2024年中考數(shù)學(xué)與圓有關(guān)的難點(diǎn)突破目錄TOC\o"1-3"\h\u難點(diǎn)01與圓有關(guān)的6種模型 2題型01四點(diǎn)共圓 2題型02圓冪定理 12題型03垂徑定理 23題型04定弦定角 25題型05定角定高模型（探照燈模型） 31題型06阿基米德折弦定理 34難點(diǎn)02與圓有關(guān)的壓軸題 36題型01利用圓的相關(guān)知識(shí)解決多結(jié)論問(wèn)題 36題型02圓與三角形綜合問(wèn)題 37題型03圓與四邊形綜合問(wèn)題 41題型04圓與函數(shù)綜合問(wèn)題 43題型05正多邊形與圓綜合 46題型06求不規(guī)則圖形面積 50題型07三角形內(nèi)切圓與外切圓綜合 53題型08阿氏圓模型 55題型09隱圓模型 58

難點(diǎn)01與圓有關(guān)的6種模型題型01四點(diǎn)共圓1.四點(diǎn)共圓的判定判定方法圖形證明過(guò)程若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓（圓的定義）.適用范圍：題目出現(xiàn)共端點(diǎn)，等線(xiàn)段時(shí)，可利用圓的定義構(gòu)造輔助圓.到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上（圓的定義）若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓.反證法若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓.反證法同側(cè)共邊三角形且公共邊所對(duì)角相等的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.反證法共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.適用范圍：雙直角三角形共斜邊模型.連接AO、OD根據(jù)直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得AO=BO=CO=DO∴點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓在⊙O中，若弦AB、CD相交于點(diǎn)P,且AP?DP=BP?CP，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）在△APB和△CPD中AP?DP=BP?CP∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2則A、B、C、D四點(diǎn)共圓在⊙O中，若AB、CD兩線(xiàn)段延長(zhǎng)后相交于點(diǎn)P,且AP?BP=DP?CP，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓（割線(xiàn)定理）在△APC和△DPB中AP?BP=CP?DP∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°∴∠1+∠2=180°則A、B、C、D四點(diǎn)共圓若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線(xiàn)的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(托勒密定理的逆定理).【擴(kuò)展】托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積.證明:過(guò)點(diǎn)C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP.∴ACBC=ADBP，∵∠1=∠2∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP則∠ACB=∠DCP而∠5=∠6∴△ACB∽△DCP.∴ACCD=ABDP，①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC2.四點(diǎn)共圓的性質(zhì)1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等（如下圖1，∠BAC=∠BDC）；2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（如下圖2，∠1=∠2）；3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角（如下圖3，∠1=∠3）.1．（2020·山東東營(yíng)·東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D放置的兩個(gè)正方形，大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b（a＞b），M在BC邊上，且BM＝b，連接AM，MF，MF交CG于點(diǎn)P，將△ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADN，將△MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至△NGF．給出以下五個(gè)結(jié)論：①∠AND＝∠MPC；②CP=b?b2a；③△ABM≌△NGF；④SA．2 B．3 C．4 D．52．如圖，Rt△ABC中，AB=AC=122，Rt△ADE中，AD=AE=62，直線(xiàn)BD與CE交于P，當(dāng)∠EAD繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，P到直線(xiàn)3．（2019·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E，EA平分∠BED．(1)CD的長(zhǎng)是；(2)當(dāng)點(diǎn)F是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是．4．（2021上·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接BC．過(guò)點(diǎn)A垂直于AB的直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的直線(xiàn)交于點(diǎn)D，連接BD，則sin∠BDC的值是．5．（2023下·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出

如圖1，點(diǎn)E為等腰△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC，∠BAC=α，將AE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到AD，求證：△ABE≌△ACD．嘗試應(yīng)用

如圖2，點(diǎn)D為等腰Rt△ABC外一點(diǎn)，AB=AC，BD⊥CD，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)分別交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)和CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，M，求證：S問(wèn)題拓展

如圖3，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，∠BDA=∠BEA=60°，AE，BD交于點(diǎn)H．若CE=a，AH=b，直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)度（用含a，b的式子）．6．如圖，以點(diǎn)P?1,0為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），AD=2，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△MCB(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線(xiàn)段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)動(dòng)直線(xiàn)l從與BM重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線(xiàn)l與CM交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG．請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．射線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD交于點(diǎn)E，∠AED＝60°，點(diǎn)F在直線(xiàn)CD上運(yùn)動(dòng)，連接AF，線(xiàn)段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，連接FG，EG，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．(1)如圖1，點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線(xiàn)AB的同側(cè)時(shí)，EG與GH的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，點(diǎn)F和點(diǎn)G在射線(xiàn)AB的兩側(cè)時(shí)，線(xiàn)段EF，AE，GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線(xiàn)AB的同側(cè)，AE=1，EF=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出HG的長(zhǎng)．8．（2021·福建·校聯(lián)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，垂足為E，CF⊥AB于點(diǎn)F，直線(xiàn)CF與直線(xiàn)BD于點(diǎn)G．(1)若點(diǎn)G在⊙O內(nèi)，如圖1，求證：G和D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)；(2)連接AG，若AG=BC，且AG與⊙O相切，如圖2，求∠ABC的度數(shù)．9．（2021上·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，點(diǎn)D在邊AB上，射線(xiàn)CE交射線(xiàn)BA于點(diǎn)F．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上時(shí)，聯(lián)結(jié)AE．①求證：AE∥BC；②若EF=12CF(2)設(shè)直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CD交于點(diǎn)P，若△PCE為等腰三角形，求BF的長(zhǎng)．10．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，則三垂足共線(xiàn)（此線(xiàn)常稱(chēng)為西姆松線(xiàn)）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖(1)，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線(xiàn)，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上．如下是他們的證明過(guò)程（不完整）：如圖(1)，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE，QF，則EQ=FQ=1∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°．（依據(jù)2）又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP．同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．(2)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，BD=CF，請(qǐng)你利用圖(2)證明該結(jié)論的正確性．11．在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過(guò)探究得出：在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．點(diǎn)D是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到線(xiàn)段AE，連接(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；(2)如圖2，當(dāng)AD=CD時(shí)，⊙O是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；(3)已知α=120°，BC=6，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，此時(shí)⊙P是四邊形AEBD的外接圓，直接寫(xiě)出圓心P與點(diǎn)12．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實(shí)踐“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問(wèn)題：如圖1，在線(xiàn)段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE則∠AEC+∠D=180°（依據(jù)1）∵∠B=∠D∴∠AEC+∠B=180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(1)反思?xì)w納：上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)圖3，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，則∠4的度數(shù)為_(kāi)_________．(3)拓展探究：如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB=22，AD?AF13．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）請(qǐng)閱讀以下材料，完成相應(yīng)任務(wù)．我們知道，過(guò)任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，那么過(guò)任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？李雷經(jīng)過(guò)實(shí)踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線(xiàn)段同側(cè)兩點(diǎn)（與線(xiàn)段在同一平面內(nèi)）分別與線(xiàn)段兩端點(diǎn)的連線(xiàn)所組成的夾角相等，那么這兩點(diǎn)和線(xiàn)段兩端點(diǎn)四點(diǎn)共圓．下面是李雷證明上述命題的過(guò)程（不完整）．已知：如圖1，點(diǎn)C，D是線(xiàn)段AB同側(cè)兩點(diǎn)，且∠ACB=∠ADB．求證：點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓．證明：作ΔABC的外接圓⊙O，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外或在⊙O如圖2，若點(diǎn)D在⊙O外．設(shè)AD與⊙O交于點(diǎn)E，連接BE，則∠ACB=∠AEB（依據(jù)一），又∵∠AEB=∠ADB+∠DBE（依據(jù)二），∴∠ACB=∠ADB+∠DBE．∴∠ACB>∠ADB．這與已知條件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故點(diǎn)D在⊙O外不成立；如圖3，若點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，……（請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充完整省略的部分證明過(guò)程）綜上所述，作△ABC的外接圓⊙O，點(diǎn)D在⊙O上，即點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓．(1)填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補(bǔ)充完整；依據(jù)一：；依據(jù)二：．(2)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABD=∠ACD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)E，E為AC中點(diǎn)，若BD=6，BE=4，則AC=．題型02圓冪定理【模型介紹】相交弦定理、切割線(xiàn)定理和割線(xiàn)定理統(tǒng)稱(chēng)為圓冪定理.1.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等.已知圖形結(jié)論證明過(guò)程【基礎(chǔ)】在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)PAP?DP=BP?CP在△APB和△CPD中∠1=∠2（同弧所對(duì)圓周角相等）∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴APCP=BPDP則AP【進(jìn)階】在⊙O中，OP所在直線(xiàn)與⊙O交于M、N兩點(diǎn)，r為⊙O的半徑BP?CP=MP?NP=(r-OP)(r+OP)=同上2.割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的距離的積相等.已知圖形結(jié)論證明過(guò)程【基礎(chǔ)】在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在圓外AP?BP=CP?DP連接AC、BD通過(guò)已知條件證明△APC∽△DPB∴APDP=CPBP則AP（請(qǐng)嘗試連接AD，BC自行證明）【進(jìn)階】若從圓外一點(diǎn)P引圓的兩條割線(xiàn)PAB和PMN，且割線(xiàn)PMN經(jīng)過(guò)圓心，r為⊙O的半徑AP?BP=MP?NP=(OP-r)(OP+r)=OP2同上3.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù).已知圖形結(jié)論證明過(guò)程線(xiàn)段AB切⊙O于點(diǎn)B，線(xiàn)段BC、CD為⊙O的弦∠1=∠2=12∠連接OB、OD，則∠4=∠5∵線(xiàn)段AB切⊙O于點(diǎn)B∴∠1+∠4=90°∵∠3+∠4+∠5=180°∴∠3+2∠4=180°又∵∠3=2∠2∴∠2+∠4=90°∴∠1=∠2則∠1=∠2=12∠4.切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).已知圖形結(jié)論證明過(guò)程如圖，線(xiàn)段ADC是⊙O的一條割線(xiàn)，AB是⊙O的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為點(diǎn)BAB2=AD?∵∠1=∠2（弦切角定理模型），∠A=∠A∴△ABD∽△ACB∴ABAC=ADAB則AB1）切割線(xiàn)定理14．（2023上·山西呂梁·九年級(jí)?？计谀╅喿x與思考：閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．米勒定理米勒（1436?1476）是德國(guó)的數(shù)學(xué)家，是歐洲最有影響的數(shù)學(xué)家之一，米勒發(fā)表的《三角全書(shū)》，是使得三角學(xué)在歐洲取得獨(dú)立地位的第一部系統(tǒng)性著作．下面是米勒定理（又稱(chēng)切割線(xiàn)定理）的證明過(guò)程已知：如圖1，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PB與⊙O相交于點(diǎn)B，C．求證：PA證明：如圖2，連接AC，∵PA為⊙O的切線(xiàn)，∴OA⊥PA，∴∠1+∠2=90°．∵OA=OC，∴∠2=∠3．∵∠O+∠2+∠3=180°，∴∠O+2∠2=180°．∵AC=∴∠O=2∠B，∴2∠B+2∠2=180°，∴∠B+∠2=90°，∴∠1=∠B，……任務(wù)：(1)請(qǐng)完成剩余的證明過(guò)程(2)應(yīng)用：如圖3，PA是⊙O的切線(xiàn)，PC經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，且PB=OB=2，割線(xiàn)PDE交⊙O于點(diǎn)D，E，PE=5，求PD的長(zhǎng)．15．弗朗索瓦·韋達(dá)是十六世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，最早提出“切割線(xiàn)定理”（圓冪定理之一），指的是從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)，下面緊跟著圓的切線(xiàn)作圖的思路嘗試證明與運(yùn)用．(1)作圖（保留作圖痕跡）：已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，①作線(xiàn)段OP的中垂線(xiàn)MN交OP于點(diǎn)Q；②以Q為圓心，PQ為半徑作圓，交圓O于點(diǎn)E、F；③連接PE和PF；試說(shuō)明PE是圓O切線(xiàn)的理由．(2)計(jì)算：若圓O半徑OB=4，PB=14，嘗試證明“切割線(xiàn)定理”并計(jì)算出PE的長(zhǎng)度．16．（2022·河南駐馬店·校聯(lián)考三模）復(fù)習(xí)鞏固切線(xiàn)：直線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線(xiàn)和圓相切，我們把這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).如圖1，直線(xiàn)l1為⊙O的切線(xiàn)割線(xiàn)：直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線(xiàn)和圓相交，我們把這條直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn).如圖1，直線(xiàn)l2為⊙O的割線(xiàn)切線(xiàn)長(zhǎng)：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng).閱讀材料《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所普的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書(shū)其中第三卷命題36一2圓冪定理（切割線(xiàn)定理）內(nèi)容如下：切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).為了說(shuō)明材料中定理的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫(xiě)了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出證明過(guò)程已知：如圖2，A是⊙O外一點(diǎn)，．求證：[提示]輔助線(xiàn)可先考慮作⊙O的直徑DE．17．（2021·河南新鄉(xiāng)·河南師大附中?？既＃﹫A冪定理是平面幾何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割線(xiàn)定理、割線(xiàn)定理以及它們推論，其中切割線(xiàn)定理的內(nèi)容是：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．喜歡思考的天天在了解這個(gè)定理之后嘗試給出證明，下面是他的部分證明過(guò)程：已知；如圖①，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，切線(xiàn)PA與圓相切于點(diǎn)A，割線(xiàn)PBC與圓相交于點(diǎn)B、C．求證：P證明：如圖③，連接AB、AC、BO、AO，∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴PA⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°，……閱讀以上材料，完成下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)幫助天天補(bǔ)充完成以上證明過(guò)程；(2)如圖②，割線(xiàn)PDE與圓交于點(diǎn)D、E，且PB=BC=4，PE=7，求DE的長(zhǎng)．18．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)與直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P，連接PD．(1)求證：PD是⊙O的切線(xiàn)；(2)求證：PD2)相交弦定理19．（2023上·浙江·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，若AE=2，BE=8，CE=2DE，則O到CD的距離為．20．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），BD的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．(1)求證△CED∽△BAD；(2)當(dāng)DC=2AD時(shí)，求CE的長(zhǎng)．21．相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等．(1)為了說(shuō)明相交弦定理正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出證明過(guò)程．已知：如圖①，弦AB，CD交于點(diǎn)P，求證：______________．(2)如圖②，已知AB是⊙O的直徑，AB與弦CD交于點(diǎn)P，且AB⊥CD于點(diǎn)P，過(guò)D作⊙O的切線(xiàn)，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，D為切點(diǎn)，若AP=2，⊙O的半徑為5，求AE的長(zhǎng)．22．（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書(shū)，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等），下面是書(shū)上的證明過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段的積相等．已知：如圖1，⊙O的兩弦AB，CD相交于點(diǎn)P．求證：AP?BP=CP?DP．證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∠D．∴△APC∽△DPB，（根據(jù)）∴APDP∴AP?BP=CP?DP，∴兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段的積相等．任務(wù)：(1)請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整．根據(jù)：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是⊙O的弦，P是AB上一點(diǎn)，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm23．（2023·山西呂梁·?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．證明過(guò)程如下：如圖1：已知：點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PF是切線(xiàn)，F(xiàn)是切點(diǎn)，PBA是割線(xiàn)，點(diǎn)A，B是它與⊙O的交點(diǎn)，求證：P證明：連接FO并延長(zhǎng)交⊙O于C，連接AF，∵PF是⊙O的切線(xiàn)，∴∠PFC=90°（依據(jù)________________________________)∵CF是⊙O的直徑，∴∠CBF=90°（依據(jù)_______________________________)∴∠C+∠CFB=90°

∴∠C=∠PFB又∵∠C=∠A（依據(jù)_____________________________________)∴∠A=∠PFB......任務(wù)：(1)完成材料證明部分中的“依據(jù)”，填入空格．(2)把證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)定理應(yīng)用：已知PT為⊙O的切線(xiàn)，T是切點(diǎn)，PBA是⊙O的割線(xiàn)，交OC于D，CT為⊙O的直徑，OC=BD=4cm，AD=3cm，求3)割線(xiàn)定理24．（2021上·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，割線(xiàn)PAB、PCD分別交⊙O于AB和CD，若PC=2，CD=16，PA:AB=1:2，則AB=．25．（2020下·四川成都·九年級(jí)成都七中校考階段練習(xí)）如圖，PAB為⊙O的割線(xiàn)，且PA=AB=3，PO交⊙O于點(diǎn)C，若PC=2，則⊙O的半徑的長(zhǎng)為．26．如圖：PAB、PCD為⊙O的兩條割線(xiàn)，若PA·PB=30，PC=3，則CD的長(zhǎng)為（）A．10 B．7 C．510 27．（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)點(diǎn)P引圓的兩條割線(xiàn)PAB和PCD，分別交圓于點(diǎn)A,B和C,D，連結(jié)AC,BD，則在下列各比例式中，①PAPB=PCPD；②（把你認(rèn)為成立的比例式的序號(hào)都填上）．28．（2023·河南周口·校考三模）閱讀與思考學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們進(jìn)行了如下探究活動(dòng)，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．割線(xiàn)定理如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AC，AE分別交⊙O于點(diǎn)B，C，D，E，則有

證明：如圖，連接BE，∵∠BCD=∠BED（依據(jù)：①________________），∴△ACD～△AEB．∴ADAB∴AB?AC=AD?AE．任務(wù)：(1)上述閱讀材料中①處應(yīng)填的內(nèi)容是________，②處應(yīng)填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學(xué)們繼續(xù)思考，當(dāng)直線(xiàn)AE與圓相切時(shí)，是否仍有類(lèi)似的結(jié)論．請(qǐng)將下列已知、求證補(bǔ)充完整，并給出證明．已知：如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)B，C，__________．求證：AE29．（2021·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）我們知道，直線(xiàn)與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當(dāng)直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)（即直線(xiàn)與圓相交）時(shí)，這條直線(xiàn)就叫做圓的割線(xiàn)．割線(xiàn)也有一些相關(guān)的定理．比如，割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請(qǐng)補(bǔ)充完整．已知：如圖①，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條割線(xiàn)，一條交⊙O于A、B點(diǎn)，另一條交⊙O于C、D點(diǎn)．求證：PA?PB=PC?PD．證明一：連接AD、BC，∵∠A和∠C為BD所對(duì)的圓周角，∴______．又∵∠P=∠P，∴______，∴______．即PA?PB=PC?PD．研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD，即可得到學(xué)習(xí)過(guò)的圓內(nèi)接四邊形ABDC．那么或許割線(xiàn)定理也可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來(lái)證明．請(qǐng)根據(jù)提示，獨(dú)立完成證明二．證明二：連接AC、BD，30．圓冪定理是平面幾何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割線(xiàn)定理、割線(xiàn)定理以及它們的推論，其中切割線(xiàn)定理的內(nèi)容是：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．你能給出證明嗎？下面是證明的開(kāi)頭：已知：如圖①，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，切線(xiàn)PA與圓相切于A，割線(xiàn)PBC與圓相交于點(diǎn)B、C．求證：PA2＝PB?PC證明：如圖②，連接AB、AC、B0、AO，因?yàn)镻A切⊙0于點(diǎn)A，∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°．閱讀以上材料，完成下列問(wèn)題：(1)補(bǔ)充完成上面的證明過(guò)程；(2)如圖③，割線(xiàn)PDE與⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的長(zhǎng)．題型03垂徑定理如圖，可得①AB過(guò)圓心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線(xiàn)滿(mǎn)足：(1)過(guò)圓心(2)垂直于弦(3)平分弦（被平分的弦不是直徑）(4)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧(5)平分弦所對(duì)的劣弧，若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱(chēng)“知二得三”，解題過(guò)程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.常見(jiàn)輔助線(xiàn)做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線(xiàn)，連半徑，造Rt2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.31．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC 32．如圖，CD是⊙O是直徑，AB是弦且不是直徑，CD⊥AB，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A．AE=BE B．OE=DE C．AO=CO D．AD33．如圖，⊙O中，半徑OC＝2，弦AB垂直平分OC，則AB的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．23 D．4334．如圖，在⊙O中，OD⊥AB于點(diǎn)D，AD的長(zhǎng)為3cm，則弦AB的長(zhǎng)為（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm35．（2019·新疆烏魯木齊·校聯(lián)考一模）如圖，⊙O中，半徑OC⊥弦AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，則半徑OB等于（）A．2 B．2 C．22 D．336．（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的半徑為4．將⊙O的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O．則這條劣弧的弧長(zhǎng)為．題型04定弦定角【模型介紹】因?yàn)橥瑘A或等圓中等弦所對(duì)的圓周角相等，所以當(dāng)弦的長(zhǎng)度保持不變和弦所對(duì)應(yīng)的角度大小固定時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓或者圓弧.【模型解析】?jī)啥?A，B)一動(dòng)(P)，AB長(zhǎng)固定，∠APB固定如圖，已知AB為定線(xiàn)段，P為動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=α，則A、B、P三點(diǎn)必共圓，或稱(chēng)為點(diǎn)P一定在以AB為弦的某一個(gè)圓上，且這個(gè)圓是固定的，圓心在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為關(guān)于線(xiàn)段AB對(duì)稱(chēng)的圓弧上（①∠APB<90°，在線(xiàn)段AB對(duì)稱(chēng)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)②∠APB>90°，在線(xiàn)段AB對(duì)稱(chēng)的劣弧上運(yùn)動(dòng)），但不包括A、B兩點(diǎn).定弦定角問(wèn)題常應(yīng)用于求線(xiàn)段的“最值”，問(wèn)題的關(guān)鍵就在于找到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中必存在的定線(xiàn)段，及這條線(xiàn)段關(guān)于某一動(dòng)點(diǎn)的張角為定值，由張角的變化，去尋找這三點(diǎn)所構(gòu)成的定圓.【解題技巧】1）找到不變的張角(∠APB)所對(duì)的-定弦(AB);2）定角定弦定圓心和半徑;3）作出外接圓;4）計(jì)算半徑并分析.5）當(dāng)△ABP是以AB為底的等腰三角形時(shí),△ABP的面積和周長(zhǎng)最大.[口訣]見(jiàn)定長(zhǎng)→找所對(duì)定角→知定圓→找圓心→現(xiàn)“圓”形(一找、二定、三畫(huà)、四析).【證明】在△ABP中,∠P=α,AB=2x.1）求△ABP中AB邊所對(duì)的高的最值.2）求△ABP面積的最值.【提示】這個(gè)模型就是我們所謂的定角定弦模型,也就是在一個(gè)三角形中一個(gè)角和它的對(duì)邊保持不變,在AB邊固定的同時(shí),雖然∠P的大小不變,但頂點(diǎn)P的位置可以發(fā)生變化P,由于同弧所對(duì)的圓周角不變,故頂點(diǎn)P可以在△ABP的外接圓的AB這段弦所對(duì)的圓弧上運(yùn)動(dòng)（不包括A,B點(diǎn)）.當(dāng)高線(xiàn)PC過(guò)圓心時(shí)有最大的高,即h≤P1D=OP1+OD.(此時(shí)P,O,D三點(diǎn)共線(xiàn))【證明過(guò)程】作△ABP的外接圓圓O，連接AO，BO，PO,過(guò)點(diǎn)O作AB⊥OD于點(diǎn)D∵∠APB=α∴∠AOB=2α而△AOD≌△BOD∴∠AOD=∠BOD=αAD=BD=x在Rt△AOD中，AO=ADsinα=xsinαPC≤P1D=OP1+OD=xsinα+xcosαsinα=xsinS△ABP=12?PC?AB≤12?P1D?AB=12?xsinα(1+cosα37．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=θ0<θ<60°，BC=6，點(diǎn)P為△ABC的重心，當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時(shí)，線(xiàn)段POA．1tanθ?C．tanθ?2sinθ 38．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，BC=8，AC=42(1)當(dāng)AB=AC時(shí)，∠CAD=°；(2)當(dāng)△ACD面積最大時(shí)，則AD=．39．如圖，已知直線(xiàn)y=34x?3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C0,1為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，當(dāng)ΔPAB的面積最大時(shí)，點(diǎn)40．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為2cm，弦AB=23cm，C是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧ADB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積之和的最小值是cm41．（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）【學(xué)習(xí)心得】小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是ΔABC外一點(diǎn)，且AD=AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作輔助圓⊙A，則C，D兩點(diǎn)必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，∠BDC是⊙A的圓周角，則∠BDC=45°(1)【初步運(yùn)用】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=24°，求∠BAC的度數(shù)；(2)【方法遷移】如圖，已知線(xiàn)段AB和直線(xiàn)l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點(diǎn)P，使得∠APB=30°（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(3)【問(wèn)題拓展】①如圖，已知矩形ABCD，AB=2，BC=m，M為CD上的點(diǎn)．若滿(mǎn)足∠AMB=45°的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則m的取值范圍為_(kāi)_____．②如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，且BD=6，CD=2，求AD的長(zhǎng)．42．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題情境】(1)愛(ài)探究的小明在做數(shù)學(xué)題時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，AB是⊙O的直徑，P是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，若AB=6，則△PAB面積的最大值為．請(qǐng)幫小明直接填空；【模型歸納】(2)小明在完成填空后，對(duì)上面問(wèn)題中模型進(jìn)行如下歸納：如圖2，AB是⊙O的弦，P是⊙O優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PC⊥AB于C點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)PC經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，PC最大．請(qǐng)幫助小明完成這個(gè)結(jié)論的證明；【模型應(yīng)用】(3)如圖3是四邊形休閑區(qū)域設(shè)計(jì)示意圖ABCD，已知∠BAD=∠BCD=90°，CB=CD，休閑區(qū)域內(nèi)原有一條筆直小路AC的長(zhǎng)為80米，現(xiàn)為了市民在該區(qū)域內(nèi)散步方便，準(zhǔn)備再修一條長(zhǎng)為30米的小路MN，滿(mǎn)足點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在小路AC上．按設(shè)計(jì)要求需要給圖中陰影區(qū)域（即△ACD與四邊形MBCN，小路寬度忽略不計(jì)）種植花卉，為了節(jié)約成本且滿(mǎn)足設(shè)計(jì)需求，陰影部分的面積要盡可能的小．請(qǐng)問(wèn)，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的方案？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出陰影部分面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．43．（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）【學(xué)習(xí)新知】(1)如圖1，已知半徑為3的⊙O外，有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足PO=4，則點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)Q的連線(xiàn)PQ最小值為_(kāi)_____，PQ最大值為_(kāi)_____．(2)如圖2，在△ABC中，AB=4，∠C=30°，求△ABC的最大面積．【應(yīng)用新知】(3)如圖3，在等邊△ABC中，AB=BC=AC=4，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D、F分別在BC、AC上，且BD=3，連接DE、DF，∠EDF=60°，請(qǐng)問(wèn)在△ABC內(nèi)部是否存在一個(gè)P點(diǎn)，使得∠EPF=120°，且滿(mǎn)足到點(diǎn)A的距離最小，若存在，求出AP的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．44．（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）問(wèn)題提出(1)如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=6，∠BAC=60°，則⊙O的半徑為．問(wèn)題探究(2)如圖2，已知矩形ABCD，AB=43，BC=6，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC=60°，連接AP，求AP解決問(wèn)題(3)如圖3，小樂(lè)家有一個(gè)四邊形菜地ABCD，他打算種植油菜花，為了提高產(chǎn)量，他計(jì)劃改造四邊形菜地，在改造的過(guò)程中始終要滿(mǎn)足BC=8米，∠BAD=135°，AD⊥DC，且AD=DC，求改造后四邊形菜地面積的最大值．題型05定角定高模型（探照燈模型）【模型介紹】如圖，直線(xiàn)BC外一點(diǎn)A，A到直線(xiàn)BC距離為定值(定高)，∠BAC為定角，則BC有最小值，即△ABC的面積有最小值.因?yàn)槠湫蜗裉秸諢?，所以也叫探照燈模?在△ABC中，∠BAC=α(定角)，AD是BC邊上的高，且AD=h(定高)，則當(dāng)△ABC是等腰三角形(AB=AC)時(shí)，BC的長(zhǎng)最小，△ABC的面積最小，△ABC的周長(zhǎng)最小.證明思路：如圖，△ABC作BC的外接圓⊙0，連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E,設(shè)⊙0的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=α∴BC=2BE=2OBsinα=2r?sinα∵OA+OE≥AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),等號(hào)成立)，∴r+r?cosα≥h，即r≥當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長(zhǎng)最小，所以BC=2BM=2r?sinα【解題思路】1.作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為r，用r表示圓心到底邊距離及底邊長(zhǎng);2.根據(jù)“半徑+弦心距≥定高”，求r的取值范圍;3.計(jì)算底邊范圍從而求得面積最小值.45．（2020·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，則BD的最大值為．46．（2023·陜西咸陽(yáng)·校考二模）【問(wèn)題提出】(1)如圖①，AB為⊙O的一條弦，圓心O到弦AB的距離為4，若⊙O的半徑為7，則⊙O上的點(diǎn)到弦AB的距離最大值為_(kāi)______；【問(wèn)題探究】(2)如圖②，在△ABC中，∠BAC=60°,AD為BC邊上的高，若AD=6，求△ABC面積的最小值；【問(wèn)題解決】(3)“雙減”是黨中央、國(guó)務(wù)院作出的重大決策部署，實(shí)施一年多來(lái)，工作進(jìn)展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進(jìn)一步落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實(shí)踐基地，如圖③，△ABC為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中∠ABC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，學(xué)校計(jì)劃將四邊形ABPD部分修建為農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地，并沿BD鋪設(shè)一條人行走道，△CDP部分修建為興趣活動(dòng)基地．根據(jù)規(guī)劃要求，BD=802米，∠CDP=45°．且農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地部分（四邊形ABPD）的面積應(yīng)盡可能小，問(wèn)四邊形ABPD47．（2020·陜西·統(tǒng)考二模）問(wèn)題探究(1)如圖1．在△ABC中，BC=8，D為BC上一點(diǎn)，AD=6．則△ABC面積的最大值是_______．(2)如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°，AG為BC邊上的高，⊙O為△ABC的外接圓，若AG=3，試判斷BC是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：如圖3，王老先生有一塊矩形地ABCD，AB=62+12，BC=62+6，現(xiàn)在他想利用這塊地建一個(gè)四邊形魚(yú)塘AMFN，且滿(mǎn)足點(diǎn)E在CD上，AD=DE，點(diǎn)F在BC上，且CF=6，點(diǎn)M在AE上，點(diǎn)N在AB上，48．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作等邊△ADF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上，DF交AC于點(diǎn)M，且AF平分∠BAC，若AF=6+2(2)如圖2，連接FB并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得FB=BE，連接CE、DE、CD，證明：DE=3(3)如圖3，旋轉(zhuǎn)△ADF使得DF落在∠ABC的角平分線(xiàn)上，M、N分別是射線(xiàn)BA、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿(mǎn)足∠MDN=60°，連接MN，若BC=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出△MDN49．若一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)圖形的不同的邊上，則稱(chēng)此三角形為該圖形的內(nèi)接三角形．(1)在圖①中畫(huà)出△ABC的一個(gè)內(nèi)接直角三角形；(2)如圖②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD為BC邊上的高，探究以D為一個(gè)頂點(diǎn)作△ABC的內(nèi)接三角形，其周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，△ABC為等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，試探究：△ABC的內(nèi)接等腰直角三角形的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．50．（2022·陜西西安·統(tǒng)考二模）【問(wèn)題研究】(1)若等邊△ABC邊長(zhǎng)為4，則△ABC的面積為_(kāi)_____；(2)如圖1，在△ABC中，∠ACB=60°，CD為AB邊上的高，若CD=4，試判斷△ABC的面積是否存在最小值．若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【問(wèn)題解決】(3)如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD=42，∠B=45°，∠C=60°，∠D=135°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=∠C，求四邊形AECF題型06阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理：一個(gè)圓中一條折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，AB>BC，點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D,則AD=DB+BC，AB-BC=2DB。常見(jiàn)證明方法：1）截長(zhǎng)法：如圖，在AD上取一點(diǎn)E，使AE=BC2）補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=BC3）垂線(xiàn)法：過(guò)點(diǎn)M作BC垂線(xiàn)交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E4）作輔助圓法：連接AM、CM，以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M,延長(zhǎng)AB交⊙M于點(diǎn)E，連接CE

難點(diǎn)02與圓有關(guān)的壓軸題題型01利用圓的相關(guān)知識(shí)解決多結(jié)論問(wèn)題一、單選題1．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O的直徑AB=10，DE是弦，AB⊥DE，CEB=EBD，sin∠BAC=35，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，DB的延長(zhǎng)線(xiàn)與OE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G①∠DBF=3∠DAB； ②CG是⊙O的切線(xiàn)；③B，E兩點(diǎn)間的距離是10； ④DF=11A．1 B．2 C．3 D．42．（2020·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE、DE，分別交BD、AC于點(diǎn)P、Q，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，下列結(jié)論：①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE＝102AO④若四邊形OPEQ的面積為4，則該正方形ABCD的面積為36，⑤CE?EF＝EQ?DE．其中正確的結(jié)論有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)3．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OD上，連接AP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AP交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB?PD=2BF；④S△AEF為定值；⑤S4．（2021·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=3，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與⊙A交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個(gè)結(jié)論．(1)H是FK的中點(diǎn)；(2)△HGD≌△HEC；(3)S△AHG：S△DHC=9∶16；題型02圓與三角形綜合問(wèn)題5．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，則銳角∠APB的大小為_(kāi)_________度． 【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)PA、PB、PC．求證：PB=PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，通過(guò)證明△PBC≌△EBA，可推得下面是小明的部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP=180°．∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE．∵△ABC是等邊三角形．∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【應(yīng)用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)P在⊙O上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在AC的兩側(cè)，連結(jié)PA、PB、PC．若PB=226．我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線(xiàn)上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線(xiàn)上點(diǎn)的位置刻畫(huà)圓上點(diǎn)的位置，如圖，AB是⊙O的直徑，直線(xiàn)l是⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)．P，Q是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合，且在直徑AB的同側(cè)），分別作射線(xiàn)AP，AQ交直線(xiàn)l于點(diǎn)C，點(diǎn)D．(1)如圖1，當(dāng)AB=6，BP?的長(zhǎng)為π時(shí)，求BC(2)如圖2，當(dāng)AQAB=34，(3)如圖3，當(dāng)sin∠BAQ=64，BC=CD時(shí)，連接BP，PQ7．如圖，以AB為直徑的⊙O是△ABC的外接圓，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D．使得∠BAC=∠BDA，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)A在線(xiàn)段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．(1)求證：ED是⊙O的切線(xiàn)；(2)若AC=6,BD=5,AC>CD(3)若DE?AM=AC?AD，求證：BM⊥CE．8．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接OE、DE(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)．(2)若sinC=45(3)求證：2DE9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AE為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，與OC延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OB，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．(1)求證：AB=BD；(2)點(diǎn)F為⊙O上一點(diǎn)，連接EF，BF，BF與AE交于點(diǎn)G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG=37，求⊙O10．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接BD，DE(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；(2)若DE=2，tan∠BAC=12(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最大值．11．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)玻璃球體近似半圓O,AB為直徑，半圓O上點(diǎn)C處有個(gè)吊燈EF,EF//AB,CO⊥AB,EF的中點(diǎn)為D,OA=4.(1)如圖①，CM為一條拉線(xiàn)，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的長(zhǎng)度．(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓O相切，H為切點(diǎn)，M為OB上一點(diǎn)，MH為入射光線(xiàn)，NH為反射光線(xiàn)，∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=3(3)如圖③，M是線(xiàn)段OB上的動(dòng)點(diǎn)，MH為入射光線(xiàn)，∠HOM=50°,HN為反射光線(xiàn)交圓O于點(diǎn)N,在M從O運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．題型03圓與四邊形綜合問(wèn)題12．如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，P三點(diǎn)．(1)若BP＝3，判斷邊CD所在直線(xiàn)與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線(xiàn)AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．13．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，D，C為ACB的三等分點(diǎn)，AC//(1)求證：∠A=∠E；(2)若BC=3，BE=5，求CE的長(zhǎng)．14．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為直徑，AD上存在點(diǎn)E，滿(mǎn)足AE=CD，連接BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BE與AD交于點(diǎn)(1)若∠DBC=α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表列∠AGB．(2)如圖2，連接CE,CE=BG．求證；EF=DG．(3)如圖3，在(2)的條件下，連接CG，AD=2．①若tan∠ADB=32②求CG的最小值．15．（2021·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，連接OM與AD交于點(diǎn)E，AD>1，CD=1．(1)求證：△DBC～△AMD；(2)設(shè)AD=x，求△COM的面積（用x的式子表示）；(3)若∠AOE=∠COD，求OE的長(zhǎng)．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E的弦EP交AB于點(diǎn)Q（EP不是直徑），點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP，BP恰好為⊙O的切線(xiàn)．(1)求證：BC是⊙O的切線(xiàn)．(2)求證：EF＝ED．(3)若sin∠ABC═35，AC＝15，求四邊形CHQE17．（2018·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在弦AB上（E不與A重合），且四邊形BDCE為菱形．(1)求證：AC=CE；(2)求證：BC2﹣AC2=AB?AC；(3)已知⊙O的半徑為3．①若ABAC=5②當(dāng)ABAC題型04圓與函數(shù)綜合問(wèn)題18．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+94x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；(2)在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出⊙M的半徑．19．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)Pm,n在函數(shù)y=?(1)若m=?2，求n的值；(2)拋物線(xiàn)y=x?mx?n與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；②設(shè)△GMN的外接圓圓心為C，⊙C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)m+n≠0時(shí)，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足AB2=BC2+AC2，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使得∠DBC=∠CAB，點(diǎn)E是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），過(guò)點(diǎn)E作弦AB的垂線(xiàn)，交AB于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，交(1)BD是⊙O的切線(xiàn)嗎？請(qǐng)作出你的判斷并給出證明；(2)記△BDC，△ABC，△ADB的面積分別為S1(3)若⊙O的半徑為1，設(shè)FM=x，F(xiàn)E?FN?1BC?BN+1AE?AC=y，試求21．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2?6x+8的圖像與x軸分別交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線(xiàn)l是對(duì)稱(chēng)軸．點(diǎn)P在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接PA,PB，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為r的圓，PT與⊙M(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；(2)若以⊙M的切線(xiàn)長(zhǎng)PT為邊長(zhǎng)的正方形的面積與△PAB的面積相等，且⊙M不經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,2，求PM長(zhǎng)的取值范圍．22．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，BE⊥CD，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知OA=32，AC=1．如圖2，連接AF，P為線(xiàn)段AF上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)分別交CE，BE于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．設(shè)PH=x，(1)求CE的長(zhǎng)和y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)PH<PN，且長(zhǎng)度分別等于PH，PN，a的三條線(xiàn)段組成的三角形與△BCE相似時(shí)，求a的值．(3)延長(zhǎng)PN交半圓O于點(diǎn)Q，當(dāng)NQ=154x?323．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+bx?8與x軸交于A(?4,0)、B(2,0)兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，作直線(xiàn)AC，連接PA、PC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線(xiàn)l1:y=kx+k?354交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M、N，求證：無(wú)論k為何值，平行于x軸的直線(xiàn)l224．（2021·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l:y=12x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)△PAO的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式：并寫(xiě)出x的取值范圍；(3)作△PAO的外接圓⊙C，延長(zhǎng)PC交⊙C于點(diǎn)Q，當(dāng)△POQ的面積最小時(shí)，求⊙C的半徑．25．如圖，直線(xiàn)y=34x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．直線(xiàn)MN//AB，且與△AOB的外接圓⊙P相切，與雙曲線(xiàn)y=?(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)和⊙P的半徑；(2)求直線(xiàn)MN所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)求△BCN的面積．題型05正多邊形與圓綜合26．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題，作法：如圖2，①作直徑AF；②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N；③連接AM,MN,NA．(1)求∠ABC的度數(shù)．(2)△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)從點(diǎn)A開(kāi)始，以DN長(zhǎng)為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．27．（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O為等邊ΔABC的外接圓，半徑為2，點(diǎn)D在劣弧AB?上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,B重合），連接DA，DB，DC(1)求證：DC是∠ADB的平分線(xiàn)；(2)四邊形ADBC的面積S是線(xiàn)段DC的長(zhǎng)x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)M,N分別在線(xiàn)段CA，CB上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，ΔDMN的周長(zhǎng)有最小值t，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，t的值會(huì)發(fā)生變化，求所有t值中的最大值．28．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）某同學(xué)在學(xué)習(xí)了正多邊形和圓之后，對(duì)正五邊形的邊及相關(guān)線(xiàn)段進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)多處出現(xiàn)者名的黃金分割比5?12≈0.618．如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，圓心為O，OA與BE交于點(diǎn)H，AC、AD(1)求證：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接說(shuō)出△BAN的形狀；(2)求證：BMBN=BN(3)由對(duì)稱(chēng)性知AO⊥BE，由(1)(2)可知MNBM也是一個(gè)黃金分割數(shù)，據(jù)此求sin29．德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話(huà)，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．如圖①，點(diǎn)C把線(xiàn)段AB分成兩部分，如果CBAC=5?12(1)特例感知：在圖①中，若AB=100，求AC的長(zhǎng)；(2)知識(shí)探究：如圖②，作⊙O的內(nèi)接正五邊形：①作兩條相互垂直的直徑MN、AI；②作ON的中點(diǎn)P，以P為圓心，PA為半徑畫(huà)弧交OM于點(diǎn)Q；③以點(diǎn)A為圓心，AQ為半徑，在⊙O上連續(xù)截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，連接AE；則五邊形ABCDE為正五邊形．在該正五邊形作法中，點(diǎn)Q是否為線(xiàn)段OM的黃金分割點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用：國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系．延長(zhǎng)題(2)中的正五邊形ABCDE的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點(diǎn)E是線(xiàn)段PD的黃金分割點(diǎn)，請(qǐng)利用題中的條件，求cos72°30．中心為O的正六邊形ABCDEF的半徑為6cm．點(diǎn)P,Q同時(shí)分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動(dòng)，連接PB,PE,QB,QE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts(1)求證：四邊形PBQE為平行四邊形；(2)求矩形PBQE的面積與正六邊形ABCDEF的面積之比．31．（2018·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：已知：如圖1，等邊△A1A2A3內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是A1A2上的任意一點(diǎn)，連接PA1，PA2，PA3，可證：PA1+PA2=PA3(1)以下是小紅的一種證明方法，請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整；證明：如圖1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．∵△A1A2A3是等邊三角形，∴∠A3A1A2=60°，∴∠A3A1P=∠A2A1M又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．∴PA(2)延伸：如圖2，把(1)中條件“等邊△A1A2A3”改為“正方形A1A2A3A4”，其余條件不變，請(qǐng)問(wèn)：PA(3)拓展：如圖3，把(1)中條件“等邊△A1A2A3”改為“正五邊形A1A2A3A4A5”，其余條件不變，則PA1+PA2題型06求不規(guī)則圖形面積32．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，在AB上取一點(diǎn)E，連接AE，DE．過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AE，交⊙O于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，連接CG，DG．(1)求證：△AFD≌(2)若AB=2，∠BAE=30°，求陰影部分的面積．33．（2021·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，AE⊥DE于點(diǎn)E．點(diǎn)O是線(xiàn)段AE上的點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，連接OG．(1)求證：△ECD∽△ABE；(2)求證：⊙O與AD相切；(3)若BC＝6，AB＝33，求⊙O的半徑和陰影部分的面積．34．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)【問(wèn)題情境】劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第121頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：如圖，將一個(gè)三角形紙板△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到達(dá)△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，AC=AC'，BC=B劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門(mén)哲學(xué)．【問(wèn)題解決】(1)上述問(wèn)題情境中“（

）”處應(yīng)填理由：____________________；(2)如圖，小王將一個(gè)半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A'①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；②如果BB'=【問(wèn)題拓展】小李突發(fā)奇想，將與(2)中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止，此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問(wèn)題．35．（2020·山東臨沂·中考真題）已知⊙O1的半徑為r1，⊙O2的半徑為r2，以O(shè)1為圓心，以r1+r2的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以線(xiàn)段O1O2的中點(diǎn)P為圓心，以12(1)求證：BC是⊙O(2)若r1=2，r236．（2019·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線(xiàn)，DC與⊙O相切于點(diǎn)E，分別交AM、BN于D、C兩點(diǎn)(1)如圖1，求證：A(2)如圖2，連接OE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F，連接CF．若∠ADE=2∠OFC，AD=1，求圖中陰影部分的面積題型07三角形內(nèi)切圓與外切圓綜合37．（2019·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)地任務(wù)：萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切分于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴IMIA∴IA?ID=IM?IN①，如圖2，在圖1(隱去MD，AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°，∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所對(duì)圓周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴IADE=IF任務(wù)：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：IM=R+d，IN=(用含R，d的代數(shù)式表示)；(2)請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)請(qǐng)觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)(1)，(2)的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(4)應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm.

38．（2019·湖北荊門(mén)·統(tǒng)考中考真題）已知銳角ΔABC的外接圓圓心為O，半徑為R．(1)求證：ACsin(2)若ΔABC中∠A=45°，∠B=60°，AC=339．【問(wèn)題提出】(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接EC并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則∠BCE+∠DCF的度數(shù)為_(kāi)_____°；【問(wèn)題探究】(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D、E在直線(xiàn)BC上，連接AD、AE，若∠DAE=60°，AB=6，求△ADE面積的最小值；【問(wèn)題解決】(3)近日，教育部印發(fā)了《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》，此次修訂中增加的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，突破學(xué)科邊界，鼓勵(lì)教師開(kāi)展跨學(xué)科教研，設(shè)計(jì)出主題鮮明、問(wèn)題真實(shí)的跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)．為此，某校欲將校園內(nèi)一片三角形空地ABC（如圖3所示）進(jìn)行擴(kuò)建后作為跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)中心，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，連接AE，已知AE∥BC，AB=BC=40米，∠ABC=90°，為節(jié)約修建成本，需使修建后△ADE的面積盡可能小，問(wèn)△40．（2021·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題提出：若一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在一個(gè)圖形的不同的邊上，則稱(chēng)此三角形為該圖形的內(nèi)接三角形．(1)如圖1，⊙O及弦AB，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，則△ABC稱(chēng)為⊙O的內(nèi)接三角形．若⊙O的半徑等于5，弦AB=8，畫(huà)出⊙O的面積最大的內(nèi)接三角形△ABC，且其內(nèi)接三角形面積的最大值是___________；問(wèn)題探究：(2)如圖2，△ABC中，∠A=∠B=30°，AC=4，D是AC的中點(diǎn)，△DEF是△ABC的內(nèi)接等腰直角三角形，且∠DFE=90°，求△DEF的面積．問(wèn)題解決：(3)高新區(qū)的小朋友為給十四運(yùn)的選手們加油，在現(xiàn)有的一塊三角形展板上，繪制一個(gè)三角形的圖案，如圖3，展板△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=4，繪制的圖案為△ABC的內(nèi)按等腰直角三角形，試探究：繪制的圖案的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型08阿氏圓模型41．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┛梢岳@點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝2，連接AF，BD(1)求證：△BDC≌△AFC(2)當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上時(shí)，直接寫(xiě)出BD＋22AD(3)直接寫(xiě)出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BD＋22AD42．已知△CDE與△ABC有公共頂點(diǎn)C，△CDE為等邊三角形，在△ABC中，∠BAC=120°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，連接AD，已知四邊形ABDC的面積為23，求AB+AC(2)如圖2，AB=AC，A、E、D三點(diǎn)共線(xiàn)，連接AE、BE，取BE中點(diǎn)M，連接AM，求證：AD=2AM；(3)如圖3，AB=AC=4，CE=2，將△CDE以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取DE中點(diǎn)F，當(dāng)BF+34AF43．（2019·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B(1)求拋物線(xiàn)解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；(3)如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+1244．（2021上·江蘇宿遷·九年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=4，CA=6(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使CD=1，則CDCP=CPCB=12．又∠PCD=∠BCP所以PD=12PB請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫(xiě)出答案：AP+1(2)自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求13(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一點(diǎn)，求45．如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于A(3，0)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=3OA=3OC，∠OAC的平分線(xiàn)AD交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AD的直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH=HP時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)直線(xiàn)PF為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，12HC為半徑作⊙H，點(diǎn)Q為⊙H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求題型09隱圓模型46．如圖，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF=90°，AB=AC，DE=DF，BC、EF交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M為BC、EF的中點(diǎn)，將△DEF繞點(diǎn)(1)如圖1，當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A在FD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若BC=32，AF=655，(2)如圖2，當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A在FD延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：2AF=(3)如圖3，在△DEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)CF交于點(diǎn)N，連接BN，P為BN的中點(diǎn)，連接AP，若AB=62，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AP47．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像過(guò)點(diǎn)C0,?4和點(diǎn)D2,?6，與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B(1)求該二次函數(shù)解析式，并判斷點(diǎn)G是否在此函數(shù)的圖像上，并說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)P為此拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，它關(guān)于x軸，y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為M，N，問(wèn)是否存在這樣的P點(diǎn)使得M，N恰好都在直線(xiàn)DG上？如存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如不存在，并說(shuō)明理由；(3)若第四象限有一動(dòng)點(diǎn)E，滿(mǎn)足BE=OB，過(guò)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)F坐標(biāo)為t,0，0<t<4，△BEF的內(nèi)心為I，連接CI，直接寫(xiě)出CI的最小值．48．在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC如圖所示，A(5,0)，B(9,6)．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)在線(xiàn)段OA上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)在線(xiàn)段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，停止運(yùn)動(dòng),連接PQ．(1)如圖1，連接OB交PQ于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)如圖2，過(guò)A作AH⊥PQ于點(diǎn)H，求OH的最小值；(3)如圖3，在PQ上取一點(diǎn)M，使得∠AMP=45°，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)OP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．49．【問(wèn)題背景】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝150°，則PA2+PB2＝PC2．小剛為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)幫助小剛完成輔助線(xiàn)的作圖；【遷移應(yīng)用】如圖2，D是等邊△ABC外一點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，AD∥BE，∠BEC＝120°，求證：△DBE是等邊三角形；【拓展創(chuàng)新】如圖3，EF＝6，點(diǎn)C為EF的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線(xiàn)AE、BF交于點(diǎn)P，M為PG的中點(diǎn)，EF⊥FG于F，F(xiàn)G＝43，請(qǐng)直接寫(xiě)出MC的最小值．50．（2021·陜西西安·西安益新中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：(1)正方形ABCD和正方形AEFG如圖①放置，AB＝4，AE＝2.5，則DGCF問(wèn)題探究：(2)如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，∠BPC＝135°，求AP長(zhǎng)的最小值．問(wèn)題拓展：(3)如圖③，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線(xiàn)AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，則對(duì)角線(xiàn)BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2024年中考數(shù)學(xué)與圓有關(guān)的難點(diǎn)突破目錄TOC\o"1-3"\h\u難點(diǎn)01與圓有關(guān)的6種模型 62題型01四點(diǎn)共圓 62題型02圓冪定理 96題型03垂徑定理 122題型04定弦定角 126題型05定角定高模型（探照燈模型） 144題型06阿基米德折弦定理 162難點(diǎn)02與圓有關(guān)的壓軸題 164題型01利用圓的相關(guān)知識(shí)解決多結(jié)論問(wèn)題 164題型02圓與三角形綜合問(wèn)題 174題型03圓與四邊形綜合問(wèn)題 189題型04圓與函數(shù)綜合問(wèn)題 203題型05正多邊形與圓綜合 223題型06求不規(guī)則圖形面積 235題型07三角形內(nèi)切圓與外切圓綜合 246題型08阿氏圓模型 255題型09隱圓模型 267

難點(diǎn)01與圓有關(guān)的6種模型題型01四點(diǎn)共圓1.四點(diǎn)共圓的判定判定方法圖形證明過(guò)程若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓（圓的定義）.適用范圍：題目出現(xiàn)共端點(diǎn)，等線(xiàn)段時(shí)，可利用圓的定義構(gòu)造輔助圓.到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上（圓的定義）若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓.反證法若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓.反證法同側(cè)共邊三角形且公共邊所對(duì)角相等的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.反證法共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.適用范圍：雙直角三角形共斜邊模型.連接AO、OD根據(jù)直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得AO=BO=CO=DO∴點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓在⊙O中，若弦AB、CD相交于點(diǎn)P,且AP?DP=BP?CP，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）在△APB和△CPD中AP?DP=BP?CP∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2則A、B、C、D四點(diǎn)共圓在⊙O中，若AB、CD兩線(xiàn)段延長(zhǎng)后相交于點(diǎn)P,且AP?BP=DP?CP，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓（割線(xiàn)定理）在△APC和△DPB中AP?BP=CP?DP∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°∴∠1+∠2=180°則A、B、C、D四點(diǎn)