專題2.4概率的簡單應用（知識梳理+5個考點講練+中考真題演練+難度分層練共40題）知識梳理技巧點撥TOC\o"12"\h\u 1知識點梳理01：用概率判斷游戲的公平性 1知識點梳理02：概率與統(tǒng)計的綜合應用 1優(yōu)選題型考點講練 2考點1：利用概率計算隨機事件發(fā)生的平均次數(shù) 2考點2：概率在轉盤抽獎中的應用 2考點3：概率在比賽中的應用 4考點4：概率的其他應用 5考點5：游戲的公平性 5中考真題實戰(zhàn)演練 6難度分層拔尖沖刺 8基礎夯實 8培優(yōu)拔高 10知識點梳理01：用概率判斷游戲的公平性游戲是否公平的關鍵在于參加游戲的人獲勝的概率是否相等．修改游戲規(guī)則是指修改規(guī)則的制定，而不是修改整個活動方案．知識點梳理02：概率與統(tǒng)計的綜合應用解決統(tǒng)計圖表與概率的綜合應用問題的關鍵在于熟練處理統(tǒng)計圖表中的信息，靈活運用公式來求概率．考點1：利用概率計算隨機事件發(fā)生的平均次數(shù)【典例精講】（2526九年級上·浙江杭州·階段練習）已知，在“浙BA”籃球賽中，由大數(shù)據(jù)推送發(fā)現(xiàn)某地21號運動員比賽中罰球投中的概率是910．若他在一場比賽中，有10次罰球機會，則他估計能投中的次數(shù)是【變式訓練01】（2425九年級上·全國·課后作業(yè)）事件A發(fā)生的概率為14，大量重復做這種試驗，平均每100次實驗，事件A發(fā)生的次數(shù)是【變式訓練02】（2024·貴州·模擬預測）在一次摸球游戲中，規(guī)定：連續(xù)摸到2個相同顏色的小球即為勝利，且每人只有一次挑戰(zhàn)機會．小星和小紅一起參加游戲，兩人輪流從不透明的箱子里摸出一個小球（不放回），小星先摸．現(xiàn)已知箱子里有4個紅球和2個白球，則下列推斷正確的是（

）A．一定是小星獲勝B．若第一輪兩人都摸到了白球，則一定是小星獲勝C．一定是小紅獲勝D．若第一輪兩人都摸到了紅球，則一定是小紅獲勝考點2：概率在轉盤抽獎中的應用【典例精講】（2425七年級下·陜西西安·階段練習）某商場舉辦有獎促銷活動，凡購買一定金額的商品，即可參與轉盤抽獎．如圖，轉盤分為A，B，C，D四個區(qū)域，自由轉動轉盤，指針對準A，B，C，D區(qū)域時，分別對應“謝謝惠顧”“一等獎”“二等獎”“三等獎”，轉到指針對準公共線位置時重轉．(1)若某顧客轉動一次轉盤，求其獲得“一等獎”的概率．(2)若某顧客轉動一次轉盤，求其中獎的概率．【變式訓練01】（2425七年級下·廣東佛山·階段練習）某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤．并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉轉盤的機會，如果轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色或綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元購物券（轉盤被等分成20個扇形），甲顧客購物120元，他獲得購物券的概率是多少？【變式訓練02】（2425七年級下·山東濟南·期末）某商場為了吸引顧客，設立了一個如圖可以自由轉動的轉盤，轉盤被等分成20個扇形．商場規(guī)定：顧客每購買200元的商品就能獲得一次轉動轉盤的機會．如果轉盤停止后，指針正好對準紅、綠或黃色區(qū)域，顧客就可以分別獲得100元、50元，20元的購物券，已知甲顧客購物220元，獲得一次轉動轉盤的機會．(1)他能獲得購物券的概率是______，甲顧客轉動轉盤轉到藍色是______（從“隨機事件”、“必然事件”、“不可能事件”選一個填入）；(2)求他得到100元購物券的概率是多少？(3)若要讓獲得50元購物券的概率變?yōu)?5考點3：概率在比賽中的應用【典例精講】（2425七年級下·陜西西安·期末）如圖，一個可以自由轉動的轉盤被等分成10個扇形，分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)字．轉動轉盤，當轉盤停止時，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字（指針指向分界線時，重轉一次）．小西和小陽利用此轉盤做游戲：一人轉動轉盤，另一人猜數(shù)．若所猜數(shù)字特征與轉出的數(shù)字特征相符，則猜數(shù)的人獲勝；否則，轉動轉盤的人獲勝．(1)若小西轉動轉盤，小陽猜轉出的數(shù)是奇數(shù)，請計算小陽獲勝的概率；(2)若小陽轉動轉盤，小西猜數(shù)的方式有兩種：①轉出的數(shù)是3的倍數(shù)；②轉出的數(shù)比7?。疄榱吮M可能獲勝，小西應該選擇第幾種猜數(shù)方式？請說明理由．【變式訓練01】（2425七年級下·山西運城·期中）某公園游樂場為了增加趣味性，精心設計了一款獨具創(chuàng)意的轉盤（轉盤被等分成8個扇形）游戲，命名為“開心大轉盤”，游戲規(guī)則如下：參與者可隨心轉動轉盤，指針指向“A”區(qū)，參與者需支付2元費用；指針指向“B”區(qū)，參與者可獲得3元獎勵；指針指向“C”區(qū)，參與者可獲得1元獎勵．某天，參與游戲的人共轉動轉盤80次，你認為這一天針對該轉盤游戲游樂場盈利了還是虧損了？為什么？【變式訓練02】（2425九年級·浙江杭州·期中）在智力競答節(jié)目中，某參賽選手答對最后兩題單選題就能利通關，兩題均有四個選項，此選手只能排除第1題的一個錯誤選項，第2題完全不會，他還有兩次“求助”機會（使用可去掉一個錯誤選項），為提高通關概率，他的求助使用策略為（

）A．兩次求助都用在第1題 B．兩次求助都用在第2題C．在第1第2題各用一次求助 D．兩次求助都用在第1題或都用在第2題考點4：概率的其他應用【典例精講】（2024·廣東東莞·模擬預測）已知在一個盒子里共有紅、黃、綠三種顏色的棋子共20枚，每次在盒子里隨機摸一個棋子，記錄下顏色，再放回去．下面是總共摸了1000次后的頻數(shù)表．棋子顏色紅黃綠次數(shù)539137324(1)遵循“四舍五入”原則，估計各色棋子各有多少枚？(2)用你的估計數(shù)據(jù)計算，若在盒子里隨機摸兩次，正好有一次是紅色，1次是黃色的概率是多少？【變式訓練01】（2024九年級上·廣東深圳·競賽）2×3的矩形被分為6個1×1的區(qū)域，現(xiàn)在有6種顏色供選擇，要求每個區(qū)域染一種顏色，并且相鄰區(qū)域顏色不同，則一共有（

）種染色方案？A．13230 B．27000 C．12300 D．14400【變式訓練02】（2425九年級上·江蘇南京·期末）在一個瓶子中裝有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的總數(shù)，他進行了如下操作：小明先從瓶子中倒出20粒豆子，接著小明給這些豆子全部標上記號，然后把這些被標上記號的豆子又重新裝回瓶子中，充分搖勻后又從瓶子中倒出了一些豆子，發(fā)現(xiàn)倒出的30粒豆子中，被標記的豆子有5粒．小明通過計算得出瓶子中豆子的總數(shù)為粒．考點5：游戲的公平性【典例精講】（2425九年級上·云南·期末）小明和小剛用如圖的兩個轉盤做游戲，游戲規(guī)則如下：分別旋轉兩個轉盤，當兩個轉盤所轉到的數(shù)字之積為奇數(shù)時，小明得2分；當所轉到的數(shù)字之積為偶數(shù)時，小剛得1分，這個游戲對雙方公平嗎？請用樹狀圖或者列表法說明理由．【變式訓練01】（2425九年級上·云南曲靖·期中）某校舉辦藝術節(jié)，其中A班和B班的節(jié)目總成績并列第一，學校決定從A、B兩班中選派一個班代表學校參加全省比賽，B班班長想法是：用八張撲克牌，將數(shù)字為1，2，3，5的四張牌給A班班長，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進行：A班班長和B班班長從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則A班去；如果和為奇數(shù)，則B班去．(1)請用樹狀圖或列表的方法求A班去參賽的概率；(2)B班班長設計的游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你設計一種公平的游戲規(guī)則．【變式訓練02】（2526九年級上·山西運城·開學考試）有甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有兩個相同的球，它們分別寫有數(shù)?2，2；乙口袋中裝有三個相同的球，它們分別寫有數(shù)?5,?2,5．小明和小剛進行摸球游戲，規(guī)則如下：先從甲口袋中隨機取出一個球，其上的數(shù)記為a；再從乙口袋中隨機取出一個球，其上的數(shù)記為b．(1)利用列表或樹狀圖的方法表示此游戲所有可能出現(xiàn)的結果；(2)若a<b，小明勝；若a=b，為平局；若a>b，小剛勝．此游戲的規(guī)則對雙方公平嗎？試說明理由．1．（2024·寧夏銀川·中考真題）甲、乙兩人玩如圖所示的轉盤游戲，游戲規(guī)則是：轉盤被平均分為3個區(qū)域，顏色分別為黑、白、紅，轉動轉盤時，指針指向的顏色，即為轉出的顏色（如果指針指在兩區(qū)域的分界線上，則重轉一次）．兩人參與游戲，一人轉動兩次轉盤，另一人對轉出的顏色進行猜測．若轉出的顏色與猜測的人描述的特征相符，則猜測的人獲勝；否則，轉動轉盤的人獲勝．猜測的方法從下面三種方案中選一種．A．猜“顏色相同”；B．猜“一定有黑色”；C．猜“沒有黑色”．請利用所學的概率知識回答下列問題：(1)用畫樹狀圖或列表的方法列出所有可能的結果；(2)如果你是猜測的人，你將選擇哪種猜測方案，才能使自己獲勝的可能性最大？為什么？2．（2024·福建福州·中考真題）已知盒中有大小、質地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球的概率是12，得到紅球或黃球的概率是3(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；(2)設置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色，若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝．從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．3．（2024·廣東佛山·中考真題）桌上放4張撲克牌，全部正面朝下，其中恰有1張是老K．兩人做游戲，游戲規(guī)則是：隨機取2張牌并把它們翻開，若2張牌中沒有老K，則紅方勝，否則藍方勝．則贏的機會大的一方是（

）A．紅方 B．藍方 C．兩方機會一樣 D．不知道4．（2024·浙江紹興·中考真題）某條筆直的路上有12盞路燈，為了節(jié)約用電，打算關掉其中4盞路燈，要求相鄰的兩盞路燈不能同時關閉，則不同的關燈方案種數(shù)為．5．（2024·全國·中考真題）某寢室有四個同學，每個同學寫一張賀卡放在一起，每人抽取一張，要求不能抽取自己寫的賀卡，則不同的抽取方案共有種（用數(shù)字作答）．基礎夯實1．（2025九年級·全國·專題練習）如圖，若干名同學玩扔石子進筐游戲，圖①、圖②分別是兩種游戲方式．關于這兩種方式的“公平性”有下列4種說法，其中正確的是（

）A．兩種均公平 B．兩種均不公平 C．僅圖①公平 D．僅圖②公平2．（2025九年級上·全國·專題練習）甲、乙兩人用兩個骰子做游戲，兩個骰子同時拋出，如果出現(xiàn)兩個5點，那么甲贏；如果出現(xiàn)一個4點和一個6點，那么乙贏；如果出現(xiàn)其他情況，那么重新拋擲．你對這個游戲公平性的評價是（

）A．公平 B．對甲有利 C．對乙有利 D．無法評價3．（2526九年級上·全國·課后作業(yè)）某口袋中有10個球，其中白球有2個，綠球有5個，其余為黑球．從袋中任意摸出1個球，若為綠球，則甲獲勝；若為黑球，則乙獲勝．為使游戲對甲、乙雙方公平，丙放入x個黑球，則x為（

）A．3 B．4 C．1 D．24．（2425九年級上·浙江杭州·階段練習）已知事件A發(fā)生的概率為110，大量重復做這種試驗，事件A平均每1000次發(fā)生的次數(shù)約為5．（2024·山西·模擬預測）如圖，在一個可以自由轉動的轉盤中，指針位置固定，四個扇形的面積都相等，且分別標有0，1，2，?2，轉動轉盤一次，若指針未指在分界線上，則記為一次有效轉動；若指針指在分界線上，則需要重新轉動轉盤，直到完成一次有效轉動為止．明明和亮亮兩人用如圖所示的轉盤做游戲，兩人各轉動轉盤一次，轉盤停止后記下指針指向的數(shù)字．如果兩人轉得的數(shù)字之和為奇數(shù)，則明明勝；如果兩人轉得的數(shù)字之和為偶數(shù)，則亮亮勝，你對這個游戲公平性的評價是（填“公平”、“對明明有利”或“對亮亮有利”）．6．（2526九年級上·全國·課后作業(yè)）小紅和小明在操場上做游戲，他們先在地上畫了半徑分別為2m和3m的同心圓，如圖．他們蒙上眼在一定距離外向同心圓內部擲石子，落在陰影內則小紅勝，落在小圓內則小明勝．這個游戲（填“公平”或“不公平”）．7．（2526九年級上·全國·課后作業(yè)）冰冰和雪雪做擲兩個籌碼的游戲，其中一個兩面都寫有8，另一個一面寫有8，另一面寫有9．游戲規(guī)則如下：兩人各持一個籌碼同時擲出，如果擲出一對8，雪雪獲勝；如果擲出一個8和一個9，冰冰獲勝．你認為這個游戲（填“公平”或“不公平”）．8．（2025九年級·全國·專題練習）四張除正面數(shù)字外其余都相同的卡片如圖所示．將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上．游戲規(guī)定：隨機抽取一張卡片，記下數(shù)字后背面朝上放回，洗勻后再抽取一張，將第一次、第二次抽取的卡片上的數(shù)字分別作為十位數(shù)和個位數(shù)組成一個兩位數(shù)，若組成的兩位數(shù)不超過32，則小貝勝；反之，小晶勝．(1)用列表法或畫樹狀圖法求恰好得到數(shù)22的概率．(2)你認為這個游戲是否公平？請說明理由．9．（2026九年級·貴州·專題練習）小明和小亮用如圖所示的兩個轉盤（每個轉盤被分成五個面積相等的扇形）做游戲，轉動兩個轉盤各一次．(1)轉動A盤，指針指向的數(shù)字大于3的概率是________，轉動B盤，指針指向的數(shù)字小于5的概率是________；(2)若兩次數(shù)字之和為奇數(shù)，則小明勝；若兩次數(shù)字之和為偶數(shù)，則小亮勝，請判斷該游戲是否公平？并說明理由．10．（2526九年級上·福建漳州·階段練習）在一個不透明的小布袋中裝有4個標有1，2，3，4的小球，它們的質地、大小完全相同，小明從布袋里隨機摸出一個小球，記下數(shù)字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機摸出一個小球，記下數(shù)字為y，這樣確定了點M的坐標x,y(1)畫樹狀圖或列表，寫出點M所有可能的坐標．(2)小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：x、y若滿足xy培優(yōu)拔高11．（2025·山西·一模）明明和亮亮兩人用如圖所示的正四面體（每個面上分別刻有數(shù)字0，1，2，?2）做游戲，兩人各擲兩次四面體，四面體與地面接觸的數(shù)字之和為奇數(shù)，則明明勝；和為偶數(shù)，則亮亮勝，你對這個游戲公平性的評價是（

）A．公平 B．對明明有利 C．對亮亮有利 D．無法判斷12．（2024·浙江·模擬預測）在一次摸球游戲中，規(guī)定：連續(xù)摸到2個相同顏色的小球即為勝利，且每人只有一次挑戰(zhàn)機會．小金和小華一起參加游戲，兩人輪流從不透明的箱子里摸出一個小球，小金先摸．現(xiàn)已知箱子里有4個紅球和2個白球，則下列推斷正確的是（

）A．一定是小金獲勝B．一定是小華獲勝C．若第一輪兩人都摸到了白球，則一定是小金獲勝D．若第一輪兩人都摸到了紅球，則一定是小金獲勝13．（2023·內蒙古呼倫貝爾·一模）下列說法正確的是（

）A．擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的數(shù)字大于6B．通過拋一枚均勻的硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是不公平的C．神舟飛船在發(fā)射前需要對零部件進行抽樣調查D．一組數(shù)據(jù)1，3，4，5，7的方差是414．（2023九年級上·湖南邵陽·競賽）甲、乙兩位棋手棋藝相當，他們在一項獎金為10000元的比賽中相遇，比賽為七局四勝制（無平局）．已經進行了五局的比賽，結果為甲三勝二負．現(xiàn)在因故要停止比賽，問應該如何分配這10000元比賽獎金才算合理？答：甲得元；乙得元．15．（2425七年級下·山東青島·期中）甲、乙兩人做游戲，他們任意擲一枚質地均勻的骰子，若擲出的點數(shù)是奇數(shù)，則甲贏；若擲出的點數(shù)是偶數(shù)，則乙贏．這個游戲對甲、乙來說是的．（填“公平”或“不公平”）16．（2025·河南濮陽·一模）某林業(yè)局將一種樹苗移植成活的情況繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，由該圖可估計移植這種樹苗2000棵，成活的大約有棵．17．（2425九年級上·廣東江門·期末）甲、乙兩人玩撲克牌游戲，游戲規(guī)則是：從牌面數(shù)字分別為2，3，4的三張撲克牌中，隨機抽取一張，放回后，再隨機抽取一張，若所抽取的兩張牌面數(shù)字的和為奇數(shù)，則甲獲勝；若所抽取的兩張牌面數(shù)字的和為偶數(shù)，則乙獲勝．這個游戲．（填“公平”或“不公平”）