上海上南中學(xué)南校中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點(diǎn).填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).請(qǐng)判斷的值及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上時(shí)的長(zhǎng)．解析：（1）①1；②；（2），．理由見解析；（3）2或4．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；（2）根據(jù)銳角三角比可得，根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，根據(jù)相似撒尿性的性質(zhì)求解即可；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上，有兩種情況：如圖3和圖4，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，可得AD的長(zhǎng)．【詳解】（1）①∵，∴∠BOD=∠AOC，又∵，，∴△BOD≌△AOC，∴BD=AC，∴=1；②∵，∴∠OAB+∠OBA=140°，∵△BOD≌△AOC，∴∠CAO=∠DBO，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，∴∠AMB=；（2）如圖2，，．理由如下：中，，，，同理得：，，，，，，∠CAO=∠DBO，∵∠BEO+∠DBO=90°，∴∠CAE+∠AEM=90°，∴∠AMB=90°；（3）∵∠A=30°，，∴OA==3．如圖3，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，∵，∴AD=3-2=2；如圖4，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，∵，，OA=3∴AD=3+1=4．綜上可知，AD的長(zhǎng)是2或4．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問(wèn)題，本題是一道比較好的題目．2．問(wèn)題背景如圖1，點(diǎn)E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC，求證：．嘗試應(yīng)用如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)F在DC邊上，將△ADF沿AF折疊得到△AEF，且點(diǎn)E恰好為BC邊的中點(diǎn)，求的值．拓展創(chuàng)新如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，F(xiàn)C＝2．EC＝6．請(qǐng)直接寫出cos∠AFE的值．解析：（1）見解析；（2）；（3）cos∠AFE=．【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定定理證△ABE∽△ECD即可；(2)在AB邊取點(diǎn)G，使GE=BE，則∠B=∠BGE，證△AGE∽△ECF，列比例式即可；(3)作FM=FD，F(xiàn)N⊥AD，同（2）構(gòu)造△AMF∽△FCE，證△AEF∽△FHD，求出AM長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）∵AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CED，∴△ABE∽△ECD∴．（2）在AB邊取點(diǎn)G，使GE=BE，則∠B=∠BGE又∵∠B+∠C=180°，∠BGE+∠AGE=180°∴∠AGE=∠C∵∠B=∠D=∠AEF又∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC∴∠BAE=∠FEC，∴△AGE∽△ECF∴，即∵EF=FD，∴∵GE=BE，AE=BC=2BE，∴（3）cos∠AFE=如圖：作FM=FD，F(xiàn)N⊥AD，由（2）同理可證△AMF∽△FCE，∴設(shè)AM=，F(xiàn)M=FD=，則AD=CD=，MD=，ND=∵∠AEF=∠FND=90°，∠AFE＝∠D，∴△AEF∽△FND，∴，即，∵，∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；∴cos∠AFE=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是依據(jù)已知條件構(gòu)造相似三角形，列比例式解決問(wèn)題．3．[問(wèn)題解決]（1）如圖1．在平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)處，折線AE交BC于點(diǎn)E，連接B'E．求證：四邊形是菱形．[規(guī)律探索]（2）如圖2，在平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)P的直線折疊，點(diǎn)B恰好落在AD上的點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[拓展應(yīng)用]（3）如圖3，在矩形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)P的直線折疊，得到折痕FP，點(diǎn)B落在紙片ABCD內(nèi)部點(diǎn)處，點(diǎn)A落在紙片ABCD外部點(diǎn)處，與AD交于點(diǎn)M，且M＝M．已知：AB＝4，AF＝2，求BP的長(zhǎng)．解析：（1）證明見解析；（2）是，理由見解析；（3）．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和翻折可推出，即．故四邊形是平行四邊形，再由翻折可知，即證明平行四邊形是菱形．（2）由翻折和平行線的性質(zhì)可知，，即得出，即是等腰三角形．（3）延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意易證，得出結(jié)論，．根據(jù)（2）同理可知為等腰三角形，即FG=PG．再在中，，即可求出，最后即可求出．【詳解】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知，∴，由翻折可知，∴，∴．∴四邊形是平行四邊形．再由翻折可知，∴四邊形是菱形．（2）由翻折可知，∵，∴，∴，∴QF=QP，∴是等腰三角形．（3）如圖，延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意可知，在和中，，∴，∴，．根據(jù)（2）同理可知為等腰三角形．∴FG=PG．∵，∴在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題為矩形的折疊問(wèn)題．考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)．掌握折疊的性質(zhì)和正確的連接輔助線是解答本題的關(guān)鍵．4．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖1，在中，M是的中點(diǎn)，過(guò)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．求證：；（嘗試應(yīng)用）（2）在（1）的情況下載線段上取點(diǎn)E（如圖2），已知，，，求；（拓展提高）（3）如圖3，菱形中，點(diǎn)P在對(duì)角線上，且，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，．若，，求菱形的邊長(zhǎng)．解析：（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】(1)證明，即可求解；(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，得到，進(jìn)而求解；(3)延長(zhǎng)交于G，交延長(zhǎng)線于F，連結(jié)，可得，所以，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，，是的中點(diǎn)，，，．（2）由（1）得，，作，垂足為H，如圖所示：，在中，，．（3）延長(zhǎng)交于G，交延長(zhǎng)線于F，連結(jié)，如圖所示：過(guò)作于由，，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，在和中，即，解得（舍負(fù)），菱形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．定義：如圖（1），點(diǎn)P沿著直線l翻折到，P到的距離叫做點(diǎn)P關(guān)于l的“折距”．已知，如圖（2），矩形中，，等腰直角中，，點(diǎn)G在上，E、B在的兩側(cè)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線上的動(dòng)點(diǎn)，把沿著直線翻折到，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，理解：（1）當(dāng)時(shí)，①若點(diǎn)在邊上，則點(diǎn)A關(guān)于的“折距”為______；②若點(diǎn)E關(guān)于的“折距”為12，則______．應(yīng)用：（2）若，當(dāng)點(diǎn)、、C、D能構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求出此時(shí)x的值拓展：（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于的“折距”為t，直接寫出當(dāng)射線與邊有公共點(diǎn)時(shí)t的范圍．解析：（1）①；②3；（2）；（3）【分析】（1）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)計(jì)算即可；②設(shè)和相交于M，證明，即可得解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可；（3）當(dāng)在BC上時(shí)為最小值，當(dāng)在BC上時(shí)為最大值，通過(guò)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，①若在BC上時(shí)，則，此時(shí)四邊形為正方形，在中，，∵點(diǎn)A關(guān)于的“折距”為，∴點(diǎn)A關(guān)于的“折距”為；②由題意可知，設(shè)和相較于M，則，且，在與中，，∴，∴，又，即，解得；（2）當(dāng)點(diǎn)、、C、D能構(gòu)成平行四邊形時(shí)，則與平行且相等，在中，，又，∴，即；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E關(guān)于的“折距”為t，且射線與邊的公共點(diǎn)范圍如圖所示，當(dāng)在BC上時(shí)為最小值，當(dāng)在BC上時(shí)為最大值，∴，∴，∴為等腰直角三角形，E到BP的距離為，當(dāng)在BC上時(shí)，，設(shè)與交于點(diǎn)Q，與交于點(diǎn)N，∴，又，∴，∴，∴，當(dāng)在BC上時(shí)，∵為EG中點(diǎn)，如圖于M，∴，，∴，∴t的取值范圍為；【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用，結(jié)合勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)問(wèn)題：（1）如圖1，是等腰直角三角形，過(guò)斜邊的中點(diǎn)作正方形，分別交，于點(diǎn)，，則，，之間的數(shù)量關(guān)系為______．問(wèn)題解決：（2）如圖2，在任意內(nèi)，找一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作正方形，分別交，于點(diǎn)，，若，求的度數(shù)；圖2拓展提升：（3）如圖3，在（2）的條件下，分別延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，，則，，的數(shù)量關(guān)系為______．圖3（4）在（3）的條件下，若，，則______．解析：（1）；（2）135°；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系及正方形的性質(zhì)即可得出數(shù)量關(guān)系；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)易證，從而可得DP=DB，進(jìn)而可證，從而可得，，由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠ADB的度數(shù)；（3）由正方形的對(duì)邊平行的性質(zhì)易得AM=DM，BN=DN，從而在Rt△MDN中，由勾股定理即可得MN、AM、BN的數(shù)量關(guān)系；（4）由（2）知FP=BE，即可求得DE=DF=1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可分別求得EM、FN的長(zhǎng)，從而可得DM、DN的長(zhǎng)，在Rt△MDN中，由勾股定理即可求得MN的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵是等腰直角三角形，且AB=AC，∴，∠A=∠B=45°，∵四邊形DECF是正方形，且D是AB的中點(diǎn)，∴DF=FC=CE=DE，∠DFA=∠DEB=90°，DF∥BC，DE∥AC，∴∠ADF=∠B=45°，∠BDE=∠A=45°，∴AF=DF，BE=DE，∴F、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴CF=BE，∴AC=AF+CF=AF+BE，∴；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．∵四邊形是正方形，∴，．∵，，，∴．∴．∵，，，∴．又∵，，∴．∴．同理可得：．∵，∴．∴．∴．（3）∵DF∥BC，DE∥AC，∴∠CBD=∠NDB，∠DAC=∠ADM，∵，，∴∠ABD=∠NDB，∠ADM=∠DAB，∴BN=DN，AM=DM．在Rt△MDN中，由勾股定理得：故答案為：，（4）∵△ABC是直角三角形，AC=3，BC=4，∴由勾股定理得：AB=5，設(shè)正方形DECF的邊長(zhǎng)為x，由（2）知，AP=AB=5，BE=FP，CP=AP-AC=2，∵FP=CP+CF，BE=BC-CE，即4-x=2+x，解得x=1，∴BE=BC-CE=3，AF=AC-CF=2，∵EM∥AC，F(xiàn)N∥BC，∴△BME∽△BAC，△AFN∽△ACB∴，，∴，．∵DM=ME-DE=，DN=FN-DF=，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線是本題的關(guān)鍵．7．（概念學(xué)習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，若平移個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在內(nèi)或上，則稱的最小值為對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，則對(duì)線段的“最近覆蓋距離”為．（概念理解）（1）對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為_．（2）如圖②，點(diǎn)是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_．（拓展應(yīng)用）（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為，求的取值范圍．（4），且，將對(duì)線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是．解析：（1）4；（2）或；（3）或；（4）【分析】（1）求出點(diǎn)(3,4)與原點(diǎn)的距離，這個(gè)距離與1的差即是所求結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)P到圓心的距離為4及勾股定理，可得關(guān)于x的方程，解方程即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)OC=2時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)C，使對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，利用三角形相似求出;同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，即可求解；（4）由題意可得DE是一條傾斜角度為45°,長(zhǎng)度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長(zhǎng)的弦AB、FG，如果D落在弧AF上，或者落在弧BG上，進(jìn)而求解．【詳解】（1）點(diǎn)(3,4)與原點(diǎn)的距離為，而5－1=4，則對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為4；故答案為：（2）由題意可知，到圓的最小距離為，即到圓心的距離為由點(diǎn)P在直線上，故設(shè)，則解得故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或故答案為：或（3）如圖，考慮臨界狀態(tài)，過(guò)O作OC⊥DE于C點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為則設(shè)則由勾股定理可得：解得（舍）此時(shí)．同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為經(jīng)分析可知，函數(shù)相比臨界狀態(tài)更靠近軸，則存在點(diǎn)或由題意可知，是一條傾斜角度為，長(zhǎng)度為的線段可在圓上找到兩條與之平行且等長(zhǎng)的弦如果落在弧上，或者落在弧上，則成立當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為此時(shí)當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為此時(shí)綜上【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)、三角形相似的判定與性質(zhì)、新定義等，數(shù)形結(jié)合是本題解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、在同一直線上，連接，則的度數(shù)為__________，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）拓展探究如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、在同一直線上，連接．請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題如圖③，，，，連接、，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)解析：（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）證明△ACE≌△ABD，得出CE=AD，∠AEC=∠ADB，即可得出結(jié)論；（2）證明△ACE∽△ABD，得出∠AEC=∠ADB，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，先判斷出四邊形APDE是矩形，求出AP=DP=AE=2，再根據(jù)勾股定理求出，BP=6，得出BD=4；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，同①的方法得，AP=DP=AE=1，BP=4，進(jìn)而得出BD=BP+DP=8，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在△ABC為等腰三角形，AC=BC，∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°，同理：AE=AD，∠ADE=∠EAD=60°，∴∠EAD=∠CAB，∴∠EAC=∠DAB，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=AD，∠AEC=∠ADB，∵點(diǎn)B、D、E在同一直線上，∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，∴∠AEC=120°，∴∵DE=AE，∴BE=DE+BD=AE+CE，故答案為60°，BE=AE+CE；（2）．理由如下：和均為等腰三角形，，，，，，點(diǎn)、、在同一直線上，，．；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴，在Rt△ABC中，，∴；①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE=∠AED=∠APD，∴四邊形APDE是矩形，∵AE=DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP=DP=AE=2，在Rt△APB中，根據(jù)勾股定理得，∴BD=BP-AP=4，∴；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，如圖④，同①的方法得，AP=DP=AE=2，BP=4，∴BD=BP+DP=8，∴，即：CE的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出△ACE∽△ABD是解本題的關(guān)鍵．9．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且，如圖，試確定線段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段與的大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：_____（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：如圖2，題目中，與的大小關(guān)系是：____（填“>”“<”或“=”）．理由如下：（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在直線上，且．若的邊長(zhǎng)為1，，求的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）．解析：（1）=；（2）=；（3）3或1【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）過(guò)E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線上，E在AB的延長(zhǎng)線式時(shí)，由（2）求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上，D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出CD=1．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，為等邊三角形，，∠A=60°，∴為等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，故答案為：；（2）如圖1，過(guò)E作EF∥BC交AC于F，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=．（3）CD=1或3，理由是：分為兩種情況：①如圖2過(guò)A作AM⊥BC于M，過(guò)E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AB=1，AE=2，∴AB=BE=1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB=∠ENB=90°，在△ABM和△EBN中，∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN=BM=，∴CN=1+=，CD=2CN=3；②如圖3，作AM⊥BC于M，過(guò)E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴，∴，∴MN=1，∴CN=1-=，∴CD=2CN=1，即CD=3或1．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小題的關(guān)鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意，不要漏解?。?0．（1）探究發(fā)現(xiàn)：下面是一道例題及解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：如圖①在等邊△ABC內(nèi)部，有一點(diǎn)P，若∠APB=150°，求證：AP2+BP2=CP2證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP’B，連接PP’，則△APP’為等邊三角形∴∠APP’=60°，PA=PP’，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2=，即PA2+PB2=PC2（2）類比延伸：如圖②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APB=135°，試判斷線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）聯(lián)想拓展：如圖③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點(diǎn)P在直線AB上方，且∠APB=60°，滿足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），請(qǐng)直接寫出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，見解析；（3）k=【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理直接寫出即可．（2）將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B，連接PP′，論證PP′=2PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．（3）將△APC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP′B，連接PP′，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PP′，論證PP′=PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．【詳解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）關(guān)系式為：2PA2+PB2=PC2證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP’B，連接PP’，則△APP’為等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，PP’=PA，PC=P’B，∵∠APB=135°，∴∠BPP’=90°，∴P’P2+BP2=P’B2，∴2PA2+PB2=PC2．（3）k=將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP’B，連接PP’，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PP’，可得【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)三角形的問(wèn)題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．在中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)，落在直線上時(shí)，①求證：；②填空：的值為______；（2）類比探究：如圖2，當(dāng)，與邊相交時(shí)，在上取一點(diǎn)，使，交于點(diǎn)．探究的值（用含的式子表示），并寫出探究過(guò)程；（3）拓展運(yùn)用：在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點(diǎn)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．解析：（1）①見解析；②1；（2），見解析；（3）【分析】（1）①根據(jù)折疊性質(zhì)證明即可；②當(dāng)，證明，即可得出的值；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)折疊性質(zhì)證明，即可得出結(jié)論；（3）由（2）可知，設(shè)，則，，，可得，再由勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：（1）①證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．由折疊得．∴．∵，∴．②當(dāng)，即時(shí)，可知AC=BC，在和中，，∴(AAS)，∴，∴．故答案為：1；（2）解：．理由：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由折疊得．∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：由折疊得，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，，，由（2）知，∴，，是的中點(diǎn)，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴，解得（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查折疊的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)折疊性質(zhì)找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5，那么稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”．（概念感知）（1）如圖1，在中，，，，試判斷是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．（問(wèn)題探究）（2）如圖2，是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，連AB接AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)C恰好是的重心，求的值．（拓展提升）（3）如圖3，，且直線與之間的距離為3，“準(zhǔn)黃金”的“金底”BC在直線上，點(diǎn)A在直線上．，若是鈍角，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)D．①當(dāng)時(shí)，則_________；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)B落在直線上時(shí)，求的值．解析：（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形，理由見解析；（2）；（3）①；②．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，先求出AD的長(zhǎng)度，然后得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，由“金底”的定義得，設(shè)，，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，根據(jù)比值即可求出的值；（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的長(zhǎng)度，由相似三角形的性質(zhì)，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，則，即可求出DF的長(zhǎng)度，然后得到CD的長(zhǎng)度；②由①可知，得到CE和AC的長(zhǎng)度，分別過(guò)點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得到，然后求出CD和AD的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，∵，，∴．∴．∴是“準(zhǔn)黃金”三角形．（2）∵點(diǎn)A，D關(guān)于BC對(duì)稱，∴，．∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，∴．不防設(shè)，，∵點(diǎn)為的重心，∴．∴，．∴．∴．（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如圖：由題意得AE=3，∵，∴BC=5，∵，∴，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，∴，∴；∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，∴△ACE∽△DAF，∴，設(shè)，則，∵∠ACD=30°，∴，∴，解得：∴．②如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，則．∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，∴．∴．∵，∴．∴．∴，．分別過(guò)點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，∴，，，則．∵，∴．∴．∴設(shè)，，．∵，∴，且．∴．∴．∴，解得．∴，．∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了重心的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答．13．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：（問(wèn)題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，則a=．（操作）將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過(guò)點(diǎn)B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍．（應(yīng)用）P是圖③中圖象G上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時(shí)m的取值范圍．解析：【問(wèn)題】：a=；【操作】：y=；【探究】：當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【詳解】試題分析：【問(wèn)題】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先寫出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據(jù)圖象可得對(duì)應(yīng)取值的解析式；【探究】：令y=0，分別代入兩個(gè)拋物線的解析式，分別求出四個(gè)點(diǎn)CDEF的坐標(biāo)，根據(jù)圖象呈上升趨勢(shì)的部分，即y隨x增大而增大，寫出x的取值；【應(yīng)用】：先求DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積求高的取值h≥1；分三部分進(jìn)行討論：①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，根據(jù)h≥1，列不等式解出即可；②如圖③，作對(duì)稱軸由最大面積小于1可知：點(diǎn)P不可能在DE的上方；③P與O或A重合時(shí)，符合條件，m=0或m=4．試題解析：【問(wèn)題】∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如圖①，拋物線：y=（x﹣2）2﹣，對(duì)稱軸是：直線x=2，由對(duì)稱性得：A（4，0），沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣（x﹣2）2+如圖②，圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=；【探究】：如圖③，由題意得：當(dāng)y=1時(shí)，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F(xiàn)（2+，1），當(dāng)y=1時(shí)，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE?h≥1，∴h≥1；①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如圖③，作對(duì)稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴當(dāng)點(diǎn)P不可能在DE的上方；③∵M(jìn)N=1，且O（0，0），a（4，0），∴P與O或A重合時(shí)，符合條件，∴m=0或m=4；綜上所述，△PDE的面積不小于1時(shí)，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．14．我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．（1）概念理解:如圖1,在中,,.,試判斷是否是“等高底”三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）問(wèn)題探究:如圖2,是“等高底”三角形,是“等底”，作關(guān)于所在直線的對(duì)稱圖形得到,連結(jié)交直線于點(diǎn).若點(diǎn)是的重心,求的值.（3）應(yīng)用拓展:如圖3,已知,與之間的距離為2.“等高底”的“等底”在直線上,點(diǎn)在直線上,有一邊的長(zhǎng)是的倍.將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到,所在直線交于點(diǎn).求的值.解析：（1）證明見解析；（2）（3）的值為,,2【解析】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線CB于點(diǎn)D，可以得到AD=BC=3，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC，再由ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，得到∠ADC=90°，由重心的性質(zhì)，得到BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論即可：①當(dāng)AB=BC時(shí)，再分兩種情況討論；②當(dāng)AC=BC時(shí)，再分兩種情況討論即可．詳解：（1）是．理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線CB于點(diǎn)D，∴ΔADC為直角三角形，∠ADC=90°．∵∠ACB=30°，AC=6，∴AD=AC=3，∴AD=BC=3，即ΔABC是“等高底”三角形．（2）如圖2，∵ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，∵ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴∠ADC=90°．∵點(diǎn)B是ΔAA′C的重心，∴BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，∴CD=3x，∴由勾股定理得AC=x，∴．（3）①當(dāng)AB=BC時(shí)，Ⅰ．如圖3，作AE⊥l1于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．∵“等高底”ΔABC的“等底”為BC，l1//l2，l1與l2之間的距離為2，AB=BC，∴BC=AE=2，AB=2，∴BE=2，即EC=4，∴AC=．∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到ΔA'B'C，∴∠CDF=45°．設(shè)DF=CF=x．∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．Ⅱ．如圖4，此時(shí)ΔABC是等腰直角三角形，∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到ΔA'B'C，∴ΔACD是等腰直角三角形，∴CD=AC=．②當(dāng)AC=BC時(shí)，Ⅰ．如圖5，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形．∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到ΔA′B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．Ⅱ．如圖6，作AE⊥l1于點(diǎn)E，則AE=BC，∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，∴ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到ΔA′B′C時(shí)，點(diǎn)A′在直線l1上，∴A′C∥l2，即直線A′C與l2無(wú)交點(diǎn)．綜上所述：CD的值為，，2．點(diǎn)睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題．考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀理解能力．解題的關(guān)鍵是對(duì)新概念“等高底”三角形的理解．15．（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，的頂點(diǎn)在正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比應(yīng)用）如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說(shuō)明理由．（3）（拓展延伸）如圖3，，，，平分，，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．解析：（1）（2）結(jié)論不成立．（3）【分析】（1）結(jié)論：．根據(jù)正方形性質(zhì)，證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（2）結(jié)論不成立．．連接，在上截取，連接．根據(jù)菱形性質(zhì)，證，四點(diǎn)共圓，分別證是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．根據(jù)勾股定理，可得到，由，得四點(diǎn)共圓，再證是等邊三角形，由（2）可知：，故可得．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．．理由：連接，在上截取，連接．∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．在中，，∵，∴，解得（舍棄）或，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∵平分，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，由（2）可知：，∴．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì).綜合運(yùn)用各個(gè)幾何性質(zhì)定理是關(guān)鍵；此題比較綜合.16．小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，與恰好為對(duì)頂角，，連接，，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接（如圖（2），小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若，則點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）若，求的長(zhǎng)．解析：（1）是；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通過(guò)AB=BD求出∠A=∠ADB，緊接著根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，據(jù)此進(jìn)一步得出∠ADB=∠FDE，最終通過(guò)證明∠ADB+∠EDC=90°證明結(jié)論成立即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可以得出90°，90°，從而可得，接著證明出，利用可知，從而推出，最后通過(guò)證明得出，據(jù)此加以分析即可證明結(jié)論；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，緊接著，繼續(xù)通過(guò)勾股定理求出，最后進(jìn)一步證明，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，從而求出，最后進(jìn)一步分析求解即可.【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，∵∠ACB=∠ECD，∴∠A=∠E，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，在中，∵F是斜邊CE的中點(diǎn)，∴FD=FE=FC，∴∠E=∠FDE，∵∠A=∠E，∴∠ADB=∠FDE，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD⊥DF，結(jié)論成立，故答案為：是；（2）結(jié)論成立，理由如下：∵，∴90°，90°，∴，∵，∴．∴．又∵，∴．∴．又90°，90°，，∴，∴．∴．∴F為的中點(diǎn)；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）可知，∴，又∵，在中，，∴，在中，，在與中，∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.17．（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過(guò)E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．解析：（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）證得∠BEC=∠EAD，證明Rt△AED∽R(shí)t△EBC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）可知，證得BC=GM，證明△BCH≌△GMH（AAS），可得出結(jié)論；（3）在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過(guò)點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，證明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明△DEF∽△ECN，則，得出，則BM=CN，證明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽R(shí)t△EBC，∴；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）證明：如圖2，在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過(guò)點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．實(shí)際問(wèn)題：某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了投資活動(dòng)．方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額．某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？問(wèn)題建模：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？模型探究：我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問(wèn)題的方法．探究一：（1）從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？表①所取的2個(gè)整數(shù)1，21，3，2，32個(gè)整數(shù)之和345如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？表②所取的2個(gè)整數(shù)1，21，3，1，42，32，43，42個(gè)整數(shù)之和345567如表②，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果．（3）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．（4）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．探究二：（1）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．探究三：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．歸納結(jié)論：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．問(wèn)題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有______種不同的優(yōu)惠金額．拓展延伸：（1）從1，2，3，…，36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果？（寫出解答過(guò)程）（2）從3，4，5，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．解析：探究一：（3）；（4）（，為整數(shù)）；探究二：（1）（2）；探究三：歸納結(jié)論：（為整數(shù)，且，＜＜）；問(wèn)題解決：；拓展延伸：（1）個(gè)或個(gè)；（2）．【分析】探究一：（3）根據(jù)（1）（2）的提示列表，可得答案；（4）仔細(xì)觀察（1）（2）（3）的結(jié)果，歸納出規(guī)律，從而可得答案；探究二：（1）仿探究一的方法列表可得答案；（2）由前面的探究概括出規(guī)律即可得到答案；探究三：根據(jù)探究一，探究二，歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)的和的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)上面探究歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和的結(jié)果數(shù)；問(wèn)題解決：利用前面的探究計(jì)算出這5張獎(jiǎng)券和的最小值與最大值，從而可得答案；拓展延伸：（1）直接利用前面的探究規(guī)律，列方程求解即可，（2）找到與問(wèn)題等價(jià)的模型，直接利用規(guī)律得到答案．【詳解】解：探究一：（3）如下表：取的2個(gè)整數(shù)2個(gè)整數(shù)之和所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，8，9也就是從3到9的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是9，所以共有7種不同的結(jié)果．（4）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和的最小值是3，和的最大值是所以一共有種．探究二：（1）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，如下表：取的3個(gè)整數(shù)1,2,31,2,41,3,42,3,43個(gè)整數(shù)之和6789從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有4種，（2）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和的最小值是6，和的最大值是12,所以從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有7種，從而從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和的最小值是6，和的最大值是所以一共有種，探究三：從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和最小是最大是，所以這4個(gè)整數(shù)之和一共有5種，從1，2，3，4，5，6這6個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和最小是最大是，所以這4個(gè)整數(shù)之和一共有9種，從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和的最小值是10，和的最大值是，所以一共有種不同的結(jié)果．歸納結(jié)論：由探究一，從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有種．探究二，從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有種，探究三，從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果．從而可得：從1