第2章

等式與不等式滬教版（2020）必修第一冊(cè)

2.2.2一元二次不等式的求解學(xué)習(xí)任務(wù)12理解一元二次不等式的概念，二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系.掌握一元二次不等式的解法，并理解一元二次不等式的應(yīng)用.3通過解不等式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法.1新課導(dǎo)入在交通事故中，交通管理部門往往通過測(cè)量肇事汽車的剎車距離，來推斷該車輛實(shí)施剎車前的行駛速度，并作為斷定司機(jī)在肇事前是否有超速違章行為的重要參考依據(jù).假設(shè)在某次交通事故中，測(cè)得肇事汽車的剎車距離大于20米，試推斷該汽車在剎車前的車速是否超過該水泥道路上機(jī)動(dòng)車的限速規(guī)定30千米/時(shí).在一般情況下，我們可以采用如下數(shù)學(xué)模型來描述該種型號(hào)的汽車在常規(guī)水泥路面上的剎車距離d(米)與剎車前的車速v(千米/時(shí))之間的關(guān)系①:d=0.2085v+0.0064v2.因此，我們需要通過求解不等式0.2085v+0.0064v2>20,來判斷v是否大于30.這就是一個(gè)一元二次不等式的求解問題.2知識(shí)梳理一元二次不等式設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，且a≠0，形如ax2＋bx＋c>0（<0，≥0或≤0的不等式，統(tǒng)稱為一元二次不等式一元二次不等式的解法（a＞0）二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集_______________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________?___{x|x<x1，或x>x2}{x|x1<x<x2}?3題型總結(jié)題型一

一元二次不等式的解法例1(1)(2－x)(x＋3)<0；

解原不等式可化為(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0的兩根為x1＝2，x2＝－3.原不等式的解集為{x|x<－3或x>2}.題型一

一元二次不等式的解法例1(2)－2x2＋x－6<0；解原不等式可化為2x2－x＋6>0.因?yàn)榉匠?x2－x＋6＝0的判別式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函數(shù)y＝2x2－x＋6的圖象開口向上，與x軸無交點(diǎn)(如圖所示).觀察圖象可得，原不等式的解集為R.題型一

一元二次不等式的解法

題型二

含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2(1)解關(guān)于x的不等式:x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0(a∈R).題型二

含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2(2)

解關(guān)于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).題型二

含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2(3)解關(guān)于x的不等式:x2-2ax+2≤0.題型二

含參數(shù)的一元二次不等式的解法方法總結(jié)解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟提醒：對(duì)應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時(shí)再求判別式Δ，用求根公式計(jì)算.題型三

三個(gè)“二次”的應(yīng)用例3（1）若不等式x2+bx+c<0的解集為{x|-2<x<3},則b-2c的值為(

)(A)11 (B)13(C)-11(D)-13

題型三

三個(gè)“二次”的應(yīng)用例3

（2）題型四

恒成立問題例4（-3，5）4課堂練習(xí)1.下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有A.5個(gè)

B.4個(gè)

C.3個(gè)

D.2個(gè)√√3.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，則A∩B等于A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}B4.如果關(guān)于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于A.－81 B.81 C.－64 D.64B5.不等式x2－3x－10<0的解集是____________.{x|－2<x<5}6.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是________________.{m|m≥9或m≤1}解析由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.7.解關(guān)于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).解原不等式可化為(x－2a)(x＋a)<0.對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根為x1＝2a，x2＝－a.①當(dāng)a>0時(shí)，x1>x2，不等式的解集為{x|－a<x<2a}；②當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x2<0，解集為?；③當(dāng)a<0時(shí)，x1<x2，不等式的解集為{x|2a<x<－a}.綜上，當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為{x|－a<x<2a}；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為{x|2a<x<－a}.8.設(shè)m＋n>0，則關(guān)于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是A.{x|x<－n或x>m} B.{x|－n<x<m}C.{x|x<－m或x>n} D.{x|－m<x<n}解析方程(m－x)(n＋x)＝0的兩根為m，－n，因?yàn)閙＋n>0，所以m>－n，得不等式的解集是{x|－n<x<m}.9.設(shè)不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集為A，若A?{x|1≤x≤3}，則a的取值范圍為__________.解設(shè)y＝x2－2ax＋a＋2，因?yàn)椴坏仁絰2－2ax＋a＋2≤0的解集為A，且A?{x|1≤x≤3}，所以對(duì)于方程x2－2ax＋a＋2＝0.若A＝?，則Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2.9.設(shè)不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集為A，若A?{x|1≤x≤3}，則a的取值范圍為__________.5課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)一元二次不等式的概念及解法.(2)含參的一元二次不等式的解法.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合，分類討論.3.題型歸納：一般的一元二次不等式、含參數(shù)的一元二次不