2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)二項分布及其應(yīng)用試題一、單選題（每題5分，共60分）下列哪個分布適用于描述在固定次數(shù)的獨立試驗中，成功次數(shù)的概率分布？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.二項分布D.指數(shù)分布答案：C解析：二項分布適用于描述在固定次數(shù)的獨立試驗中，成功次數(shù)的概率分布。其核心特征包括：試驗次數(shù)固定（n次），每次試驗只有兩種可能結(jié)果（成功或失敗），每次試驗的成功概率相同（p），且各次試驗相互獨立。二項分布的參數(shù)n和p分別代表什么？A.n代表試驗次數(shù)，p代表每次試驗的成功概率B.n代表每次試驗的成功概率，p代表試驗次數(shù)C.n代表失敗次數(shù)，p代表每次試驗的成功概率D.n代表每次試驗的成功概率，p代表失敗次數(shù)答案：A解析：在二項分布X~B(n,p)中，參數(shù)n表示獨立重復(fù)試驗的總次數(shù)，p表示單次試驗成功的概率，且0<p<1。已知隨機變量X~B(10,0.4)，則E(X)和D(X)的值分別為？A.4，2.4B.4，1.6C.6，2.4D.6，1.6答案：A解析：二項分布的期望E(X)=np=10×0.4=4，方差D(X)=np(1-p)=10×0.4×0.6=2.4。當(dāng)二項分布的n足夠大（n≥30）且p接近0.5時，該分布近似于什么分布？A.泊松分布B.指數(shù)分布C.正態(tài)分布D.均勻分布答案：C解析：根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n足夠大且p不接近0或1時，二項分布B(n,p)近似服從正態(tài)分布N(np,np(1-p))。某射手射擊命中率為0.8，獨立射擊5次，恰好命中3次的概率是？A.C(5,3)×0.83×0.22B.C(5,3)×0.82×0.23C.0.83×0.22D.5×0.83×0.22答案：A解析：根據(jù)二項分布概率公式P(X=k)=C(n,k)p?(1-p)???，代入n=5，k=3，p=0.8，得P(X=3)=C(5,3)×0.83×0.22。二項分布的概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)的最大值對應(yīng)的k值稱為（）A.期望B.方差C.眾數(shù)D.中位數(shù)答案：C解析：二項分布的眾數(shù)是使概率P(X=k)達到最大值的k值，當(dāng)np為整數(shù)時，眾數(shù)為np和np-1；當(dāng)np不為整數(shù)時，眾數(shù)為np的整數(shù)部分。已知隨機變量X~B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=4.2，則p的值為？A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9答案：A解析：由E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=4.2，聯(lián)立得6(1-p)=4.2，解得1-p=0.7，故p=0.3。下列試驗中，不滿足二項分布條件的是？A.拋擲硬幣10次，記錄正面出現(xiàn)次數(shù)B.從含有5件次品的100件產(chǎn)品中不放回抽樣，記錄次品數(shù)C.某命中率為0.6的射手獨立射擊8次，記錄命中次數(shù)D.某產(chǎn)品合格率為0.95，抽檢20件，記錄合格件數(shù)答案：B解析：二項分布要求每次試驗獨立且成功概率恒定，B選項為不放回抽樣，各次試驗不獨立，不滿足二項分布條件（此時為超幾何分布）。設(shè)X~B(6,p)，已知P(X=1)=P(X=5)，則p的值為？A.0.2B.0.4C.0.5D.0.8答案：C解析：由P(X=1)=C(6,1)p1(1-p)?，P(X=5)=C(6,5)p?(1-p)1，二者相等可得p?=(1-p)?，解得p=0.5。某批產(chǎn)品次品率為0.1，從中隨機抽取20件，次品數(shù)X的方差為？A.1.8B.2C.18D.20答案：A解析：X~B(20,0.1)，方差D(X)=20×0.1×0.9=1.8。二項分布B(n,p)的累積分布函數(shù)F(k)表示的是？A.P(X=k)B.P(X≤k)C.P(X≥k)D.P(X>k)答案：B解析：累積分布函數(shù)F(k)=P(X≤k)=Σ????C(n,i)p?(1-p)???。已知X~B(5,0.5)，則P(X≥1)的值為？A.31/32B.1/32C.15/16D.1/16答案：A解析：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(5,0)(0.5)?(0.5)?=1-1/32=31/32。二、多選題（每題6分，共30分）下列關(guān)于二項分布的說法正確的有？A.每次試驗只有兩個可能結(jié)果B.試驗之間相互獨立C.成功概率p必須為0.5D.期望一定大于方差答案：AB解析：二項分布的核心條件是：n次獨立試驗、每次試驗只有兩個結(jié)果、成功概率恒定，p可以是(0,1)內(nèi)任意值；當(dāng)p<0.5時，np(1-p)可能大于np，故D錯誤。已知X~B(n,p)，則下列結(jié)論正確的有？A.P(X=k)=P(X=n-k)當(dāng)且僅當(dāng)p=0.5B.E(2X+1)=2np+1C.D(3X-2)=9np(1-p)D.若Y=n-X，則Y~B(n,1-p)答案：ABCD解析：A選項當(dāng)p=0.5時分布對稱；B選項E(aX+b)=aE(X)+b；C選項D(aX+b)=a2D(X)；D選項Y表示失敗次數(shù)，服從B(n,1-p)。下列實際問題中，可用二項分布描述的有？A.某路口一小時內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)B.擲骰子10次，出現(xiàn)點數(shù)為6的次數(shù)C.從一批產(chǎn)品中有放回抽樣，次品出現(xiàn)的次數(shù)D.某同學(xué)投籃10次，投中的次數(shù)答案：BCD解析：A選項為泊松分布，B、C、D均滿足二項分布的"獨立重復(fù)試驗"條件。關(guān)于二項分布與超幾何分布的區(qū)別，下列說法正確的有？A.二項分布是有放回抽樣，超幾何分布是不放回抽樣B.二項分布的每次試驗概率恒定，超幾何分布概率不恒定C.當(dāng)總體容量N遠大于樣本容量n時，超幾何分布近似二項分布D.二者均為離散型概率分布答案：ABCD解析：二項分布與超幾何分布的核心區(qū)別在于抽樣方式（放回/不放回），當(dāng)N很大時，不放回抽樣近似等同于放回抽樣。設(shè)隨機變量X~B(10,0.6)，則下列概率大小關(guān)系正確的有？A.P(X=5)<P(X=6)B.P(X=4)<P(X=7)C.P(X=0)<P(X=10)D.P(X=3)>P(X=9)答案：ACD解析：計算得P(X=5)=0.2007，P(X=6)=0.2508；P(X=0)=0.0001，P(X=10)=0.00605；P(X=3)=0.0425，P(X=9)=0.0403，故ACD正確。三、填空題（每題5分，共30分）已知X~B(8,0.5)，則P(X=4)=________。答案：35/128解析：P(X=4)=C(8,4)(0.5)?=70/256=35/128≈0.2734。某籃球運動員罰球命中率為0.7，連續(xù)罰球10次，至少命中8次的概率為________（用組合數(shù)表示）。答案：C(10,8)0.7?0.32+C(10,9)0.7?0.31+C(10,10)0.71?0.3?解析："至少命中8次"包含命中8次、9次、10次三種情況，需累加相應(yīng)概率。設(shè)X~B(n,p)，E(X)=12，D(X)=4.8，則n=，p=。答案：20，0.6解析：由np=12，np(1-p)=4.8，解得1-p=0.4，故p=0.6，n=12/0.6=20。二項分布B(100,0.01)近似于泊松分布時，其參數(shù)λ=________。答案：1解析：當(dāng)n很大、p很小時，二項分布近似泊松分布，參數(shù)λ=np=100×0.01=1。拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次，出現(xiàn)"6點"次數(shù)X的分布列為________。答案：X~B(5,1/6)解析：每次試驗"成功"（出現(xiàn)6點）概率為1/6，獨立試驗5次，符合二項分布定義。已知X~B(5,p)，且P(X=1)=0.4096，則p=________。答案：0.2解析：P(X=1)=C(5,1)p1(1-p)?=5p(1-p)?=0.4096，解得p=0.2（驗證：5×0.2×0.8?=5×0.2×0.4096=0.4096）。四、解答題（共60分）（12分）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為0.9，現(xiàn)隨機抽查10件產(chǎn)品，求：（1）恰有2件不合格的概率；（2）至少有1件不合格的概率；（3）不合格產(chǎn)品數(shù)的期望與方差。解：設(shè)不合格產(chǎn)品數(shù)為X，由題意知X~B(10,0.1)（合格率0.9，故不合格率p=0.1）（1）恰有2件不合格的概率：P(X=2)=C(10,2)(0.1)2(0.9)?=45×0.01×0.43046721≈0.1937（2）至少有1件不合格的概率：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(10,0)(0.1)?(0.9)1?≈1-0.3487=0.6513（3）期望E(X)=np=10×0.1=1方差D(X)=np(1-p)=10×0.1×0.9=0.9（12分）某射手每次射擊命中率為0.7，連續(xù)獨立射擊直至命中為止，求：（1）射擊3次才首次命中的概率；（2）若該射手進行5次獨立射擊，求命中次數(shù)X的分布列及P(X≥3)。解：（1）射擊3次才首次命中，即前2次未命中，第3次命中：P=(0.3)2×0.7=0.063（2）5次射擊命中次數(shù)X~B(5,0.7)，分布列為：P(X=k)=C(5,k)(0.7)?(0.3)???，k=0,1,2,3,4,5計算得：P(X=0)=0.3?=0.00243P(X=1)=C(5,1)0.7×0.3?=0.02835P(X=2)=C(5,2)0.72×0.33=0.1323P(X=3)=C(5,3)0.73×0.32=0.3087P(X=4)=C(5,4)0.7?×0.31=0.36015P(X=5)=0.7?=0.16807則P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0.3087+0.36015+0.16807=0.83692（14分）某地區(qū)高考數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(100,152)，按規(guī)定成績在120分以上為優(yōu)秀?，F(xiàn)從該地區(qū)隨機抽取20名考生，記優(yōu)秀人數(shù)為X。（1）求X服從的分布及參數(shù)；（2）求P(X=2)；（3）求E(X)和D(X)。解：（1）首先求單次考試成績優(yōu)秀的概率p：Z=(120-100)/15≈1.333，查正態(tài)分布表得P(Z≤1.33)≈0.9082，故優(yōu)秀概率p=P(X>120)=1-0.9082=0.0918因此X~B(20,0.0918)（2）P(X=2)=C(20,2)(0.0918)2(1-0.0918)1?≈190×0.00843×0.171≈0.278（3）E(X)=np=20×0.0918≈1.836D(X)=np(1-p)=20×0.0918×0.9082≈1.668（12分）某保險公司銷售某款保險產(chǎn)品，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，理賠概率為0.02。現(xiàn)有1000人購買該保險，每人繳納保費100元，若發(fā)生理賠則賠付5000元。求：（1）保險公司獲利的期望；（2）保險公司虧損的概率（用泊松分布近似計算）。解：（1）設(shè)理賠人數(shù)為X，X~B(1000,0.02)保險公司收入：1000×100=100000元賠付支出：5000X元獲利Y=100000-5000XE(Y)=100000-5000E(X)=100000-5000×(1000×0.02)=100000-100000=0元（2）保險公司虧損即5000X>100000→X>20用泊松分布近似X~B(1000,0.02)，λ=np=20P(X>20)