2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)地球科學(xué)與數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）地球半徑與球面幾何地球可近似視為半徑為6371km的球體。若某衛(wèi)星在距離地面35800km的地球同步軌道運(yùn)行，則其軌道所在球面的表面積與地球表面積之比為（）A.(35800/6371)2B.(42171/6371)2C.(35800+6371)/6371D.(35800/6371)3解析：軌道半徑需包含地球半徑，即R=6371+35800=42171km，表面積之比為(R/r)2，故選B。板塊運(yùn)動(dòng)的線性模型某板塊邊界處地殼以每年2.5厘米的速度擴(kuò)張，若此運(yùn)動(dòng)可視為勻速直線運(yùn)動(dòng)，則100萬(wàn)年后兩地距離將增加（）A.25米B.250米C.2500米D.25000米解析：2.5cm/年×10?年=25000cm=250米，選B。地震震級(jí)的對(duì)數(shù)關(guān)系里氏震級(jí)M與地震釋放能量E（焦耳）的關(guān)系為M=0.67lgE-2.9。若某次地震釋放能量是另一次的1000倍，則震級(jí)相差（）A.1.0B.2.0C.3.0D.6.7解析：設(shè)E?=1000E?，則lgE?=lgE?+3，M?-M?=0.67×3≈2.0，選B。地球公轉(zhuǎn)的橢圓軌道地球繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道為橢圓，近日點(diǎn)距離1.47×10?km，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離1.52×10?km。則此橢圓的離心率e為（）A.(1.52-1.47)/(1.52+1.47)B.(1.52+1.47)/(1.52-1.47)C.√[(1.52-1.47)/(1.52+1.47)]D.(1.52×1.47)/(1.52+1.47)解析：橢圓離心率e=c/a，其中2a=遠(yuǎn)日點(diǎn)+近日點(diǎn)，2c=遠(yuǎn)日點(diǎn)-近日點(diǎn)，故e=(遠(yuǎn)日點(diǎn)-近日點(diǎn))/(遠(yuǎn)日點(diǎn)+近日點(diǎn))，選A。人口增長(zhǎng)的指數(shù)模型某地區(qū)人口年增長(zhǎng)率1.2%，按指數(shù)增長(zhǎng)模型N(t)=N?e??計(jì)算，人口翻倍所需時(shí)間約為（）A.ln2/0.012年B.log?(1.012)年C.0.012/ln2年D.√2/0.012年解析：指數(shù)增長(zhǎng)中翻倍時(shí)間t=ln2/k，k=1.2%=0.012，選A。洋流速度的向量合成某洋流在北偏東30°方向以2m/s流動(dòng)，另一洋流在正東方向以3m/s流動(dòng)，則合速度大小為（）A.√(22+32)m/sB.√(22+32-2×2×3cos30°)m/sC.√(22+32+2×2×3cos60°)m/sD.√(22+32+2×2×3cos30°)m/s解析：兩速度方向夾角為60°（北偏東30°與正東方向夾角），由余弦定理得合速度2=22+32+2×2×3×cos60°，選C。巖石放射性定年的指數(shù)衰減碳-14半衰期為5730年，衰變公式N(t)=N?(1/2)^(t/5730)。若某化石剩余碳-14為初始量的1/8，則其年齡為（）A.5730×2年B.5730×3年C.5730×(1/2)3年D.5730×log?8年解析：(1/2)^(t/5730)=1/8=(1/2)3，故t=5730×3，選B。山地海拔與氣溫的線性關(guān)系海拔每升高1000米，氣溫約下降6℃。若山腳氣溫25℃，山頂氣溫-7℃，則山高約為（）A.(25-7)/6×1000米B.(25+7)/6×1000米C.(25-7)×6×1000米D.(25+7)×6×1000米解析：溫差25-(-7)=32℃，山高=32/6×1000≈5333米，選B。潮汐現(xiàn)象的三角函數(shù)模型某港口潮汐高度h(t)=2sin(πt/6)+3（t為小時(shí)），則一天內(nèi)出現(xiàn)高潮的次數(shù)為（）A.1次B.2次C.3次D.4次解析：周期T=2π/(π/6)=12小時(shí)，一天24小時(shí)內(nèi)有2個(gè)周期，每次周期出現(xiàn)1次高潮，共2次，選B。地球自轉(zhuǎn)的角速度地球自轉(zhuǎn)周期23小時(shí)56分，赤道上某點(diǎn)線速度v=ωR，其中ω為角速度。則ω的大小為（）A.2π/(23×3600+56×60)rad/sB.(23×3600+56×60)/2πrad/sC.2π×(23×3600+56×60)rad/sD.√(g/R)rad/s（g為重力加速度）解析：角速度ω=2π/T，T需換算為秒，選A。大氣壓強(qiáng)的指數(shù)衰減海拔h處大氣壓強(qiáng)P(h)=P?e^(-kh)，已知h=1000m時(shí)P=0.88P?，則h=3000m時(shí)P≈（）A.0.883P?B.0.88×3P?C.e^(-3k×1000)P?D.0.88^(1/3)P?解析：由0.88=e^(-k×1000)，則P(3000)=P?e^(-k×3000)=(e^(-k×1000))3=0.883P?，選A。地質(zhì)構(gòu)造的概率模型某區(qū)域斷層發(fā)生地震概率服從泊松分布，年均發(fā)生率λ=0.02。則未來(lái)10年至少發(fā)生1次地震的概率為（）A.1-e^(-0.2)B.e^(-0.2)C.1-(1-0.02)^10D.0.02×10解析：泊松分布中10年λ'=0.2，P(至少1次)=1-P(0次)=1-e^(-0.2)，選A。二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）地球經(jīng)緯度距離計(jì)算在北緯30°緯線上，經(jīng)度相差1°的兩點(diǎn)距離約為_(kāi)_______km（地球半徑R=6371km，π≈3.14，cos30°≈0.866）。答案：(2πRcos30°)/360≈(2×3.14×6371×0.866)/360≈96.4km冰川體積的微積分應(yīng)用某冰川近似為圓錐體，底面直徑10km，高2km。若冰川以每年0.1km3的速度融化，則體積減少10%所需時(shí)間為_(kāi)_______年（π≈3.14）。答案：原體積V=1/3πr2h≈1/3×3.14×52×2≈52.3km3，10%體積=5.23km3，時(shí)間=5.23/0.1≈52.3年河流泥沙的正態(tài)分布某河流含沙量服從N(20,42)kg/m3，檢測(cè)到含沙量超過(guò)28kg/m3的概率為_(kāi)_______（參考：P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544）。答案：μ=20，σ=4，28=μ+2σ，P(X>μ+2σ)=(1-0.9544)/2=0.0228板塊碰撞的能量計(jì)算兩板塊質(zhì)量均為5×1022kg，相向運(yùn)動(dòng)速度各為5cm/年，碰撞后靜止。則釋放的能量約為_(kāi)_______J（1年=3.15×10?秒，動(dòng)能E=1/2mv2）。答案：v=5cm/年=5×10?2m/(3.15×10?s)≈1.587×10??m/s，總動(dòng)能=2×1/2×5×1022×(1.587×10??)2≈6.3×10?J三、解答題（共6小題，共70分）地球自轉(zhuǎn)與晝夜更替（10分）（1）推導(dǎo)赤道上兩點(diǎn)（經(jīng)度λ?、λ?）的日出時(shí)間差Δt與經(jīng)度差Δλ的關(guān)系；（2）計(jì)算東經(jīng)120°與西經(jīng)60°的日出時(shí)間差（不考慮季節(jié)變化）。解答：（1）地球自轉(zhuǎn)周期T=24小時(shí)，角速度ω=2π/T。經(jīng)度差Δλ=|λ?-λ?|（弧度制），時(shí)間差Δt=Δλ/ω=Δλ·T/(2π)。若Δλ以角度表示，則Δt=Δλ°/15°/小時(shí)（因360°對(duì)應(yīng)24小時(shí)，15°/小時(shí)）。（2）Δλ=120°-(-60°)=180°，Δt=180°/15°=12小時(shí)。氣候變化的線性回歸（12分）某地區(qū)1950-2020年平均氣溫?cái)?shù)據(jù)如下表：|年份x|1950|1970|1990|2010|2020||-------|------|------|------|------|------||氣溫y(℃)|12.0|12.4|12.8|13.3|13.5|（1）建立線性回歸方程y=bx+a；（2）預(yù)測(cè)2050年該地區(qū)氣溫。解答：（1）令x'=x-2000，列表計(jì)算：|x'|-50|-30|-10|10|20|均值x'?=(-50-30-10+10+20)/5=-12|y|12.0|12.4|12.8|13.3|13.5|均值?=12.8|(x'-x'?)(y-?)|(-38)(-0.8)=30.4|(-18)(-0.4)=7.2|(2)(0)=0|(22)(0.5)=11|(32)(0.7)=22.4|總和=71|(x'-x'?)2|1444|324|4|484|1024|總和=3280b=71/3280≈0.0216，a=?-bx'?=12.8-0.0216×(-12)≈13.06，回歸方程y=0.0216(x-2000)+13.06（2）2050年x=2050，y≈0.0216×50+13.06≈14.14℃地震波的傳播方程（12分）地震縱波（P波）速度v?=6km/s，橫波（S波）速度v?=3.5km/s。某觀測(cè)站記錄到P波比S波早到10秒。（1）建立震中距d與時(shí)間差Δt的關(guān)系；（2）計(jì)算震中距d，并估算地震能量E（里氏震級(jí)M=lg(d/100)+3.3，M=0.67lgE-2.9）。解答：（1）Δt=d/v?-d/v?=d(1/v?-1/v?)，故d=Δt/(1/v?-1/v?)（2）d=10/(1/3.5-1/6)=10/((6-3.5)/(3.5×6))=10×21/2.5=84kmM=lg(84/100)+3.3≈lg0.84+3.3≈-0.076+3.3=3.224由3.224=0.67lgE-2.9，得lgE=(3.224+2.9)/0.67≈9.14，E≈10?.1?≈1.38×10?J洋流運(yùn)動(dòng)的微分方程（14分）某洋流速度場(chǎng)v(x,y)=(x2,2xy)，其中x,y以km為單位，v以km/h為單位。（1）判斷該速度場(chǎng)是否為無(wú)旋場(chǎng)（旋度rotv=?v_y/?x-?v_x/?y=0）；（2）若一漂浮物從(1,1)出發(fā)，求其運(yùn)動(dòng)軌跡方程。解答：（1）?v_y/?x=2y，?v_x/?y=0，rotv=2y-0=2y≠0，故為有旋場(chǎng)（2）dx/dt=v_x=x2，dy/dt=v_y=2xy兩式相除得dy/dx=(2xy)/x2=2y/x，分離變量dy/y=2dx/x，積分得lny=2lnx+C，即y=Cx2代入初始條件(1,1)：1=C×12，C=1，軌跡方程y=x2冰川消融的微分模型（12分）某冰川體積V(t)滿足dV/dt=-kV，初始體積V?=100km3，50年后體積V(50)=50km3。（1）求解V(t)的表達(dá)式；（2）預(yù)測(cè)冰川體積減少到10km3的年份（以初始年為t=0）。解答：（1）dV/dt=-kV為指數(shù)衰減模型，通解V(t)=V?e^(-kt)代入V(50)=50=100e^(-50k)，得e^(-50k)=0.5，k=ln2/50≈0.0139故V(t)=100e^(-0.0139t)（2）10=100e^(-0.0139t)→e^(-0.0139t)=0.1→t=ln10/0.0139≈230年地球資源的可持續(xù)利用（12分）某不可再生資源總量Q?=10?億噸，年開(kāi)采量P(t)=P?e??，若資源耗盡時(shí)間T滿足∫??P(t)dt=Q?。（1）當(dāng)a=0（恒定開(kāi)采）時(shí)，求T；（2）當(dāng)a=0.02（指數(shù)增長(zhǎng)開(kāi)采）時(shí)，證明T=(ln(aQ?/P?+1))/a，并計(jì)算若P?=50億噸時(shí)的T。解答：（1）a=0時(shí)P(t)=P?，∫??P?dt=P?T=Q?→T=Q?/P?=10?/P?（需P?值，若默認(rèn)P?=50，則T=200年）（2）∫??P?e??dt=P?/a(e??-1)=Q?→e??=1+aQ?/P?→aT=ln(1+aQ?/P?)→T=(ln(aQ?/P?+1))/a代入a=0.02，P?=50，Q?=10?：T=(ln(0.02×10?/50+1))/0.02=(ln(4+1))/0.02=ln5/0.02≈160.9年四、附加題（共20分，不計(jì)入總分）地球系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)述混沌理論中“蝴蝶效應(yīng)”在天氣預(yù)報(bào)中的體現(xiàn)，并結(jié)合洛倫茲方程組dx/dt=σ(y-x)，dy/dt=rx-y-xz，dz/dt=xy-bz（σ=10，r=28，b=8/3），說(shuō)明初始條件微小誤差如何導(dǎo)致長(zhǎng)期預(yù)測(cè)失效。參考答案：蝴蝶效應(yīng)指初始條件的