27/28專題2.1必要條件與充分條件教學(xué)目標(1)理解充分條件、必要條件與充要條件的概念；(2)掌握充分條件、必要條件與充要條件的判斷方法.教學(xué)重難點1.重點(1)充分條件、必要條件與充要條件的判斷方法；(2)由充分性、必要性求參數(shù)的取值范圍．2.難點(1)對充分條件、必要條件與充要條件概念的理解；(2)充要條件的證明．知識點01必要條件與性質(zhì)定理一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，稱____是____的必要條件，即?____.也就是說，一旦q不成立，p一定也不成立，即q對于p的成立是必要的．說明：q是p的必要條件，所謂“必要”，即q是p成立的必不可少的條件，缺其不可．【即學(xué)即練】1．從符號“”“”“”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：（1）；（2）a，b都是偶數(shù)是偶數(shù)；（3）；（4）n是偶數(shù)n是4的倍數(shù).2.下列“若p，則q”形式的命題中，是的必要條件的命題有（1）若是無理數(shù)，則是無理數(shù)．（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形面積相等．（3）若，則.（4）若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)．知識點02充分條件與判定定理一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，稱___是____的充分條件，即?_____.說明：若p?q，則p是q的充分條件，所謂“充分”，即要使q成立，有p成立就足夠了．【即學(xué)即練】1．已知，若p是q的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是；若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．2.已知p:x=0,q:xy=0,p是q的充分條件嗎？(2)已知p:x=1,q:則q是p的必要條件嗎？知識點03充要條件一般地，如果p?q，且q?p，那么稱____是____的充分且必要條件，簡稱___是__的充要條件，記作_____．【即學(xué)即練】“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件題型01用必要條件的語言表述定理【典例】將下面的性質(zhì)定理寫成“若p則q”的形式，并用必要條件的語言表述：(1)平面四邊形的外角和是360°；(2)在平面直角坐標系中，關(guān)于x軸對稱的兩個點的橫坐標相同．用必要條件的語言表述定理的一般步驟(1)分析定理的條件和結(jié)論；(2)將定理寫成“若p，則q”的形式；(3)利用必要條件的概念來表述定理．【變式】判斷下列各組中是否有p?q或q?p成立，并用必要條件的語言表述：(1)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；(2)p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；(3)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.題型02用充分條件的語言表述定理【典例】用充分條件的語言表述下面的命題：(1)若a＝－b，則|a|＝|b|；(2)若點C是線段AB的中點，則|AC|＝|BC|；(3)當(dāng)ac<0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．充分條件的兩種判斷方法(1)定義法①確定誰是條件，誰是結(jié)論；②嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件．(2)命題判斷法①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件．【變式】用充分條件的語言表述下面的命題：(1)若a＝－b，則|a|＝|b|；(2)若點C是線段AB的中點，則|AC|＝|BC|；(3)當(dāng)ac<0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．題型03定義法判斷充分性與必要性【典例】在下列各題中，分析p是q的什么條件：(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”中選出一種)(1)(2)(3)p:x>0,y>0,q:xy>0.利用定義判斷充分性與必要性：(1)若pq，但p,則稱p是q的充分而不必要條件；(2)若p不能推出q，但qp,則稱p是q的必要而不充分條件；(3)若pq，且qp(即)則說p是q的充要條件；(4)pq，且qp，則說p是q的既不充分也不必要條件.【變式1】設(shè)x，y都是實數(shù)，則“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【變式2】設(shè)m∈R，則“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要條件 B．即不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【變式3】設(shè)x∈R，則“x＞2”是“2xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件題型04集合法判斷充分性與必要性【典例1】“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】已知，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的充分條件．(2)若B?A，則p是q的必要條件．(3)若A＝B，則p是q的充要條件．(4)若A?B且BA，即AB，則p是q的充分不必要條件．(5)若B?A且AB，即BA，則p是q的必要不充分條件．(6)若AB且BA，則p是q的既不充分也不必要條件.【變式1】已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，則x∈A是x∈B的（）A．充分不要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分他不要條件【變式2】設(shè)p:-1<x<5,q:x<5,則p是q成立的()A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件題型05遞推法判斷充分性與必要性【典例】已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件．那么：(1)s是q的什么條件？(2)r是q的什么條件？(3)p是q的什么條件？由于邏輯聯(lián)結(jié)符號“?”“”“?”具有傳遞性，因此可根據(jù)幾個條件的關(guān)系，經(jīng)過若干次的傳遞，判斷所要判斷的兩個條件之間的依存關(guān)系．【變式1】已知是的充分非必要條件，的充要條件是，則是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式2】若甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要不充分條件，則下列說法正確的是（

）A．乙是甲的必要不充分條件 B．甲是丙的充分不必要條件C．丁是甲的既不充分也不必要條件 D．乙是丁的充要條件題型06充要條件的證明【典例】求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負根的充要條件是ac<0.證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論”?“條件”．【變式】已知x，y都是非零實數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.題型07充分、必要條件的探求【典例】關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)解的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．探求一個命題成立的充分、必要條件問題，首先要確定“條件”與“結(jié)論”及尋找“結(jié)論”的什么條件，其解題的通法是先推導(dǎo)出“結(jié)論”的充要條件，將充要條件“放大”即得“結(jié)論”的必要不充分條件，將充要條件“縮小”即得“結(jié)論”的充分不必要條件，將充要條件等價轉(zhuǎn)化仍得“結(jié)論”的充要條件.【變式1】“x﹣1＞0”成立的一個必要不充分條件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【變式2】已知p：0＜x＜1，那么p的一個充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x＜3【變式3】已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個必要條件是（）A．a(chǎn)+b≠0 B．a(chǎn)2+b2≠0 C．a(chǎn)3+b3≠0 D．1題型08充要條件的探求【典例】求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件．探求充要條件的兩種方法:(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．(2)將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．【變式】等式成立的充要條件是（

）A． B．C． D．【變式2】設(shè)，則“”的充要條件是（

）A．a(chǎn)，b中至少有一個為1 B．a(chǎn)，b都不為0C．a(chǎn)，b都為1 D．不都為1題型09由充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍【典例1】（2021秋?赫章縣期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a(chǎn)≤0或a≥1【典例2】已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍時，先將p，q等價轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進行求解.【變式1】已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【變式2】如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要條件是12＜x＜3A．12＜a＜32 B．12≤a≤32 C．題型10與充分、必要條件相關(guān)的數(shù)學(xué)文化題【典例】《墨經(jīng)》上說：“小故，有之不必然，無之必不然．體也，若有端．大故，有之必然，若見之成見也．”其中“無之必不然”表述的邏輯關(guān)系一定是（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式】在中國傳統(tǒng)的十二生肖中，馬?牛?羊?雞?狗?豬為六畜，則“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖屬于六畜”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型11充分、必要條件與集合的交匯題【典例】已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.充分、必要條件與集合的交匯涉及各種題型，但更多的是以解答題的形式出現(xiàn)，往往其中一部分考查集合運算，另一部分考查充分條件、必要條件，對于這類題型，一般采用各個擊破法求解.【變式】已知集合或，．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．單選題1.“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．使成立的一個充分條件是（

）A． B． C． D．3．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知集合，集合，且是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．已知和，且p是q的必要條件，則實數(shù)m的值為（

）A．0 B．2或 C．或 D．0或或【答案】D【解析】解法1

．因為p是q的必要條件，所以．當(dāng)，即時，符合題意；當(dāng)時，由，得或，解得或．綜上所述，m的值為0或或．解法2（代入法）

，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，；當(dāng)時，，均滿足題意．6．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”．其名篇“但使龍城飛將在，不教胡馬度陰山”（人在陣地在，人不在陣地在不在不知道），由此推斷，胡馬度過陰山是龍城飛將不在的（

）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件7．已知p:或，，若是的必要不充分條件，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8.下列命題中，為假命題的是（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的充分條件C．“”的充要條件是“” D．“”是“”的必要條件多選題9.設(shè)，，下列說法正確的是（

）A．若，則是的充分不必要條件B．若，則是的充分不必要條件C．若，則是的充分必要條件D．若，，則是的既不充分也不必要條件10．p是q的充分不必要條件，q是r的必要不充分條件，r是s的充要條件，p是r的既不充分也不必要條件，則（

）A．s是q的必要不充分條件B．r是q的充分不必要條件C．q是s的充要條件D．p是s的既不充分也不必要條件11．下列說法正確的是（

）A．兩個三角形全等是這兩個三角形面積相等的充分不必要條件B．設(shè)，是實數(shù)，則“”是“”的必要而不充分條件C．設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的充要條件是填空題12.若，則是的條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）13．已知集合或,，若是的充分不必要條件，則a的取值范圍是.14.在下列所示電路圖中，下列說法正確的是.（填序號）.（1）如圖①所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)閉合是奵泡亮的必要不充分條件.解答題15.已知集合．(1)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．(2)是否存在實數(shù)a，使得“”是“”的充要條件？若存