2025年線性代數(shù)行列式性質(zhì)與計(jì)算試題一、選擇題（共5小題，每小題4分，共20分）設(shè)行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=1$，則$\begin{vmatrix}4a_{11}&5a_{11}+2a_{12}\4a_{21}&5a_{21}+2a_{22}\end{vmatrix}$等于（）A.8B.10C.12D.16解析：根據(jù)行列式性質(zhì)，將第二列拆分為兩項(xiàng)之和，得：原式$=\begin{vmatrix}4a_{11}&5a_{11}\4a_{21}&5a_{21}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4a_{11}&2a_{12}\4a_{21}&2a_{22}\end{vmatrix}$第一項(xiàng)中兩列成比例（第二列=5/4×第一列），行列式值為0；第二項(xiàng)提取公因子$4×2=8$，剩余行列式值為1，故結(jié)果為$8×1=8$，選A。設(shè)矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}$，則行列式$|\boldsymbol{A}|$的值為（）A.0B.6C.9D.18解析：觀察矩陣發(fā)現(xiàn)，第三行=第二行+3×（第一行-第二行），即行向量線性相關(guān)。根據(jù)行列式性質(zhì)，若兩行（列）成比例或線性相關(guān)，則行列式值為0，選A。設(shè)$\boldsymbol{A}$為3階矩陣，且$|\boldsymbol{A}|=2$，則$|-2\boldsymbol{A}|=$（）A.-16B.-8C.8D.16解析：根據(jù)行列式數(shù)乘性質(zhì)，$|k\boldsymbol{A}|=k^n|\boldsymbol{A}|$（n為矩陣階數(shù)）。本題n=3，$k=-2$，故$|-2\boldsymbol{A}|=(-2)^3×2=-8×2=-16$，選A。下列運(yùn)算中，行列式值保持不變的是（）A.互換兩行后乘以常數(shù)kB.某行元素同乘以該行的代數(shù)余子式C.某行元素加上另一行對(duì)應(yīng)元素的k倍D.某行元素替換為另一行的元素解析：行列式基本性質(zhì)：A項(xiàng)：互換兩行后行列式變號(hào)，再乘k會(huì)改變值；B項(xiàng)：代數(shù)余子式與元素乘積之和為行列式值（按行展開(kāi)），但替換元素會(huì)改變行列式；C項(xiàng)：行列式某行（列）加上另一行（列）的k倍，值不變（初等行變換性質(zhì)）；D項(xiàng)：替換元素會(huì)改變行列式結(jié)構(gòu)，值可能變化。故選C。設(shè)行列式$D=\begin{vmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{vmatrix}=3$，則$D_1=\begin{vmatrix}a+2d&b+2e&c+2f\d&e&f\g&h&i\end{vmatrix}=$（）A.3B.6C.9D.12解析：根據(jù)行列式拆分性質(zhì)，將第一行拆分為$(a,b,c)+2(d,e,f)$，則$D_1=D+2\begin{vmatrix}d&e&f\d&e&f\g&h&i\end{vmatrix}$。第二項(xiàng)中前兩行相同，行列式值為0，故$D_1=D=3$，選A。二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）行列式$\begin{vmatrix}1&0&-1\2&1&3\-1&2&0\end{vmatrix}$的值為_(kāi)_______。解析：按第一行展開(kāi)：$1×\begin{vmatrix}1&3\2&0\end{vmatrix}-0×\begin{vmatrix}2&3\-1&0\end{vmatrix}+(-1)×\begin{vmatrix}2&1\-1&2\end{vmatrix}$$=1×(1×0-3×2)-0+(-1)×(2×2-1×(-1))$$=1×(-6)-1×(5)=-6-5=-11$答案：-11設(shè)矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&1\-3&2\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣$\boldsymbol{A}^*=$________。解析：二階矩陣伴隨矩陣公式：$\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}$（其中$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$）。本題$a=2,b=1,c=-3,d=2$，故$\boldsymbol{A}^*=\begin{pmatrix}2&-1\3&2\end{pmatrix}$答案：$\begin{pmatrix}2&-1\3&2\end{pmatrix}$若行列式$\begin{vmatrix}k&2&1\2&k&0\1&-1&1\end{vmatrix}=0$，則$k=$________。解析：按第三列展開(kāi)：$1×\begin{vmatrix}2&k\1&-1\end{vmatrix}-0×\begin{vmatrix}k&2\1&-1\end{vmatrix}+1×\begin{vmatrix}k&2\2&k\end{vmatrix}=0$$1×(2×(-1)-k×1)+1×(k^2-2×2)=0$$-2-k+k^2-4=0$$k^2-k-6=0$解得$k=3$或$k=-2$答案：3或-2設(shè)$\boldsymbol{A}$為n階矩陣，且$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$（正交矩陣），則$|\boldsymbol{A}|=$________。解析：正交矩陣性質(zhì)：$|\boldsymbol{A}^T|=|\boldsymbol{A}|$，且$|\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{E}|=1$。故$|\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}^T||\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}|^2=1$，解得$|\boldsymbol{A}|=±1$答案：±1行列式$\begin{vmatrix}0&0&0&1\0&0&2&0\0&3&0&0\4&0&0&0\end{vmatrix}$的值為_(kāi)_______。解析：該行列式為反對(duì)角行列式，n=4（偶階），值為$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}×1×2×3×4$。$\frac{4×3}{2}=6$，$(-1)^6=1$，故值為$1×24=24$答案：24三、解答題（共4小題，每小題10分，共40分）計(jì)算n階行列式$D_n=\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\b&a&b&\cdots&b\b&b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$。解析：該行列式為“行和相等型”，可通過(guò)加邊法或初等變換化簡(jiǎn)。步驟：將第2至n行都加到第1行，得：$D_n=\begin{vmatrix}a+(n-1)b&a+(n-1)b&\cdots&a+(n-1)b\b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$提取第1行公因子$[a+(n-1)b]$：$D_n=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$第2至n行減去第1行的b倍，化為上三角行列式：$D_n=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\0&a-b&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&a-b\end{vmatrix}$上三角行列式值為對(duì)角線元素乘積：$D_n=a+(n-1)b^{n-1}$答案：$a+(n-1)b^{n-1}$設(shè)矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&k\end{pmatrix}$，且$|\boldsymbol{AB}|=0$，求k的值。解析：先求$|\boldsymbol{A}|$：由前面選擇題第2題知，$\boldsymbol{A}$的行列式值為0（行向量線性相關(guān)）；矩陣乘積行列式性質(zhì)：$|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$；$|\boldsymbol{B}|$為對(duì)角矩陣行列式，值為$1×1×k=k$；故$|\boldsymbol{AB}|=0×k=0$，該式對(duì)任意k恒成立。答案：k為任意實(shí)數(shù)證明：若n階行列式$D$中每行元素之和都為0，則$D=0$。證明：將行列式$D$的第2至n列都加到第1列，根據(jù)行列式性質(zhì)，值不變；由于每行元素之和為0，新的第1列元素全為$a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{in}=0$（i=1,2,…,n）；行列式中有一列元素全為0，根據(jù)性質(zhì)，行列式值為0，即$D=0$。證畢計(jì)算行列式$D=\begin{vmatrix}x&y&y&y\y&x&y&y\y&y&x&y\y&y&y&x\end{vmatrix}$，并求當(dāng)$x=2,y=1$時(shí)的值。解析：該行列式為4階行和相等型，參考第11題方法，$n=4$，$a=x$，$b=y$；代入公式得$D=x+3y^3$；當(dāng)$x=2,y=1$時(shí)，$D=2+3×1^3=5×1=5$答案：$x+3y^3$；當(dāng)$x=2,y=1$時(shí)，值為5四、應(yīng)用題（共2小題，每小題10分，共20分）已知三元一次方程組：$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}$其系數(shù)行列式$D=\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\a_2&b_2&c_2\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=2$，且$D_x=\begin{vmatrix}d_1&b_1&c_1\d_2&b_2&c_2\d_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=4$，$D_y=6$，$D_z=8$，求方程組的解。解析：根據(jù)克拉默法則，方程組解為：$x=\frac{D_x}{D}=\frac{4}{2}=2$，$y=\frac{D_y}{D}=\frac{6}{2}=3$，$z=\frac{D_z}{D}=\frac{8}{2}=4$答案：$x=2,y=3,z=4$某電路的節(jié)點(diǎn)方程為：$\begin{cases}(R_1+R_2)I_1-R_2I_2=U\-R_2I_1+(R_2+R_3)I_2=0\end{cases}$其中$R_1=1Ω,R_2=2Ω,R_3=3Ω,U=10V$，用行列式法求電流$I_1,I_2$。解析：代入?yún)?shù)得方程組：$\begin{cases}(1+2)I_1-2I_2=10\-2I_1+(2+3)I_2=0\end{cases}$即$\begin{cases}3I_1-2I_2=10\-2I_1+5I_2=0\end{cases}$系數(shù)行列式$D=\begin{vmatrix}3&-2\-2&5\end{vmatrix}=3×5-(-2)×(-2)=15-4=11$$D_{I_1}=\begin{vmatrix}10&-2\0&5\end{vmatrix}=10×5-(-2)×0=50$，$I_1=\frac{D_{I_1}}{D}=\frac{50}{11}A$$D_{I_2}=\begin{vmatrix}3&10\-2&0\end{vmatrix}=3×0-10×(-2)=20$，$I_2=\frac{D_{I_2}}{D}=\frac{20}{11}A$答案：$I_1=\frac{50}{11}A$，$I_2=\frac{20}{11}A$五、綜合題（共1小題，20分）設(shè)n階矩陣$\boldsymbol{A}$滿足$\boldsymbol{A}^2-3\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$（$\boldsymbol{E}$為單位矩陣），證明：（1）$\boldsymbol{A}$可逆；（2）若$|\boldsymbol{A}|=2$，求$|\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E}|$的值。證明：（1）由$\boldsymbol{A}^2-3\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$得$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E})=-2