…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※第=page22頁，共=sectionpages22頁湖南大學(xué)附屬中學(xué)高二期中考試數(shù)學(xué)一、單選題1.設(shè)集合M=1,2,N=x∈A．1 B．1,2 C．2,3 D．1,2,32.已知定義在1?m，2m?3上的偶函數(shù)fx，且當(dāng)x∈0，2m?3時(shí)，fx單調(diào)遞減，則關(guān)于xA．1，32 C．32，53.已知函數(shù)f(x)=log13(xA．[?3，1) B．[?4，2) C．(?1，4] D．(1，6]4.已知函數(shù)f(x)=sin(2ax+φ)(a>0，0<φ<π2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(A．32 B．83 C．2125.己知平面向量a，b，c均為單位向量，若a與b的夾角為60°，則c?A．2+3 B．4 C．2+76.已知i為虛數(shù)單位，則2+iA．1+2i B．1?2i C．2?i7.如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N，P分別是BC，MN的中點(diǎn)．設(shè)OA=a，OB=b，A．14a+C．13a+8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0，b>0的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在C的右支上，且MFA．52 B．62 C．32二、多選題9.6個(gè)相同的分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．記第一次取出球的數(shù)字為X1，第二次取出球的數(shù)字為X2．設(shè)X=X1XA．PX1>C．事件“X1=6”與“X=0”互斥 D．事件“X210.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=1A．當(dāng)λ=1時(shí)，△ABB．當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P?AC．當(dāng)λ=12時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)PD．當(dāng)μ=12時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A11.已知拋物線y2=2pxp>0與直線2x?y?4=0交于AA．若直線過拋物線的焦點(diǎn)，則p=4B．若線段AB的長度為8，則p=3C．當(dāng)p=4時(shí)，拋物線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為5D．無論p為何值，拋物線上都恰有三個(gè)點(diǎn)M，使得△ABM為等腰三角形三、填空題12.設(shè)n為正整數(shù)．從1，2，?，n中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)a，若事件“2<a≤4”發(fā)生的概率為2313.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A?2，0，B2，0，離心率為32.點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x14.三個(gè)“臭皮匠”在閱讀一本材料時(shí)發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方程．即過點(diǎn)Px0,y0,z0且一個(gè)法向量為n=a,b,c的平面α的方程為ax?x0+by?y0+cz?z0=0，過點(diǎn)四、解答題15.已知函數(shù)f(x)=ke(1)若函數(shù)g(x)=f(x)+x22?(kx?k+2)ex，且(2)若k≥1e16.已知函數(shù)f(x)=22(1)若函數(shù)f(x)的最小正周期為π4，求ω(2)若函數(shù)f(x)在(2π3，π17.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，滿足2acosB=b+2c，點(diǎn)D是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且（1）求角A的大??；（2）若AD為BC邊上的高，且a=62c（3）若AD為∠BAC的角平分線，求2a18.康百萬莊園，又名河洛康家，位于河南省鄭州市鞏義市康店鎮(zhèn)莊園路59號(hào)，始建于明朝中葉，明末清初初具規(guī)模.康百萬莊園是十七、十八世紀(jì)華北黃土高原封建堡壘式建筑的代表，被譽(yù)為“豫商精神家園”、“中原古建典范”，建筑面積64300平方米.莊園背依邙山，面臨洛水，因而有“金龜探水”的美稱，是全國三大莊園（康百萬莊園、劉氏莊園、牟氏莊園）之一，與山西晉中喬家大院、河南安陽馬氏莊園并稱“中原三大官宅”．2001年6月25日，康百萬莊園被中華人民共和國國務(wù)院公布為第五批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位．2005年，康百萬莊園被授予國家AAAA級(jí)旅游景區(qū)．近年來康百萬莊園成為越來越多人旅游之地，現(xiàn)為更好地提升旅游品質(zhì)，莊園風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對(duì)景區(qū)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分100分），根據(jù)評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿意度評(píng)分的平均數(shù)；（以區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）（2）估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿意度評(píng)分的中位數(shù)；（保留兩位小數(shù)）（3）莊園景區(qū)的工作人員采用分層抽樣的方法從評(píng)分在70,80、80,90的兩組中抽取6人，再從6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行交流，求抽取的2人評(píng)分分別在70,80和80,90內(nèi)各1人的概率，19.如圖所示，正四棱錐P?ABCD中，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．(1)證明：PD//平面AEC；(2)已知異面直線PD與AE所成角的余弦值為6513(i)求二面角P?AC?E的正弦值；(ii)在線段AD上是否存在點(diǎn)F，使EF⊥平面PBC．若存在，求AFAD20.如圖雙曲線C:x2a2?（1）求雙曲線C的方程．（2）直線l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn)且以線段PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)A．①證明：直線PQ過x軸上一定點(diǎn)M，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②若P,Q都在雙曲線的右支，求△APQ的面積的最小值．1-8:BCBDCBDD9:AC10.BD11.AC12.12和18414.215.（1）當(dāng)k=1時(shí)，g(x)=e2x+由x>0，得ex?1>0，令函數(shù)φ(x)=2e函數(shù)φ(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則當(dāng)x>0時(shí)，φ(x)>φ(0)=2>0，即因此函數(shù)g(x)在(0，+∞所以函數(shù)g(x)在(0，+∞)上的遞增區(qū)間為（2）不等式f(x)≥1+ln2x?ke2x≥1+只需證明e2xe≥1+ln2x令?(t)=ete?1?lnt，求導(dǎo)得?'則當(dāng)0<t<1時(shí)，?'(t)<0；當(dāng)t>1時(shí)，函數(shù)?(t)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，則e2xe≥1+ln2x16.（1）f(x)==2由函數(shù)f(x)的最小正周期為π4，得2πω（2）當(dāng)0<x<π3時(shí)，由函數(shù)f(x)的圖象在(0，π3)上存在對(duì)稱軸，得ω當(dāng)2π3<x<由函數(shù)f(x)在(2π32ωπ3?由32k?12≤k+當(dāng)k=0時(shí)，0<ω≤23；當(dāng)k=1時(shí)，1≤ω≤53；當(dāng)又ω>2，所以實(shí)數(shù)ω的取值范圍是[517.（1）由2acosB=b+2c，由正弦定理得∵A+B+C=π∴2sin∴sin∵B∈0,∵A∈0,（2）因?yàn)镾△ABC=1又a=62c由余弦定理得a2化簡可得a2?23所以△ABC的面積S△ABC（3）因?yàn)锳D為∠BAC的角平分線，且AD=1,A=因?yàn)镾△ABC所以12所以bc=b+c，又b+c≥2bc，可得bc≥2所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立，所以2a=2a≥3當(dāng)且僅當(dāng)a=12a且b=c=2，即又當(dāng)b=c=2,A=2π3故2asin18.（1）由頻率分布直方圖可知，平均數(shù)為55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84．（2）∵0.05+0.1+0.15=0.3<0.5，0.05+0.1+0.15+0.3=0.6>0.5，∴中位數(shù)落在80,90內(nèi)，令中位數(shù)為m，則0.3+m?80×0.03=0.5，解得（3）∵評(píng)分在70,80、80,90內(nèi)的頻率分別是0.15，0.3，∴在70,80中抽取0.150.15+0.3×6=2人，記為a，在80,90中抽取0.30.15+0.3×6=4人，記為A，B，C，從6人中隨機(jī)抽取2人，則有：a,b，a,A，a,B，a,C，a,D，b,A，b,B，b,C，b,D，A,B，A,C，A,D，B,C，B,D，C,D，共15個(gè)基本事件，設(shè)“選取的2人評(píng)分分別在70,80、80,90內(nèi)各1人”為事件M，則滿足條件M的有：a,A，a,B，a,C，a,D，b,A，b,B，b,C，b,D，共8個(gè)基本事件．∴PM∴選取的2人評(píng)分分別在70,80和80,90內(nèi)各1人的概率為81519.（1）連接AC，BD，AC∩BD=O，連接OE，因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，則OE//PD，因?yàn)镻D?平面AEC，EO?平面AEC，所以PD//平面AEC．（2）(i)因?yàn)镻O⊥平面ABCD，AC⊥BD，所以O(shè)P，OA，OB兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz，設(shè)OA=OB=22則P0，0，2t所以PD=0，?22又異面直線PD與AE所成角的余弦值為6513所以4+2t解得t=3，故P所以CA=設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為m=設(shè)平面ACE的法向量為n=則n?CA=42x=0n?設(shè)二面角P?AC?E的平面角為θ，觀察圖形可知θ為銳角，所以cosθ=(ii)設(shè)線段AD上是否存在點(diǎn)F，且AFAD因?yàn)镻0，0，23，C?22，0，0，A22設(shè)AF=λAD=λ因?yàn)镋F=?2又因?yàn)镃B=所以EF?所以?2所以λ=1當(dāng)λ=14時(shí)，EF⊥BC，EF⊥CP，CP∩BC=C，CP，BC?平面PBC，所以EF⊥平面PBC，所以當(dāng)AFAD=120.（1）∵雙曲線C:x2a2?∴2a=2，a=1，∵e=ca=c1∴雙曲線C：x2（2）①證明：∵直線l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn)且以線段PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線左頂點(diǎn)A?1