2/8第一章預(yù)備知識(shí)（高效培優(yōu)單元測(cè)試·提升卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（2025·山東煙臺(tái)·三模）已知集合，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡集合，再利用并集的定義運(yùn)算.【解析】因，，則.故選：D2．（24-25高二下·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知命題，則命題的否定為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由特稱命題的否定為全稱命題即可求解.【解析】命題的否定為，故選：C3．（24-25高一下·廣東廣州·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算可得結(jié)果.【解析】由，可得或，則.故選：B．4．（2025福建福州高一上期中）已知集合，若是的充分不必要條件，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由一元二次不等式解得集合，根據(jù)充分不必要條件可得集合的包含關(guān)系，建立不等式，可得答案.【解析】由或，則，由是的充分不必要條件，則，且可得，解得.故選：C.5.(2025·河南周口·二模）已知，，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的巧用求最小值，即可得的值.【解析】已知，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值，則.故選：A.6．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于2的相異實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．或 B．C． D．或【答案】B【分析】設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為，根據(jù)滿足的條件列不等式組，解不等式組即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為,則由根與系數(shù)的關(guān)系，知所以由題意知，即，解得.故選：B7．（24-25高一上·山東臨沂·期中）如圖所示的“大方圖”稱為“趙爽弦圖”，它是由中國數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)在給《周髀算經(jīng)》"勾股網(wǎng)方圖"作注時(shí)給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書之中．他用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將其表示為"若直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）．則，．某同學(xué)讀到此書中的“趙爽弦圖”時(shí)，出于好奇，想用軟鋼絲制作此圖，他用一段長8cm的軟鋼絲作為的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請(qǐng)你給他算一算，他能制作出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（

）A．24 B．30 C．32 D．36【答案】C【分析】根據(jù)題意，，利用基本不等式求的最小值.【解析】由題可知，，，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又“趙爽弦圖”的面積為，所以當(dāng)時(shí)，“趙爽弦圖”的最小面積為.故選：C8．（2025·陜西渭南·二模）若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，解得：，不滿足條件；故，關(guān)于的不等式可得，所以，即，方程的兩根為，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，，解集為：，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為：，要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則，又因?yàn)椋粷M足條件；當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為空集，當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為，要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：B.二?選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)9．（24-25高二下·山西·階段練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由作差法和基本不等式即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng).【解析】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（23-24高一上·甘肅白銀·期中）下列命題正確的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“”是“”的必要不充分條件C．“”是“”成立的充要條件D．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)利用充分不必要條件的定義進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)利用必要不充分條件的定義進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)利用充要條件的定義進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)利用必要不充分條件的定義進(jìn)行判斷.【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，成立；反之，當(dāng)時(shí)，若，則不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，若，則不能推出；反之，當(dāng)時(shí)，成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以由不能推出；反之當(dāng)時(shí)，若，，則不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，所以由不能推出；反之，當(dāng)時(shí)，且，所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：ABD.11．（2025·湖南邵陽·模擬預(yù)測(cè)）給定實(shí)數(shù)集，定義集合，若是非空集合，則稱集合中最小的元素為集合的上確界，記作.以下說法正確的是（

）A．若數(shù)集中有2025個(gè)元素，則一定存在B．若數(shù)集中沒有最大值，則不存在C．若數(shù)集A，B有上確界，則數(shù)集一定也有上確界，為D．若數(shù)集A，B有上確界，則數(shù)集一定也有上確界，為【答案】AC【分析】根據(jù)集合的上確界的概念判斷A，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)利用集合的上確界的概念判斷B，結(jié)合不等式的性質(zhì)利用集合的上確界的概念判斷C，舉反例判斷D.【解析】對(duì)于，若數(shù)集中有2025個(gè)元素，則數(shù)集中的元素一定有最大值，數(shù)集一定有上確界，故A正確；對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)集中的元素沒有最大值，，都有，，，即數(shù)集中有上確界，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若數(shù)集A，B有上確界，設(shè)，，由上確界的定義可知，對(duì)于，，都有，，，即，故正確；對(duì)于D，若，，則數(shù)集A，B有上確界，且，，此時(shí)，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為．【答案】7【分析】由交集的運(yùn)算可得，即可得到結(jié)果.【解析】對(duì)于集合，當(dāng)是，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則其真子集的個(gè)數(shù)為.13．若關(guān)于的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，原不等式為，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使關(guān)于的不等式的解集為，只需解得．綜上，．14．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）由杭州深度求索人工智能基礎(chǔ)技術(shù)研究有限公司推出，該公司是一家專注于人工智能（）的中國初創(chuàng)公司．其模型于2024年年底發(fā)布，此模型足以媲美，一經(jīng)推出便成為全球熱門話題．利用進(jìn)行學(xué)習(xí)已經(jīng)成為一種學(xué)生自主學(xué)習(xí)的全新方式，但是目前市場(chǎng)各種模型運(yùn)算參差不齊．技術(shù)人員對(duì)n個(gè)模型進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試由m道題組成，每個(gè)模型都對(duì)這道題逐一進(jìn)行求解．若一道題至少有個(gè)模型未解對(duì)，則稱此題為難題；若一個(gè)模型至少解出了道題，則該模型測(cè)試成績合格．如果測(cè)試至少有個(gè)模型成績合格，且測(cè)試中至少有道題為難題，那么的最小值為.【答案】9【解析】設(shè)有個(gè)模型合格，道題為難題，則，依題意有，所以所以，同理，要使兩式有整數(shù)解，則，所以．當(dāng)時(shí)，若3個(gè)模型生答題情況如下表：題目1題目2題目31√√×2√×√3√××則有2個(gè)模型合格，2個(gè)難題，符合題意，所以的最小值為9．三、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（13分）（24-25高一上·新疆昌吉·期末）設(shè)全集，集合，集合(1)當(dāng)時(shí)，求和；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，或，∴，或.（5分）（2）∵“”是“”的充分不必要條件，∴?，（7分）∴（等號(hào)不同時(shí)成立），解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（13分）16．（15分）（24-25高二下·浙江寧波·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(2)若不等式對(duì)于任意恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由，則，（2分）當(dāng)，即時(shí)，解集為；（4分）當(dāng)，即時(shí)，解集為或；（6分）當(dāng)，即時(shí)，解集為.(8分)（2）由題設(shè)，時(shí)恒成立，所以，又，所以上恒成立，令，則，（11分）所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以.（15分）17．（15分）(2025廣東華南師大附中高一上期中，中)如圖是一份矩形的宣傳單，其排版面積（矩形）為，左右兩邊都留有寬為的空白，頂部和底部都留有寬為的空白.(1)若，，且該宣傳單的面積不超過，則的最大值是多少？(2)若，，則當(dāng)長多少時(shí)，宣傳單的面積最小？最小的面積是多少？【解析】(1)由宣傳單的面積不超過，可得，（3分）化簡得，（5分）解得，（7分）又，所以，故的最大值為.（8分）（2）設(shè)cm，則cm，設(shè)宣傳單的面積為，（10分）則，（13分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).（14分）所以當(dāng)長為，宣傳單的面積最小，最小的面積是.(15分)18．（23-24高一上·湖北武漢·開學(xué)考試）已知二次函數(shù).(1)求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別是多少？(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，若，求的值.【解析】（1）∵，∴對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（4分）（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，；∵當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為.（9分）（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，即，隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得：（不合題意，舍去）；（12分）②當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，∴，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，，即，解得：，（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，∴，即，解得：，（不合題意，舍去）；（15分）③當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，即，解得：（不合題意，舍去）；綜上所述：或.（17分）（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.19.(17分)（2025江西撫州臨川一中高一上月考，難）已知含有限個(gè)元素的集合A是正整數(shù)集的子集，且A中至少含有兩個(gè)元素，若B是由A中的任意兩個(gè)元素之和構(gòu)成的集合，則稱集合B是集合A的衍生集.(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合A的衍生集B；(2)若A是由4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其衍生集B的元素個(gè)數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其衍生集，并說明理由.【解析】（1）由已知，，故集合.(2分)（2）設(shè)，其中，不妨設(shè)，又因?yàn)椋瞎?個(gè)元素，（4分）由不等式的性質(zhì)可知，，（6分）若