函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題單元學(xué)能測試試題一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1．設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對區(qū)間中的任意兩個實數(shù)，都有則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù).下列函數(shù)中是區(qū)間上的下凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，可判定A正確；根據(jù)特殊值法，可判定B不正確；根據(jù)函數(shù)的圖象變換，結(jié)合函數(shù)的圖象，可判定C、D正確.【詳解】對于A中，任取且，則，，可得，滿足，所以A正確；對于B中，取，則，可得，所以，，此時，不符合題意，所以B不正確；對于C中，函數(shù)，由冪函數(shù)的圖象向上移動5個單位，得到函數(shù)的圖象，如圖所示，取且，由圖象可得，，因為，所以，符合題意，所以是正確的；對于D中，函數(shù)由函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的圖象，如圖所示，取且，由圖象可得，，因為，所以，符合題意，所以是正確的；【點睛】本題主要考查了函數(shù)的新定義及其應(yīng)用，其中解答中正確理解函數(shù)的新定義，以及結(jié)合函數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.2．已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的為（）A．在定義域內(nèi)有三個零點 B．函數(shù)的值域為C．在定義域內(nèi)為周期函數(shù) D．圖象是中心對稱圖象【答案】ABD【分析】將函數(shù)變形為，求出定義域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可判斷BC，由零點存在定理結(jié)合單調(diào)性可判斷A，由可求出函數(shù)的對稱點，即可判斷D.【詳解】解：由題意知，，定義域為，，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，C不正確；當(dāng)時，，則上有一個零點，當(dāng)時，，所以在上有一個零點，當(dāng)時，，所以在上有一個零點，當(dāng)，，所以在定義域內(nèi)函數(shù)有三個零點，A正確；當(dāng)，時，，當(dāng)時，，又函數(shù)在遞增，且在上有一個零點，則值域為R，B正確；，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于對稱，D正確；故選:ABD.【點睛】結(jié)論點睛:1、與圖象關(guān)于x軸對稱；2、與圖象關(guān)于y軸對稱；3、與圖象關(guān)于軸對稱；4、與圖象關(guān)于軸對稱；5、與圖象關(guān)于軸對稱.3．下列說法中，正確的有（）A．若，則B．若，，，則的最小值為C．己知，且，則實數(shù)的取值范圍為D．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項的正誤；將與相乘，展開后利用基本不等式可判斷B選項的正誤；判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，解不等式可判斷C選項的正誤；利用復(fù)合函數(shù)法可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出的取值范圍，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，，則，A選項錯誤；對于B選項，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為，B選項正確；對于C選項，函數(shù)的定義域為，任取、且，則，所以，，即，所以，函數(shù)為上的減函數(shù)，，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且為減函數(shù)，由可得，所以，，即，解得，C選項正確；對于D選項，對于函數(shù)，令，由于外層函數(shù)為增函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，解得，D選項正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.4．已知正數(shù)，滿足，則（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，根據(jù)指對互化和換底公式得：，再依次討論各選項即可.【詳解】由題意，可令，由指對互化得：，由換底公式得：，則有，故選項B錯誤；對于選項A，，所以，又，所以，所以，故選項A正確；對于選項C?D，因為，所以，所以，所以，則，則，所以選項C正確，選項D錯誤；故選：AC.【點睛】本題考查指對數(shù)的運(yùn)算，換底公式，作差法比較大小等，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于令，進(jìn)而得，再根據(jù)題意求解.5．對，表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，則下列命題中的真命題是（）A．B．C．函數(shù)的值域為D．若，使得同時成立，則正整數(shù)的最大值是5【答案】BCD【分析】由取整函數(shù)的定義判斷，由定義得，利用不等式性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】是整數(shù)，若，是整數(shù)，∴，矛盾，∴A錯誤；，，∴，∴，B正確；由定義，∴，∴函數(shù)的值域是，C正確；若，使得同時成立，則，，，，，，因為，若，則不存在同時滿足，．只有時，存在滿足題意，故選：BCD．【點睛】本題考查函數(shù)新定義，正確理解新定義是解題基礎(chǔ)．由新定義把問題轉(zhuǎn)化不等關(guān)系是解題關(guān)鍵，本題屬于難題．6．對于函數(shù)，下面結(jié)論正確的是（）A．任取，都有恒成立B．對于一切，都有C．函數(shù)有3個零點D．對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ABC【分析】先在坐標(biāo)軸中畫出的圖象,根據(jù)圖象可判斷A選項,結(jié)合解析式可判斷B選項,再畫出與的圖象,數(shù)形結(jié)合可判斷C,D選項.【詳解】在坐標(biāo)軸上作出函數(shù)的圖象如下圖所示:由圖象可知的最大值為1,最小值為,故選項A正確;由題可知,所以即,故選項B正確;作出的圖象，因為，由圖象可知與有3個交點,故選項C正確;結(jié)合圖象可知,若對任意,不等式恒成立,即時,不等式恒成立,又,所以,即在時恒成立,設(shè),則,故時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以時,,又,所以,即,故選項D錯誤.故選:ABC.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的周期性及數(shù)形結(jié)合法在處理函數(shù)問題中的應(yīng)用,有一定難度.7．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，.若.在上恒成立，則的可能取值為()A． B． C． D．【答案】CD【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到sinx≥k(2+sinx),再根據(jù)題意，利用檢驗法判斷即可.【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足：,所以為奇函數(shù)，時，，顯然在上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，由恒成立，可得在R上恒成立，即，整理得：當(dāng)時，，不恒成立，故A錯誤;當(dāng)時，，不恒成立，故B錯誤;當(dāng)時，，恒成立，故C正確；當(dāng)時，，恒成立，故D正確.故選：CD【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式恒成立問題，屬于中檔題.8．太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”.則下列有關(guān)說法中，正確的是（）A．對于圓：的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)B．函數(shù)是圓：的一個太極函數(shù)C．存在圓，使得是圓的一個太極函數(shù)D．直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓：的太極函數(shù)【答案】BCD【分析】利用“太極函數(shù)”的定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可.【詳解】對于A，如下圖所示，若太極函數(shù)為偶函數(shù)，且，所以該函數(shù)平分圓的周長和面積，故A錯誤；對于B，也關(guān)于圓心對稱，平分圓的周長和面積，所以函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)；故B正確；對于C，，.，該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.所以存在圓：使得是圓的一個太極函數(shù)，如下圖所示，故C正確；對于D，對于直線的方程，變形為，令，得，直線經(jīng)過圓的圓心，可以平分圓周長和面積，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的判定與應(yīng)用，將新定義理解為函數(shù)的對稱性為解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于較難題.9．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不同解，則的取值可能是（）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性以及已知條件得到，代入，令，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性分析原函數(shù)的單調(diào)性，即可求出取值范圍.【詳解】因為的兩根為，所以，從而．令，則，．因為，所以，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增．又，所以，即的取值范圍是，故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的范圍問題.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.10．對于具有相同定義域D的函數(shù)和，若存在函數(shù)（k，b為常數(shù)），對任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的，使得當(dāng)且時，總有，則稱直線為曲線與的“分漸近線”.給出定義域均為的四組函數(shù)，其中曲線與存在“分漸近線”的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】BD【分析】根據(jù)分漸近線的定義，對四組函數(shù)逐一分析，由此確定存在“分漸近線”的函數(shù).【詳解】解：和存在分漸近線的充要條件是時，．對于①，，，當(dāng)時，令，由于，所以為增函數(shù)，不符合時，，所以不存在分漸近線；對于②，，，，因為當(dāng)且時，，所以存在分漸近線；對于③，，，當(dāng)且時，與均單調(diào)遞減，但的遞減速度比快，所以當(dāng)時，會越來越小，不會趨近于0，所以不存在分漸近線；對于④，，，當(dāng)時，，且，因此存在分漸近線．故存在分漸近線的是BD．故選：BD．【點睛】本小題主要考查新定義概念的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.11．已知，則關(guān)于x的方程的實根個數(shù)可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【分析】畫出的圖像，由，可分類討論，，三種情況，令，并畫出圖像，結(jié)合兩個函數(shù)圖像以及，判斷出實根個數(shù)構(gòu)成的集合.【詳解】畫出的圖像如圖所示，令，畫出圖像如圖所示.由，解得：，由，解得..由，解得：，由，解得.（1）當(dāng)時，，有解，且或或，結(jié)合的圖像可知，時沒有與其對應(yīng)，或時每個都有個與其對應(yīng)，故此時有個實數(shù)根.（2）當(dāng)時，，有解，且或，有一個與其對應(yīng)，有兩個與其對應(yīng)，故此時有個實數(shù)根.（3）當(dāng)時，，有解，且，結(jié)合的圖像可知，每個有兩個與其對應(yīng)，故此時有個實數(shù)根.綜上所述，關(guān)于的方程的實根個數(shù)構(gòu)成的集合為.故選：ABC【點睛】方法點睛：本題考查分類討論參數(shù)，求函數(shù)零點個數(shù)問題，討論函數(shù)零點個數(shù)常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.12．已知函數(shù)，則方程的實根個數(shù)可能為（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【分析】以的特殊情形為突破口，解出或或或，將看作整體，利用換元的思想進(jìn)一步討論即可.【詳解】由基本不等式可得或，作出函數(shù)的圖像，如下：①當(dāng)時，或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；②當(dāng)時，或或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；③當(dāng)時，或或或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；④當(dāng)時，或或或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；⑤當(dāng)時，或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；⑥當(dāng)時，或，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；⑦當(dāng)時，，故方程的實數(shù)根個數(shù)為；故選：ABC【點睛】本題考查了求零點的個數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分類討論的思想，屬于難題.13．下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為C．若函數(shù)有兩個零點，一個大于2，另一個小于-1，則的取值范圍是D．已知函數(shù)，若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域及代換的方法可求函數(shù)的定義域，判斷A，利用函數(shù)圖象的平移可判斷函數(shù)值域的變換情況，判斷B，利用數(shù)形結(jié)合及零點的分布求解判斷C，作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.【詳解】對于A,的定義域為，則由可得定義域為，故正確；對于B，將函數(shù)的圖象向左平移一個單位可得函數(shù)的圖象，故其值域相同，故錯誤；對于C,函數(shù)有兩個零點，一個大于2，另一個小于-1只需，解得，故正確；對于D,作出函數(shù)與的圖象，如圖，由圖可以看出，時，不可能有4個交點，找到直線與拋物線相切的特殊位置或，觀察圖象可知，當(dāng)有4個交點，當(dāng)時，兩條射線分別有2個交點，綜上知方程恰有4個互異的實數(shù)根時，正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于方程實根問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，本題中，圖象確定，而是過關(guān)于對稱的兩條射線，參數(shù)確定兩射線張角的大小，首先結(jié)合圖形找到關(guān)鍵位置，即時左邊射線與拋物線部分相切，時右邊射線與拋物線相切，然后觀察圖象即可得出結(jié)論.14．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且對，當(dāng)時，成立，若對任意的恒成立，則的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知得函數(shù)是偶函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，由基本不等式可求得范圍得選項．【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線（即軸）對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù).又時，成立，所以函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).且對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，因此，故選：BC.【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立.15．對于定義在上的函數(shù)，若存在正實數(shù)，，使得對一切均成立，則稱是“控制增長函數(shù)”.在以下四個函數(shù)中是“控制增長函數(shù)”的有（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】假設(shè)各函數(shù)是“控制增長函數(shù)”，根據(jù)定義推斷對一切恒成立的條件，并判斷的存在性，即可得出結(jié)論.【詳解】對于A.可化為，，不等式在上不恒成立，所以不是“控制增長函數(shù)”；對于B.可化為，，即恒成立.又，故只需保證恒成立即可.，當(dāng)時，不等式恒成立，是“控制增長函數(shù)”；對于C.，時，為任意正數(shù)，恒成立，是“控制增長函數(shù)”；對于D.化為，，令，則，當(dāng)時，不等式恒成立，是“控制增長函數(shù)”.故選：BCD【點睛】本題考查了新定義的理解，函數(shù)存在成立和恒成立問題的研究.我們可先假設(shè)結(jié)論成立，再不斷尋求結(jié)論成立的充分條件，找得到就是“控制增長函數(shù)”.如果找出了反例，就不是“控制增長函數(shù)”.16．設(shè)函數(shù)，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列選項正確的有（）A．當(dāng)m＞3時，f[f（x）]＝m有5個不相等的實根B．當(dāng)m＝0時，g[g（x）]＝m有4個不相等的實根C．當(dāng)0＜m＜1時，f[g（x）]＝m有6個不相等的實根D．當(dāng)m＝2時，g[f（x）]＝m有5個不相等的實根【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象分析可解得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象：令，得；當(dāng)時，有兩個根：，方程有1個根，方程有2個根，所以A錯誤；②當(dāng)時，，，令，由得由由所以B正確；③令，，因為，所以有個實根根，設(shè)，所以，，因為在上遞減，所以，所以，所以，即方程的最小根大于的最小值，所以、、都有2個不等實根，且這6個實根互不相等，所以當(dāng)0＜m＜1時，f[g（x）]＝m有6個不相等的實根，所以C正確；④令，則，當(dāng)時，方程化為，得；當(dāng)，得；當(dāng)?shù)梅项}意，所以D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解是解題關(guān)鍵.17．對于函數(shù)定義域中任意的，有如下結(jié)論，當(dāng)時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是（）A． B．C．＞0 D．【答案】BC【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷A，B，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C，由對數(shù)的運(yùn)算結(jié)合基本不等式判斷D．【詳解】對于A，，即，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，在定義域中單調(diào)遞增，，故C正確；對于D，，利用基本不等式知，又，則，故D錯誤；故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查命題的真假判斷，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵點是將對數(shù)形式化為根式，即，利用對數(shù)的運(yùn)算結(jié)合基本不等式放縮得出答案，并驗證取等條件，考查了學(xué)生邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題．18．已知函數(shù)滿足，且在上有最小值，無最大值.則（）A． B．若，則C．的最小正周期為3 D．在上的零點個數(shù)最少為1346個【答案】AC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可判斷；根據(jù)已知三角函數(shù)值求角的方法，可得，，兩式相減可求出，進(jìn)而求得周期，從而可判斷和選項；因為，所以函數(shù)在區(qū)間上的長度恰好為673個周期，為了算出零點“至少”有多少個，可取，進(jìn)而可判斷．【詳解】解：由題意得，在的區(qū)間中點處取得最小值，即，所以A正確；因為，且在上有最小值，無最大值，所以不妨令，，兩式相減得，，所以，即B錯誤，C正確；因為，所以函數(shù)在區(qū)間上的長度恰好為673個周期，當(dāng)，即時，在區(qū)間上的零點個數(shù)至少為個，即D錯誤.故選:AC.【點睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用特殊值法以及三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．19．一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ABCD【分析】根據(jù)“倍跟隨區(qū)間”的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個判斷即可.【詳解】對A,若為的跟隨區(qū)間,因為在區(qū)間為增函數(shù),故其值域為,根據(jù)題意有,解得或,因為故.故A正確；對B,因為函數(shù)在區(qū)間與上均為