2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)多項選擇題專練（三）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$在區(qū)間$(2,3)$上單調(diào)遞減，則實數(shù)$a$的取值可能為（）A.$2$B.$\frac{5}{2}$C.$3$D.$\frac{7}{2}$解析：$f'(x)=3x^2-6ax+3$，由題意知$f'(x)\leq0$在$(2,3)$上恒成立，即$2a\geqx+\frac{1}{x}$在$(2,3)$上恒成立。令$g(x)=x+\frac{1}{x}$，則$g(x)$在$(2,3)$上單調(diào)遞增，$g(2)=\frac{5}{2}$，$g(3)=\frac{10}{3}$，故$2a\geq\frac{10}{3}\Rightarrowa\geq\frac{5}{3}$。結(jié)合選項，$a=2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2}$均滿足條件。答案：ABCD關(guān)于函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的性質(zhì)，下列說法正確的有（）A.最小正周期為$2\pi$B.最大值為$\sqrt{2}$C.在區(qū)間$(-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})$上單調(diào)遞增D.圖像關(guān)于點$(-\frac{\pi}{4},0)$中心對稱解析：$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，周期$T=2\pi$，最大值為$\sqrt{2}$，A、B正確；令$-\frac{\pi}{2}\leqx+\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}{2}$，得$-\frac{3\pi}{4}\leqx\leq\frac{\pi}{4}$，故單調(diào)遞增區(qū)間為$-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi$，C錯誤；$f(-\frac{\pi}{4})=0$，且$f(-\frac{\pi}{2}-x)=-\sqrt{2}\sinx=-f(x)$，D正確。答案：ABD二、立體幾何在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$是線段$B_1C$上的動點，則下列說法正確的有（）A.三棱錐$P-ABD$的體積為定值B.存在點$P$使得$AP\perp$平面$A_1BD$C.異面直線$AP$與$DD_1$所成角的取值范圍是$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$D.點$P$到平面$ACD_1$的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$解析：A：$B_1C\parallel$平面$ABD$，$P$到平面$ABD$的距離為定值，$V_{P-ABD}=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleABD}\timesh=\frac{4}{3}$，A正確；B：$AC_1\perp$平面$A_1BD$，而$P$在$B_1C$上，$AP$不可能與$AC_1$重合，B錯誤；C：$DD_1\parallelAA_1$，$\anglePAA_1$為異面直線$AP$與$DD_1$所成角，$\tan\anglePAA_1\in[1,+\infty)$，角的范圍為$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$，C正確；D：平面$ACD_1$與$B_1C$平行，距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，D正確。答案：ACD已知正四棱錐$P-ABCD$的側(cè)棱長為$2\sqrt{3}$，底面邊長為4，則下列結(jié)論正確的有（）A.棱錐的高為2B.異面直線$PA$與$BC$所成角為$60^\circ$C.棱錐的表面積為$16+16\sqrt{2}$D.外接球的表面積為$24\pi$解析：A：高$h=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(2\sqrt{2})^2}=2$，A正確；B：$PA$與$BC$所成角即$PA$與$AD$所成角，$\cos\theta=\frac{PA^2+AD^2-PD^2}{2\cdotPA\cdotAD}=\frac{1}{2}$，$\theta=60^\circ$，B正確；C：側(cè)面積$4\times\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=16\sqrt{2}$，表面積$16+16\sqrt{2}$，C正確；D：設(shè)外接球半徑$R$，則$(h-R)^2+(2\sqrt{2})^2=R^2$，解得$R=3$，表面積$36\pi$，D錯誤。答案：ABC三、解析幾何已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，左焦點為$F(-2,0)$，則下列說法正確的有（）A.雙曲線$C$的方程為$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$B.漸近線方程為$y=\pm\sqrt{2}x$C.過$F$的直線與$C$交于$A,B$兩點，若$|AB|=8$，則這樣的直線有3條D.點$P(2,1)$在雙曲線$C$的漸近線圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（含邊界）解析：A：$c=2$，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrowa=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$b^2=c^2-a^2=\frac{8}{3}$，A錯誤；B：漸近線$y=\pm\frac{a}x=\pm\sqrt{2}x$，B正確；C：通徑長$\frac{2b^2}{a}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\approx4.6<8$，實軸長$2a=\frac{4}{\sqrt{3}}\approx2.3$，故有3條直線（2條交兩支，1條交右支），C正確；D：漸近線方程為$y=\pm\sqrt{2}x$，點$P(2,1)$滿足$1\leq\sqrt{2}\times2$且$1\geq-\sqrt{2}\times2$，D正確。答案：BCD已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，過$F$的直線交拋物線于$A,B$兩點，$M$為線段$AB$的中點，則下列說法正確的有（）A.以$AB$為直徑的圓與準線相切B.若$|AB|=8$，則$M$的橫坐標為3C.存在直線使得$|AF|=2|BF|$D.$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-3$（$O$為坐標原點）解析：A：由拋物線定義，$M$到準線的距離$d=\frac{1}{2}(|AF|+|BF|)=\frac{1}{2}|AB|$，A正確；B：$|AB|=x_A+x_B+2=8\Rightarrowx_A+x_B=6$，$M$的橫坐標為3，B正確；C：設(shè)直線$AB:x=ty+1$，聯(lián)立得$y^2-4ty-4=0$，由$y_A=-2y_B$及韋達定理得$t=\pm\frac{\sqrt{2}}{4}$，C正確；D：$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_Ax_B+y_Ay_B=\frac{(y_Ay_B)^2}{16}+y_Ay_B=1-4=-3$，D正確。答案：ABCD四、概率與統(tǒng)計某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績的相關(guān)性，隨機抽取100名學(xué)生的成績進行分析，得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)成績物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計優(yōu)秀201030非優(yōu)秀254570總計4555100下列說法正確的有（）A.數(shù)學(xué)成績與物理成績無關(guān)B.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)C.物理優(yōu)秀的學(xué)生中數(shù)學(xué)優(yōu)秀的概率為$\frac{4}{9}$D.從全體學(xué)生中隨機抽取1人，若其數(shù)學(xué)優(yōu)秀，則物理優(yōu)秀的概率為$\frac{2}{3}$解析：$\chi^2=\frac{100\times(20\times45-10\times25)^2}{30\times70\times45\times55}\approx4.76>3.841$，故在0.05的顯著性水平下有關(guān)，但未達0.01（6.635），A、B錯誤；C：物理優(yōu)秀中數(shù)學(xué)優(yōu)秀概率為$\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$，C正確；D：數(shù)學(xué)優(yōu)秀中物理優(yōu)秀概率為$\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$，D正確。答案：CD已知隨機變量$X$服從正態(tài)分布$N(1,\sigma^2)$，$Y$服從二項分布$B(4,\frac{1}{2})$，則下列說法正確的有（）A.若$P(X>2)=0.2$，則$P(0<X<1)=0.3$B.$E(2X+Y)=4$，$D(2X+Y)=4\sigma^2+1$C.$P(Y=2)=\frac{3}{8}$D.若$\sigma=1$，則$P(X\geq1)=P(Y\geq1)$解析：A：$P(X<0)=P(X>2)=0.2$，$P(0<X<1)=\frac{1-2\times0.2}{2}=0.3$，A正確；B：$E(Y)=2$，$D(Y)=1$，$E(2X+Y)=2\times1+2=4$，$D(2X+Y)=4\sigma^2+1$，B正確；C：$P(Y=2)=\binom{4}{2}(\frac{1}{2})^4=\frac{3}{8}$，C正確；D：$P(X\geq1)=0.5$，$P(Y\geq1)=1-P(Y=0)=\frac{15}{16}$，D錯誤。答案：ABC五、數(shù)列與不等式已知等比數(shù)列${a_n}$的公比為$q$，前$n$項和為$S_n$，且$a_1=1$，$S_3=7$，則下列說法正確的有（）A.$q=2$或$q=-3$B.若$q>0$，則$a_n=2^{n-1}$C.若$q<0$，則$S_n=\frac{1-(-3)^n}{4}$D.數(shù)列${\log_2a_n}$是等差數(shù)列（$q>0$且$q\neq1$）解析：A：$S_3=1+q+q^2=7\Rightarrowq^2+q-6=0\Rightarrowq=2$或$q=-3$，A正確；B：$q=2$時，$a_n=2^{n-1}$，B正確；C：$q=-3$時，$S_n=\frac{1-(-3)^n}{1-(-3)}=\frac{1-(-3)^n}{4}$，C正確；D：$\log_2a_n=\log_2q^{n-1}=(n-1)\log_2q$，是等差數(shù)列，D正確。答案：ABCD關(guān)于$x$的不等式$ax^2+bx+c>0$的解集為$(-1,2)$，則下列說法正確的有（）A.$a<0$B.$b+c>0$C.$a+b+c<0$D.不等式$cx^2+bx+a<0$的解集為$(-\infty,-1)\cup(\frac{1}{2},+\infty)$解析：A：解集為$(-1,2)$，二次函數(shù)開口向下，$a<0$，A正確；B：由韋達定理，$-\frac{a}=1$，$\frac{c}{a}=-2$，則$b=-a$，$c=-2a$，$b+c=-3a>0$（$a<0$），B正確；C：$f(1)=a+b+c=0$，C錯誤；D：$cx^2+bx+a=-2ax^2-ax+a<0\Rightarrow2x^2+x-1>0\Rightarrowx<-1$或$x>\frac{1}{2}$，D正確。答案：ABD六、平面向量與三角函數(shù)在$\triangleABC$中，$AB=2$，$AC=3$，$\angleBAC=60^\circ$，$D$為$BC$中點，則下列說法正確的有（）A.$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{5}{2}$B.$|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{19}}{2}$C.若$\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AB}+(1-\lambda)\overrightarrow{AC}$，則$|\overrightarrow{AE}|$的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$D.$\sin\angleABC=\frac{3\sqrt{21}}{14}$解析：A：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2)=\frac{5}{2}$，A正確；B：$|\overrightarrow{AD}|^2=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}|^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+|\overrightarrow{AC}|^2)=\frac{19}{4}\Rightarrow|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{19}}{2}$，B正確；C：$E$在$BC$上，$|\overrightarrow{AE}|_{\text{min}}$為$A$到$BC$的距離$h=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}$，C錯誤；D：由正弦定理$\frac{AC}{\sin\angleABC}=\frac{AB}{\sin\angleACB}$，$\sin\angleABC=\frac{AC\sin60^\circ}{BC}=\frac{3\sqrt{21}}{14}$，D正確。答案：ABD已知函數(shù)$f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax(\omega>0)$，則下列說法正確的有（）A.若$f(x)$在$[0,\pi]$上有且僅有2個零點，則$\omega\in[\frac{5}{4},\frac{9}{4})$B.若$f(x)$的最小正周期為$\pi$，則$\omega=2$C.若$f(x)$在$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上單調(diào)遞增，則$\omega\in(0,1]$D.若$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=\frac{\pi}{8}$對稱，則$\omega=8k+\frac{1}{2}(k\in\mathbb{Z})$解析：A：$f(x)=\sqrt{2}\sin(\omegax+\frac{\pi}{4})$，令$\omegax+\frac{\pi}{4}=k\pi\Rightarrowx=\frac{k\pi-\frac{\pi}{4}}{\omega}$，在$[0,\pi]$上零點滿足$\frac{3\pi}{4\omega}\leq\pi<\frac{7\pi}{4\omega}\Rightarrow\omega\in[\frac{3}{4},\frac{7}{4})$，A錯誤；B：$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\Rightarrow\omega=2$，B正確；C：令$-\frac{\pi}{2}\leq\omegax+\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}{2}$，得$x\in[-\frac{3\pi}{4\omega},\frac{\pi}{4\omega}]$，則$\frac{\pi}{4\omega}\geq\frac{\pi}{4}\Rightarrow\omega\leq1$，C正確；D：$\omega\cdot\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow\omega=8k+2(k\in\mathbb{Z})$，D錯誤。答案：BC七、復(fù)數(shù)與邏輯用語已知復(fù)數(shù)$z=\frac{1+i}{1-i}$，則下列說法正確的有（）A.$|z|=1$B.$z^2=-1$C.$z$的共軛復(fù)數(shù)為$-i$D.$z$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限解析：$z=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=i$，$|z|=1$，$z^2=-1$，共軛復(fù)數(shù)為$-i$，對應(yīng)點$(0,1)$在虛軸上，A、B、C正確，D錯誤。答案：ABC下列命題中，真命題的有（）A.$\existsx\in\mathbb{R}$，$\sinx+\cosx=\sqrt{3}$B.$\forallx\in(0,+\infty)$，$e^x>x+1$C.$\existsx\in(0,1)$，$\log_{\frac{1}{2}}x>\log_{\frac{1}{3}}x$D.命題“$\existsx\in\mathbb{R}$，$x^2+x+1<0$”的否定是“$\forallx\in\mathbb{R