在這棟樓的B處有一老人需要救援，救人時消防車上的云梯伸長至最長，此時消防車的位置A與樓房的距離OA為15米．（1）求B處與地面的距離．（2）完成B處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在B處的上方4米的D處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功地救出小孩，消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理求出OB的長，進而可得出結(jié)論；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OA的長，利用OC＝OAOC即可得出結(jié)論．【解答】解1）在Rt△OAB中，“AB＝25米，OA＝15米，OE＝4米，:BE＝OB+OE＝20+4＝24（米答：B處與地面的距離是24米；（2）由題意得BD＝4米，“CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米:AC＝OAOC＝157＝8（米答：消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為8米．12．圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標準需滿足BC丄CD，現(xiàn)測得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°),通過計算說明該車是否符合安全標準．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通過計算，根據(jù)勾股定理逆定理判斷即【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2AB2＝9262＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，∴BC2+CD2＝BD2，∴BC⊥CD．故該車符合安全標準．13如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200米，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結(jié)果．【解答】解1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°;（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝CH+AB＝96m+200m＝296m，∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠較短．14星期天小明去釣魚，魚鉤A在離水面BD1.3米處，在距離魚線1.2米處D點的水下0.8米處有一條魚發(fā)現(xiàn)了魚餌，