2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)變式題訓(xùn)練（四）一、函數(shù)模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：求函數(shù)$f(x)=x^2-2x-3$的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸及單調(diào)區(qū)間。解析：配方得$f(x)=(x-1)^2-4$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,-4)$，對(duì)稱軸為直線$x=1$；當(dāng)$x\in(-\infty,1)$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(1,+\infty)$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：已知函數(shù)$f(x)=ax^2-2x-3(a\neq0)$，試討論$a$的取值對(duì)函數(shù)圖像開(kāi)口方向、頂點(diǎn)位置及零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響。解析：開(kāi)口方向：當(dāng)$a>0$時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，開(kāi)口向下。頂點(diǎn)位置：頂點(diǎn)坐標(biāo)為$\left(\frac{1}{a},-3-\frac{1}{a}\right)$，當(dāng)$a$變化時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)$\frac{1}{a}$隨$a$增大而減小，縱坐標(biāo)$-3-\frac{1}{a}$隨$a$增大而增大。零點(diǎn)個(gè)數(shù)：判別式$\Delta=4+12a$。當(dāng)$\Delta>0$即$a>-\frac{1}{3}$且$a\neq0$時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)$\Delta=0$即$a=-\frac{1}{3}$時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)$\Delta<0$即$a<-\frac{1}{3}$時(shí)，無(wú)零點(diǎn)。2.情境變式題目：某噴泉的水流軌跡可視為拋物線，已知水流最高點(diǎn)距離地面4米，落地點(diǎn)距離噴頭6米。（1）建立平面直角坐標(biāo)系，求水流軌跡的函數(shù)解析式；（2）若在距離噴頭3米處設(shè)置一個(gè)高度為$h$米的裝飾臺(tái)，求$h$的取值范圍。解析：（1）以噴頭為原點(diǎn)，水平方向?yàn)?x$軸，豎直方向?yàn)?y$軸建立坐標(biāo)系。設(shè)拋物線方程為$y=a(x-3)^2+4$（頂點(diǎn)式），將點(diǎn)$(6,0)$代入得$0=a(6-3)^2+4$，解得$a=-\frac{4}{9}$，故解析式為$y=-\frac{4}{9}(x-3)^2+4$，$x\in[0,6]$。（2）當(dāng)$x=3$時(shí)，$y=4$；當(dāng)$x=0$或$x=6$時(shí)，$y=0$。故裝飾臺(tái)高度$h$需滿足$0<h\leq4$。3.綜合變式題目：已知函數(shù)$f(x)=x^2+bx+c$的圖像過(guò)點(diǎn)$(1,0)$，且對(duì)任意$x\in\mathbb{R}$，不等式$f(x)\geqx-1$恒成立。（1）求$b,c$的值；（2）若函數(shù)$g(x)=f(x)-mx$在區(qū)間$[2,4]$上單調(diào)，求$m$的取值范圍。解析：（1）由$f(1)=0$得$1+b+c=0$。不等式$f(x)\geqx-1$即$x^2+(b-1)x+(c+1)\geq0$恒成立，故判別式$\Delta=(b-1)^2-4(c+1)\leq0$。聯(lián)立$\begin{cases}b+c=-1\(b-1)^2-4(c+1)\leq0\end{cases}$，解得$b=-1,c=0$。（2）$g(x)=x^2-(m+1)x$，對(duì)稱軸為$x=\frac{m+1}{2}$。若函數(shù)在$[2,4]$上單調(diào)，則$\frac{m+1}{2}\leq2$或$\frac{m+1}{2}\geq4$，解得$m\leq3$或$m\geq7$。二、幾何模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱長(zhǎng)為1，求異面直線$A_1B$與$AC$所成角的大小。解析：以$D$為原點(diǎn)，$DA,DC,DD_1$為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，得$\overrightarrow{A_1B}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)$。設(shè)夾角為$\theta$，則$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{A_1B}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{|0\times(-1)+1\times1+(-1)\times0|}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}=\frac{1}{2}$，故$\theta=60^\circ$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=1$，$\angleBAC=90^\circ$，$AA_1=h$。若異面直線$A_1B$與$BC_1$所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$h$的值。解析：建立坐標(biāo)系，得$A_1(0,0,h)$，$B(1,0,0)$，$B_1(1,0,h)$，$C_1(0,1,h)$。$\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-h)$，$\overrightarrow{BC_1}=(-1,1,h)$。由$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{BC_1}|}{|\overrightarrow{A_1B}||\overrightarrow{BC_1}|}=\frac{|-1+0-h^2|}{\sqrt{1+h^2}\cdot\sqrt{2+h^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$h=1$（負(fù)值舍去）。2.情境變式題目：某倉(cāng)庫(kù)為直四棱柱結(jié)構(gòu)，底面是長(zhǎng)4米、寬3米的矩形，高5米?，F(xiàn)有一根長(zhǎng)8米的鋼管，能否通過(guò)倉(cāng)庫(kù)門(mén)放入倉(cāng)庫(kù)內(nèi)？（門(mén)高2米，寬3米，忽略鋼管直徑）解析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為判斷鋼管長(zhǎng)度是否小于倉(cāng)庫(kù)內(nèi)最長(zhǎng)對(duì)角線。倉(cāng)庫(kù)空間對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{4^2+3^2+5^2}=\sqrt{50}\approx7.07$米，小于8米，故不能放入。3.綜合變式題目：在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是菱形，$\angleABC=60^\circ$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AB=2$。（1）求證：$BD\perpPC$；（2）求二面角$B-PC-D$的余弦值。解析：（1）以$A$為原點(diǎn)，$AB,AD,AP$為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，得$B(2,0,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,0,2)$，$C(2,2,0)$。$\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{PC}=(2,2,-2)$，$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{PC}=-4+4+0=0$，故$BD\perpPC$。（2）平面$PBC$的法向量$\mathbf{n_1}=(1,0,1)$，平面$PDC$的法向量$\mathbf{n_2}=(0,1,1)$，$\cos\theta=\frac{|\mathbf{n_1}\cdot\mathbf{n_2}|}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}=\frac{1}{2}$，故二面角余弦值為$\frac{1}{2}$。三、概率模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：袋子中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地依次摸出2個(gè)球，求恰好摸到1個(gè)紅球的概率。解析：總基本事件數(shù)為$\text{C}_5^2=10$，事件$A$（1紅1白）包含$\text{C}_2^1\text{C}_3^1=6$個(gè)基本事件，故$P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：袋子中有$m$個(gè)紅球和$n$個(gè)白球，從中有放回地摸球，每次摸1個(gè)，共摸3次。若恰好摸到2個(gè)紅球的概率為$\frac{12}{25}$，求$m,n$的一組整數(shù)解。解析：每次摸到紅球的概率為$p=\frac{m}{m+n}$，由二項(xiàng)分布得$\text{C}_3^2p^2(1-p)=\frac{12}{25}$，解得$p=\frac{2}{5}$或$\frac{3}{5}$。取$p=\frac{2}{5}$，則$m=2,n=3$（一組解）。2.情境變式題目：某疫苗接種點(diǎn)有A,B兩個(gè)接種窗口，甲、乙兩人隨機(jī)選擇窗口接種，假設(shè)每個(gè)窗口每次只能接待1人，且甲先到。（1）求乙選擇A窗口的概率；（2）若A窗口接種時(shí)間為5分鐘，B窗口為3分鐘，求兩人接種結(jié)束時(shí)間相差不超過(guò)2分鐘的概率。解析：（1）乙選擇A或B窗口的概率均為$\frac{1}{2}$。（2）設(shè)甲、乙結(jié)束時(shí)間分別為$t_1,t_2$，則$|t_1-t_2|\leq2$。當(dāng)甲選A時(shí)，$t_1=5$，乙選A時(shí)$t_2=5+5=10$（不合），選B時(shí)$t_2=3$（$|5-3|=2$，符合）；當(dāng)甲選B時(shí)，$t_1=3$，乙選A時(shí)$t_2=5$（$|3-5|=2$，符合），選B時(shí)$t_2=3+3=6$（$|3-6|=3>2$，不合）。故概率為$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。3.綜合變式題目：某校從5名男生和3名女生中選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記$X$為選中女生的人數(shù)。（1）求$X$的分布列；（2）若選中女生人數(shù)不少于1人，則男生甲被選中的概率是多少？解析：（1）$X$的可能取值為0,1,2,3。$P(X=0)=\frac{\text{C}_5^3}{\text{C}_8^3}=\frac{10}{56}$，$P(X=1)=\frac{\text{C}_5^2\text{C}_3^1}{56}=\frac{30}{56}$，$P(X=2)=\frac{\text{C}_5^1\text{C}_3^2}{56}=\frac{15}{56}$，$P(X=3)=\frac{\text{C}_3^3}{56}=\frac{1}{56}$。（2）設(shè)事件$A$為“女生不少于1人”，事件$B$為“男生甲被選中”，$P(A)=1-P(X=0)=\frac{46}{56}$，$P(AB)=\frac{\text{C}_4^1\text{C}_3^1+\text{C}_4^0\text{C}_3^2}{\text{C}_8^3}=\frac{15}{56}$，故$P(B|A)=\frac{15}{46}$。四、導(dǎo)數(shù)模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的單調(diào)區(qū)間和極值。解析：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x\in(-\infty,0)$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$x\in(0,2)$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x\in(2,+\infty)$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)遞增。極大值$f(0)=2$，極小值$f(2)=-2$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：已知函數(shù)$f(x)=x^3-ax^2+3x$在區(qū)間$[1,+\infty)$上單調(diào)遞增，求$a$的取值范圍。解析：$f'(x)=3x^2-2ax+3\geq0$在$[1,+\infty)$恒成立，即$2a\leq3x+\frac{3}{x}$。令$g(x)=3x+\frac{3}{x}$，$g'(x)=3-\frac{3}{x^2}\geq0$在$[1,+\infty)$恒成立，$g(x)_{\min}=g(1)=6$，故$2a\leq6$，即$a\leq3$。2.情境變式題目：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，總成本$C(x)=x^2+4x+100$（元），銷售收入$R(x)=20x-0.1x^2$（元），其中$x$為產(chǎn)量（件）。（1）求利潤(rùn)函數(shù)$L(x)$；（2）產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：（1）$L(x)=R(x)-C(x)=-1.1x^2+16x-100$。（2）$L'(x)=-2.2x+16$，令$L'(x)=0$得$x=\frac{160}{22}\approx7.27$，取$x=7$，$L(7)=-1.1\times49+16\times7-100=18.1$元；$x=8$時(shí)，$L(8)=-1.1\times64+16\times8-100=16.4$元，故產(chǎn)量為7件時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)18.1元。3.綜合變式題目：已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1(a\in\mathbb{R})$。（1）討論$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)\geq0$對(duì)任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求$a$的值，并證明：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)(n\in\mathbb{N}^*)$。解析：（1）$f'(x)=e^x-a$。當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f'(x)>0$，$f(x)$在$\mathbb{R}$上遞增；當(dāng)$a>0$時(shí)，$x\in(-\infty,\lna)$時(shí)$f'(x)<0$，$x\in(\lna,+\infty)$時(shí)$f'(x)>0$。（2）由$f(x){\min}=f(\lna)=a-a\lna-1\geq0$，令$g(a)=a-a\lna-1$，$g'(a)=-\lna$，$g(a){\max}=g(1)=0$，故$a=1$。證明：由$e^x\geqx+1$得$x\geq\ln(x+1)$，令$x=\frac{1}{k}$，則$\frac{1}{k}\geq\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(k+1)-\lnk$，累加得$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\geq\ln(n+1)$。五、數(shù)列模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：在等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_4=7$，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前$n$項(xiàng)和$S_n$。解析：公差$d=\frac{a_4-a_1}{3}=2$，通項(xiàng)公式$a_n=1+2(n-1)=2n-1$，$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n^2$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=pn^2+qn+r$，若${a_n}$是等差數(shù)列，求$p,q,r$滿足的條件。解析：$a_1=S_1=p+q+r$，$n\geq2$時(shí)，$a_n=S_n-S_{n-1}=2pn-p+q$。由等差數(shù)列性質(zhì)，$a_2-a_1=2p$，且$a_1$需滿足$a_n=2pn-p+q$，即$p+q+r=2p-p+q\Rightarrowr=0$。故$r=0$，$p,q\in\mathbb{R}$。2.情境變式題目：某企業(yè)2025年第一季度產(chǎn)值為100萬(wàn)元，計(jì)劃從第二季度起每月產(chǎn)值比上一個(gè)月增長(zhǎng)$x%$，若2025年上半年總產(chǎn)值為650萬(wàn)元，求$x$的值（精確到0.1%）。解析：每月產(chǎn)值構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)$a_1=100$，公比$q=1+\frac{x}{100}$（共6項(xiàng)）。$S_6=100\frac{q^6-1}{q-1}=650$，解得$q\approx1.082$，故$x\approx8.2%$。3.綜合變式題目：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$。（1）求${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{3^n}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。解析：（1）等式兩邊同除以$2^{n+1}$得$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^n$，令$c_n=\frac{a_n}{2^n}$，則$c_{n+1}-c_n=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^n$。累加得$c_n=c_1+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{3}{2}\right)^k=3\left(\frac{3}{2}\right)^n-2$，故$a_n=3^{n+1}-2^{n+1}$。（2）$b_n=\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n}=3-2\left(\frac{2}{3}\right)^n$，$T_n=3n-2\sum_{k=1}^n\left(\frac{2}{3}\right)^k=3n-4\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right]$。六、三角函數(shù)模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：求函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的最小正周期、最大值及單調(diào)遞增區(qū)間。解析：$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$，最小正周期$T=2\pi$，最大值$\sqrt{2}$，單調(diào)遞增區(qū)間為$\left-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi\right$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：已知函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的圖像過(guò)點(diǎn)$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$和$\left(\frac{\pi}{2},1\right)$，求$\omega,\varphi$的值及函數(shù)的對(duì)稱軸方程。解析：由$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$得$\frac{\omega\pi}{2}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$；由$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$得$\frac{\omega\pi}{3}+\varphi=m\pi$。兩式相減得$\omega\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+(2k-m)\pi$，取$k=m=0$得$\omega=3$，$\varphi=-\frac{\pi}{2}$（不合$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）；取$k=0,m=-1$得$\omega=3$，$\varphi=-\frac{\pi}{2}+3\pi=\frac{5\pi}{2}$（不合）；取$k=1,m=1$得$\omega=6$，$\varphi=\frac{\pi}{2}-3\pi=-\frac{5\pi}{2}$（不合）；取$k=0,m=1$得$\omega=-3$（舍）。重新分析得$\omega=2$，$\varphi=-\frac{\pi}{6}$，對(duì)稱軸方程$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbb{Z})$。2.情境變式題目：某港口水深$y$（米）與時(shí)間$t$（小時(shí)，$0\leqt\leq24$）的關(guān)系可用$y=5+3\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$表示，求一天中水深超過(guò)7米的時(shí)間長(zhǎng)度。解析：令$5+3\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)>7$，得$\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)>\frac{2}{3}$。解得$\frac{\pi}{6}t\in\left(\arcsin\frac{2}{3}+2k\pi,\pi-\arcsin\frac{2}{3}+2k\pi\right)$，$t\in\left(\frac{6}{\pi}\arcsin\frac{2}{3}+12k,\frac{6}{\pi}(\pi-\arcsin\frac{2}{3})+12k\right)$。在$[0,24]$內(nèi)，$k=0$和$k=1$時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度各為$\frac{6}{\pi}(\pi-2\arcsin\frac{2}{3})\approx4$小時(shí)，總長(zhǎng)度約8小時(shí)。3.綜合變式題目：在$\triangleABC$中，角$A,B,C$的對(duì)邊分別為$a,b,c$，且$2\cos^2\frac{B}{2}=\sqrt{3}\sinB$。（1）求角$B$的大??；（2）若$b=3$，求$\triangleABC$面積的最大值。解析：（1）由二倍角公式得$1+\cosB=\sqrt{3}\sinB$，即$\sin\left(B-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$，$B\in(0,\pi)$得$B=\frac{\pi}{3}$。（2）由余弦定理$9=a^2+c^2-ac\geq2ac-ac=ac$，$S=\frac{1}{2}ac\sinB\leq\frac{1}{2}\times9\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，當(dāng)$a=c=3$時(shí)取等號(hào)。七、解析幾何模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：求圓$x^2+y^2-4x+6y-3=0$的圓心坐標(biāo)、半徑及過(guò)點(diǎn)$(1,0)$的切線方程。解析：配方得$(x-2)^2+(y+3)^2=16$，圓心$(2,-3)$，半徑4。切線方程：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)$y=k(x-1)$，由圓心到切線距離等于半徑得$\frac{|2k+3-k|}{\sqrt{k^2+1}}=4$，解得$k=\frac{7}{24}$，切線方程為$7x-24y-7=0$；當(dāng)斜率不存在時(shí)，$x=1$（驗(yàn)證圓心到$x=1$距離為1≠4，舍去），故切線方程為$7x-24y-7=0$。（二）變式題型A.參數(shù)變式題目：已知圓$C:(x-a)^2+(y-b)^2=9$過(guò)點(diǎn)$(0,0)$和$(4,0)$，求圓心$C$的軌跡方程，并求當(dāng)圓$C$的面積最小時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：由圓過(guò)兩點(diǎn)得$\begin{cases}a^2+b^2=9\(4-a)^2+b^2=9\end{cases}$，兩式相減得$a=2$，故圓心軌跡方程為$x=2$（$-3\leqy\leq3$）。當(dāng)$b=0$時(shí)，圓心為$(2,0)$，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x-2)^2+y^2=9$。B.情境變式題目：某衛(wèi)星信號(hào)覆蓋區(qū)域是以衛(wèi)星為中心，半徑100公里的圓形。現(xiàn)已知A,B兩城市相距120公里，且均在覆蓋區(qū)域內(nèi)，求信號(hào)覆蓋區(qū)域內(nèi)A,B兩城市連線上的最長(zhǎng)距離。解析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為求圓內(nèi)弦長(zhǎng)為120公里的弦上的點(diǎn)到圓心的最大距離。圓心到弦AB的距離$d=\sqrt{100^2-60^2}=80$公里，故最長(zhǎng)距離為$d+100=180$公里（弦的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)）。C.綜合變式題目：已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦點(diǎn)為$F(2,0)$，過(guò)$F$的直線$l$交橢圓于$A,B$兩點(diǎn)。（1）求橢圓$C$的方程；（2）若直線$l$的斜率為1，求$\triangleAOB$的面積（$O$為原點(diǎn)）。解析：（1）$c=2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得$a=\frac{4}{\sqrt{3}}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}$，橢圓方程為$\frac{3x^2}{16}+\frac{3y^2}{4}=1$。（2）直線$l:y=x-2$，聯(lián)立橢圓方程得$15x^2-48x+32=0$，$|AB|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\left(\frac{48}{15}\right)^2-4\times\frac{32}{15}}=\frac{8\sqrt{2}}{5}$，原點(diǎn)到直線距離$d=\sqrt{2}$，$S=\frac{1}{2}\times\frac{8\sqrt{2}}{5}\times\sqrt{2}=\frac{8}{5}$。八、不等式模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：解不等式$x^2-3x+2\leq0$，并求函數(shù)$f(x)=x^2-3x+2$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值和最小值。解析：不等式解集為$[1,2]$。函數(shù)對(duì)稱軸為$x=\frac{3}{2}$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{4}$（最小值），$f(0)=2$，$f(3)=2$（最大值）。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：解關(guān)于$x$的不等式$ax^2-(a+1)x+1<0(a\in\mathbb{R})$。解析：當(dāng)$a=0$時(shí)，不等式為$-x+1<0$，解集$(1,+\infty)$；當(dāng)$a>0$時(shí)，$(ax-1)(x-1)<0$，若$a=1$，解集$\varnothing$；若$a>1$，解集$\left(\frac{1}{a},1\right)$；若$0<a<1$，解集$\left(1,\frac{1}{a}\right)$；當(dāng)$a<0$時(shí)，$(ax-1)(x-1)<0$，解集$(-\infty,\frac{1}{a})\cup(1,+\infty)$。2.情境變式題目：某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品每件利潤(rùn)30元，需3工時(shí)；乙產(chǎn)品每件利潤(rùn)20元，需2工時(shí)。每周總工時(shí)不超過(guò)60小時(shí)，且甲產(chǎn)品產(chǎn)量不超過(guò)10件。如何安排生產(chǎn)才能使每周利潤(rùn)最大？解析：設(shè)甲、乙產(chǎn)量分別為$x,y$件，目標(biāo)函數(shù)$z=30x+20y$，約束條件$\begin{cases}3x+2y\leq60\x\leq10\x,y\geq0,x\in\mathbb{N},y\in\mathbb{N}\end{cases}$?？尚杏蝽旤c(diǎn)為$(0,0),(10,0),(10,15),(0,30)$，$z$在$(10,15)$處最大，$z=30\times10+20\times15=600$元。3.綜合變式題目：已知$a,b>0$，且$a+b=1$，求證：（1）$\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4$；（2）$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1})^2\geq\frac{25}{2}$。解析：（1）$\frac{1}{a}+\frac{1}=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}\right)=2+\frac{a}+\frac{a}\geq4$（基本不等式）。（2）由$a+b=1$得$ab\leq\frac{1}{4}$，$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1})^2=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+4=(1-2ab)+\frac{1-2ab}{a^2b^2}+4$，令$t=ab\leq\frac{1}{4}$，則原式$=5-2t+\frac{1-2t}{t^2}\geq5-\frac{1}{2}+\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}}=\frac{25}{2}$。九、復(fù)數(shù)模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：已知復(fù)數(shù)$z=1+i$，求$z$的模、共軛復(fù)數(shù)及$z^2+2z$的值。解析：$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\overline{z}=1-i$，$z^2+2z=(1+i)^2+2(1+i)=2i+2+2i=2+4i$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：已知復(fù)數(shù)$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$滿足$|z|=2$，且$z+2i$為實(shí)數(shù)，求$z$的值。解析：$z+2i=a+(b+2)i$為實(shí)數(shù)，則$b+2=0\Rightarrowb=-2$。由$|z|=\sqrt{a^2+(-2)^2}=2$得$a=0$，故$z=-2i$。2.情境變式題目：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)$z_1=1+2i$，$z_2=3-4i$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為$A,B$，求線段$AB$的中點(diǎn)$M$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)及$\triangleAOB$的面積（$O$為原點(diǎn)）。解析：中點(diǎn)$M$的坐標(biāo)為$\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+(-4)}{2}\right)=(2,-1)$，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為$2-i$。$\triangleAOB$的面積為$\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=\frac{1}{2}|1\times(-4)-3\times2|=5$。3.綜合變式題目：已知復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-2|=|z-2i|$，且$|z|=2\sqrt{2}$。（1）求復(fù)數(shù)$z$；（2）若$z$是實(shí)系數(shù)一元二次方程$x^2+px+q=0$的根，求$p,q$的值。解析：（1）設(shè)$z=x+yi$，由$|z-2|=|z-2i|$得$(x-2)^2+y^2=x^2+(y-2)^2\Rightarrowx=y$。由$|z|=2\sqrt{2}$得$x^2+y^2=8\Rightarrowx=y=\pm2$，故$z=2+2i$或$z=-2-2i$。（2）當(dāng)$z=2+2i$時(shí)，方程另一根為$\overline{z}=2-2i$，$p=-(z+\overline{z})=-4$，$q=z\overline{z}=8$；當(dāng)$z=-2-2i$時(shí)，同理$p=4$，$q=8$。十、排列組合模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：從5名男生和3名女生中選3人參加活動(dòng)，求至少有1名女生的不同選法種數(shù)。解析：總選法$\text{C}_8^3=56$種，無(wú)女生選法$\text{C}_5^3=10$種，故至少1名女生的選法為$56-10=46$種。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：將4本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人至少1本，求不同的分法種數(shù)。解析：先分組再分配：分為2,1,1三組，分組方法$\frac{\text{C}_4^2\text{C}_2^1\text{C}_1^1}{\text{A}_2^2}=6$種，分配給3人有$\text{A}_3^3=6$種，共$6\times6=36$種。2.情境變式題目：某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直旗桿上表示信號(hào)，每次可掛1面、2面或3面，不同的順序表示不同的信號(hào)，求一共可以表示多少種不同的信號(hào)。解析：掛1面：$\text{A}_3^1=3$種；掛2面：$\text{A}_3^2=6$種；掛3面：$\text{A}_3^3=6$種，共$3+6+6=15$種。3.綜合變式題目：從0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字中選4個(gè)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。（1）求能被3整除的四位數(shù)個(gè)數(shù)；（2）求十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的四位數(shù)個(gè)數(shù)。解析：（1）能被3整除的數(shù)各位數(shù)字之和能被3整除。數(shù)字和可能為6,9,12,15。和為6：0,１,2,3→$\text{A}_3^1\text{A}_3^3=18$；和為9：0,1,3,5或0,2,3,4→$2\times\text{A}_3^1\text{A}_3^3=36$；和為12：1,2,4,5或0,3,4,5→$\text{A}_4^4+\text{A}_3^1\text{A}_3^3=24+18=42$；和為15：2,3,5,5（重復(fù)，舍）或1,4,5,5（舍），故總個(gè)數(shù)$18+36+42=96$。（2）所有四位數(shù)有$\text{A}_5^1\text{A}_5^3=300$個(gè)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字大小關(guān)系等可能，故十位比個(gè)位大的有$\frac{300}{2}=150$個(gè)。十一、概率統(tǒng)計(jì)模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：某射手射擊命中率為0.8，現(xiàn)獨(dú)立射擊3次，求恰好命中2次的概率。解析：由二項(xiàng)分布$P(X=2)=\text{C}_3^2(0.8)^2(0.2)=0.384$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，且$P(X<1)=0.2$，$P(X>5)=0.4$，求$\mu$的值。解析：正態(tài)分布關(guān)于$x=\mu$對(duì)稱，$P(X<1)+P(X>5)=0.6<1$，故1和5在$\mu$兩側(cè)，$P(X<1)=P(X>2\mu-1)=0.2$，又$P(X>5)=0.4$，則$2\mu-1=5\Rightarrow\mu=3$。2.情境變式題目：某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品，其中一等品率為0.7，二等品率為0.2，次品率為0.1?，F(xiàn)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求至少有1件次品的概率。解析：$P(\text{至少1件次品})=1-P(\text{無(wú)次品})=1-(0.9)^3=1-0.729=0.271$。3.綜合變式題目：某校高二年級(jí)有1000名學(xué)生，其中男生600人，女生400人?，F(xiàn)用分層抽樣的方法抽取50名學(xué)生參加體能測(cè)試，測(cè)試結(jié)果分為“優(yōu)秀”“良好”“合格”三個(gè)等級(jí)，男生中優(yōu)秀18人，良好12人；女生中優(yōu)秀8人，良好7人。（1）完成2×3列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為體能等級(jí)與性別有關(guān)；（2）從抽取的“優(yōu)秀”學(xué)生中隨機(jī)選2人，求至少有1名女生的概率。解析：（1）列聯(lián)表：||優(yōu)秀|良好|合格|總計(jì)||--------|------|------|------|------||男生|18|12|10|40||女生|8|7|5|20||總計(jì)|26|19|15|60|$\chi^2=\frac{60(18\times5-12\times8)^2}{40\times20\times26\times19}\approx0.04<3.841$，無(wú)95%把握認(rèn)為有關(guān)。（2）優(yōu)秀學(xué)生共26人，女生8人，男生18人。$P(\text{至少1女生})=1-\frac{\text{C}{18}^2}{\text{C}{26}^2}=1-\frac{153}{325}=\frac{172}{325}$。十二、線性代數(shù)模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：求矩陣$\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣。解析：行列式$D=1\times4-2\times3=-2$，逆矩陣$A^{-1}=\frac{1}{D}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：已知矩陣$A=\begin{pmatrix}a&1\1&a\end{pmatrix}$可逆，求$a$的取值范圍，并求$A^{-1}$。解析：行列式$D=a^2-1\neq0\Rightarrowa\neq\pm1$，$A^{-1}=\frac{1}{a^2-1}\begin{pmatrix}a&-1\-1&a\end{pmatrix}$。2.情境變式題目：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1噸甲需2噸A原料和3噸B原料，生產(chǎn)1噸乙需1噸A原料和4噸B原料?，F(xiàn)有A原料10噸，B原料20噸，求可生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少噸？解析：設(shè)生產(chǎn)甲$x$噸，乙$y$噸，$\begin{cases}2x+y=10\3x+4y=20\end{cases}$，矩陣法求解：$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}4&-1\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\20\end{pmatrix}\times\frac{1}{5}=\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix}$，故甲4噸，乙2噸。3.綜合變式題目：已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\7&8\end{pmatrix}$，求$AB$和$BA$，并判斷矩陣乘法是否滿足交換律。解析：$AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\43&50\end{pmatrix}$，$BA=\begin{pmatrix}5\times1+6\times3&5\times2+6\times4\7\times1+8\times3&7\times2+8\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}23&34\31&46\end{pmatrix}$，$AB\neqBA$，矩陣乘法不滿足交換律。十三、微積分模塊變式訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)原型題題目：求函數(shù)$f(x)=\int_0^x(t^2+2t)dt$的導(dǎo)數(shù)，并計(jì)算$f(2)$的值。解析：$f'(x)=x^2+2x$，$f(x)=\left[\frac{t^3}{3}+t^2\right]_0^x=\frac{x^3}{3}+x^2$，$f(2)=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}$。（二）變式題型1.參數(shù)變式題目：已知函數(shù)$f(x)=\int_a^x(2t+1)dt$的圖像過(guò)點(diǎn)$(1,3)$，求$a$的值。解析：$f(x)=\left[t^2+t\right]_a^x=x^2+x-(a^2+a)$，由$f(1)=1+1-(a^2+a)=3$得$a^2+a+1=0$，無(wú)實(shí)根（題目可能有誤，假設(shè)過(guò)點(diǎn)$(1,2)$，則$a^2+a=0\Rightarrowa=0$或$a=-1$）。2.情境變式題目：某物體做直線運(yùn)動(dòng)，速度$v(t)=t^2-2t+3$（米/秒），求$t=1$到$t=3$秒內(nèi)的位移。解析：位移$s=\int_1^3(t^2-2t+3)dt=\left[\frac{t^3}{3}-t^2+3t\right]_1^3=\left(9-9+9\right)-\l