2/37專題03玩轉(zhuǎn)抽象函數(shù)問題的八大題型題型一：抽象函數(shù)的定義域 4題型二：抽象函數(shù)求值 6題型三：抽象函數(shù)的值域 9題型四：抽象函數(shù)的解析式 11題型五：抽象函數(shù)的單調(diào)性 14題型六：抽象函數(shù)的奇偶性 17題型七：抽象函數(shù)的對稱性 22題型八：抽象函數(shù)的周期性（拓展） 25【知識點綜述】1.抽象函數(shù)的概念所謂抽象函數(shù)是指用函數(shù)符號（如表示），卻沒有給出具體解析式的函數(shù).2.周期函數(shù)（拓展）(1)定義：設(shè)函數(shù)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于任意，都有恒成立，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：若函數(shù)存在周期，則它有無數(shù)個周期，所有周期的絕對值中最小的那個正數(shù)（如果存在），叫做這個函數(shù)的最小正周期.3．抽象函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域：求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則.在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi).=1\*GB3①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．=2\*GB3②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．(2)周期性（拓展）；；；（為常數(shù)）；(3)對稱性：對稱軸：或者關(guān)于對稱；對稱中心：或者關(guān)于對稱；特別地，如果同時關(guān)于對稱，又關(guān)于對稱，則的周期4.單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結(jié)合解不等式問題(1)在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；(2)在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（變號加絕對值）；(3)關(guān)于對稱，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；關(guān)于對稱，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；(4)關(guān)于對稱，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；關(guān)于對稱，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（不變號加絕對值）；5.抽象函數(shù)的模型（1）正比例函數(shù)模型：，對應(yīng)：；(2)反比例函數(shù)模型：,對應(yīng):.(3)一次函數(shù)模型:模型1：若，則；模型2：若，則為奇函數(shù)；模型3：若則；模型4：若則；(4)二次函數(shù)模型：，對應(yīng)：；(5)三次函數(shù)模型：，對應(yīng)：(6)冪函數(shù)模型：模型1：,對應(yīng)：；模型2：，對應(yīng)：.(7)指數(shù)函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第一冊第三章）:模型1：,對應(yīng)：（其中）；模型2：，對應(yīng)：（其中）；模型3：，對應(yīng)：；模型4：，對應(yīng)：.(8)對數(shù)函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第一冊第四章）：模型1：，對應(yīng)：；模型2：，對應(yīng)：;模型3：，對應(yīng)：；模型4：,對應(yīng)：，則模型5：，對應(yīng)：.(9)正弦函數(shù)模型供提前了解，詳見必修第一冊第四章）：：，對應(yīng)：，來源于；（10）余弦函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第二冊第一章）：模型1：,對應(yīng)：，則模型2：，對應(yīng)：；模型3：，對應(yīng)：.（11）正切函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第二冊第一章）：,對應(yīng)：.題型一：抽象函數(shù)的定義域若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定義域；若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定義域．1．（24-25高一上·山東濟寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的定義域，對于函數(shù)，可得出關(guān)于的不等式，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，即，可得，故函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域為.故選：D.2．（24-25高二下·吉林·期末）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出的定義域，再結(jié)合，從而可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域為，有意義，則得，解得，有意義，需滿足且，即且，所以函數(shù)的定義域為.故選：B.3．（24-25高二上·廣東陽江·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的定義域求得函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)的定義域即可.【詳解】的定義域為，由，得，因此的定義域為，所以函數(shù)的自變量滿足且，得，即函數(shù)的定義域為.故選：B4．（24-25高一上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對于函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得所求函數(shù)的定義域.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域為，故選：C.5．（24-25高一上·江西贛州·期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】由函數(shù)的定義域為，可得，即的定義域為.【詳解】函數(shù)的定義域為，，則，，函數(shù)的定義域為.6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為．【答案】【分析】先求得的范圍，進而可得的定義域為，利用，進而求得函數(shù)的定義域.【詳解】因為由，得，所以的定義域為．由，得，所以函數(shù)的定義域為．題型二：抽象函數(shù)求值一般采用賦值法，0,1，x,-x是常見的賦值手段.7．（24-25高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若對任意的，函數(shù)滿足，則（

）A．6 B．4 C．2 D．0【答案】D【分析】利用賦值法即可求解.【詳解】令，則，解得，令，則，故，故選：D8．（24-25高三上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)的定義域為，，，都有，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令可得，令可得，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)，時，，所以；令得，所以；，，，…，.故選：C.9．（24-25高三上·廣東江門·階段練習(xí)）函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，，均有，且，則（

）A．1014 B．1012 C．2024 D．2025【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法可得，由此計算得解.【詳解】依題意，對于，取，得，而，因此，所以.故選：B10．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：，，，若，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【詳解】依題意，因為，則，令，則，因為，所以，又因為，則，即，令，則，即，令，則，所以，故得，又；又，所以，即．故選：C．11．（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則以下結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，有，從而，A正確；令，得，故，B正確；由題意得，，即，C正確；令，則，，滿足，但，即不滿足，D錯誤.故選：D.12．（2025·浙江紹興·三模）已知定義在R上的函數(shù)滿足且，則．【答案】【詳解】令，所以，所以，即，，……，所以，以上式子相加可得：，所以，所以.13．（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則.【答案】2026【分析】法一：由題意利用列舉法寫出函數(shù)值，整理等式可得遞推公式，根據(jù)累加法，可得答案；法二：由題意利用列舉法寫出函數(shù)值，設(shè)出函數(shù)解析式，利用等式檢驗，可得答案.【詳解】法一：由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，由，令，則；則，由.法二：由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，由，令，則；由，令，則；設(shè)，則，，即，符合題意，所以.題型三：抽象函數(shù)的值域求解方法有二：一是借助函數(shù)圖象的變換求解，如函數(shù)圖象左右平移，其值域不變；函數(shù)圖象上下平移，其值域也相應(yīng)平移相同個單位；二是利用賦值法求解.14．（24-25高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域和值域分別為和，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】令，求得，得到的定義域為，再結(jié)合函數(shù)圖象變換，得到與函數(shù)的值域相同，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的定義域和值域分別為和，可得和，令，解得，所以函數(shù)的定義域為，又由函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的圖象，所以函數(shù)與函數(shù)的值域相同，即.故選：D.15．(多選)（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圖象變換判斷AC；求出函數(shù)值域判斷BD.【詳解】對于A，的圖象可看作由的圖象向左平移一個單位得到的，值域不變，A正確；對于B，由，得，即的值域為，B錯誤；對于C，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，為，C正確；對于D，由，得，即的值域為，D錯誤.故選：AC16．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則函數(shù)的值域為.【答案】【分析】函數(shù)可由的圖象向左平移得到，由此知的值域.【詳解】因為函數(shù)的圖象可看作由的圖象向左平移一個單位得到的，故值域不變，所以函數(shù)的值域為.17．（24-25高二下·浙江麗水·期末）已知定義在上的函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的關(guān)系，結(jié)合值域的定義分析即可【詳解】函數(shù)的圖象向左平移3個單位得到的圖象，因此函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域是.18．（24-25高三下·重慶·階段練習(xí)）已知滿足，且，則的值域為【答案】【分析】根據(jù)題意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，且，令，可得，因為，可得，再令，可得，所以，令，可得，即，再令，可得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的值域為.19．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）已知偶函數(shù)的定義域為，且，則的值域為.【答案】【分析】令可得出，令結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的解析式，由此可得出函數(shù)的值域.【詳解】對，令，則，解得；對，令，則，又為偶函數(shù)，，故，解得。又，故其值域為.題型四：抽象函數(shù)的解析式主要方法有二：一是方程法，即構(gòu)造關(guān)于函數(shù)(如)的方程（組），通過解方程（組）即得所求函數(shù)（如）的解析式；二是模型法，即結(jié)合所給條件確定相應(yīng)函數(shù)的模型，再求出其待定系數(shù)，即得函數(shù)的解析式.20．（24-25高一上·廣東·期中）的定義域為，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，聯(lián)立消去，得，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值.故選：A21．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函數(shù)對任意滿足，則.【答案】【詳解】因為，以代替得：，得：.22．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，若，則函數(shù)的解析式為.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為，且滿足，取，得，所以，，，，以上各式相加得．23．（2025高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)具有下列性質(zhì)：①，，；②，，當(dāng)時，，則函數(shù)可能的一個解析式為．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)的運算性質(zhì)，求解函數(shù)解析式；【詳解】由②可知為上的遞減函數(shù)，且滿足①，故的一個解析式為．24．（24-25高二下·浙江·期末）定義在上的函數(shù)滿足且是一個增函數(shù)，請寫出滿足條件的一個函數(shù).（寫出一個即可）【答案】（只需符合即可）.【分析】令，可得，推導(dǎo)出函數(shù)為奇函數(shù)，然后驗證滿足題設(shè)條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足，則，令，可得，令可得，由題意可得，令，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，可取，則，滿足要求，故滿足題意.故答案為：（只需符合即可）.25．（2025·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)定義域為R的函數(shù)滿足：，都有且（a為常數(shù)），則函數(shù)．【答案】【分析】運用賦值法可求解.【詳解】由①，在①中，令可得②，在②中，令，則③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，則由③④⑤⑥可得，，即，因，則.26．（2025高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)滿足，，且，則.【答案】【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的關(guān)系，再利用累加法結(jié)合等差數(shù)列前項和公式即可得解．【詳解】令，則，所以．令，則，所以．令，，則，所以．令，，則，所以．當(dāng)時，，則．當(dāng)時，上式也成立，所以，所以．題型五：抽象函數(shù)的單調(diào)性(1)若給出的是“和型”抽象函數(shù)…，判斷符號時要比要變形為，或變形為。(2)若給出的是“積型”抽象函數(shù)…，判斷符號時要比要變形為，或變形為.27．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知fx是定義在R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)，.(1)若，求，的值.(2)若x>0時恒有，試判斷函數(shù)fx單調(diào)性，并說明理由.【分析】（1）取，可得，取x=0，，解得，取，解得，即可得出答案.（2）由題意可知，設(shè)，令，則，作差，進而可得答案.【詳解】解：（1）取，則，，取，則，，取，解得,則，取，則，解得，（2）由題意可知，設(shè)，令，則，所以，所以，所以函數(shù)在R上為減函數(shù).28．（24-25高一下·貴州六盤水·期中）已知函數(shù)的定義域為，對任意，都滿足，且.當(dāng)時，，且.(1)求，的值；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；(3)若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【分析】（1）利用賦值法可得與；（2）利用賦值法可得，且當(dāng)時；（3）結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性可得不等式，即，根據(jù)二次函數(shù)最值可知，解不等式即可.【詳解】（1）由，則，又當(dāng)時，，則，；（2）令，則，即，當(dāng)時，，且，即，即在上恒成立，由，可知，令，，且，即，則，所以，即在上單調(diào)遞增；（3）由已知，又由（1）得，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以恒成立，又，即，解得.29．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)的定義域為，對任意正實數(shù)，都有，且當(dāng)時，．(1)求的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并證明；(3)若，求的取值范圍．【分析】（1）由賦值法即可求解，（2）利用單調(diào)性的定義即可求證，（3）由函數(shù)的單調(diào)性，列不等式即可求解.【詳解】（1）令，得，解得；（2）在0,+∞上單調(diào)遞減，證明如下：不妨設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在0,+∞上單調(diào)遞減；（3）由（2）知在0,+∞上單調(diào)遞減，若，即，所以，解得或，即的取值范圍是．題型六：抽象函數(shù)的奇偶性判斷抽象函數(shù)奇偶性的步驟：(1)驗證定義域的對稱性；(2)應(yīng)用賦值法構(gòu)造關(guān)于和的關(guān)系。(3)處理非標(biāo)準(zhǔn)自變量形式：若條件中出現(xiàn)如為奇函數(shù)的描述，需注意自變量替換規(guī)則：奇函數(shù)定義應(yīng)改寫為.30.湖北省武漢市問津教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．若，則實數(shù)x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)性，再由偶函數(shù)性質(zhì)變形不等式，然后由單調(diào)性化簡后求解．【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，化為，即，解得或，故選：D．31．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析其奇偶性和單調(diào)性，再解不等式即可.【詳解】令，則，且定義域為，所以為奇函數(shù)，因為函數(shù)在上均為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，所以原不等式可轉(zhuǎn)化為，即，由單調(diào)性可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，是解決本題的關(guān)鍵.32．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出的單調(diào)區(qū)間，由奇函數(shù)性質(zhì)分段求解不等式即可得出答案.【詳解】在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，得或或，解得或或，因此或，所以滿足的的取值范圍是.故選：D33．（24-25高三上·河北邢臺·期末）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，把轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合的單調(diào)性，得到，分離參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，由，可得，即，.因為是定義在R上的減函數(shù)，所以也是定義在R上的減函數(shù)，故，即.因為，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B34．（2025高二下·山東青島·競賽）已知是定義在上不恒為的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)為奇函數(shù)，得，然后根據(jù)為偶函數(shù)，得，然后通過對進行賦值進行求解即可.【詳解】由于為奇函數(shù)，可得：，令，得：，解得：；又為偶函數(shù)，則，令，得：.故選：A35.（2025·江蘇·二模）已知函數(shù)和的定義域均為.若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為是奇函數(shù)，則，令，可得，可得，在中令得，所以，在中令得，所以，所以.故選：D.36．（多選）（24-25高三下·重慶·階段練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)不是常值函數(shù)，當(dāng)時，，而且對任意的有，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則C．在單調(diào)遞減D．若，則不等式的解集為【答案】AB【詳解】對于A，令，則有或者，但是當(dāng)時，，與不是常值函數(shù)矛盾，故，A選項正確；對于B，令，則，，當(dāng)，則，故，，故，B選項正確；對于C，任取，令，則，于是，故在單調(diào)遞增，C選項錯誤；對于D，令可得：，于是函數(shù)是偶函數(shù)，又，于是原不等式可轉(zhuǎn)化為，又由在單調(diào)遞增可得：，解得：，D不正確，故選：AB.37．（23-24高一下·河北保定·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足：．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)若，求；(3)若，判斷并證明的單調(diào)性．【分析】（1）根據(jù)條件，通過賦值，得到，再賦值，即可證明結(jié)果；（2）通過賦值，得到，再利用（1）中結(jié)果，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)條件，直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義法，即可證明結(jié)果.【詳解】（1）是奇函數(shù)，證明如下：因為，令，得到，令，得到，即，所以是奇函數(shù).（2）令，得到，由（1）知是奇函數(shù)，所以.（3）在上單調(diào)遞增，證明如下：在上任取，令，則，又因為，而，所以，即，得到，所以在上單調(diào)遞增.38．（23-24高一上·山東·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，且．(1)求；(2)判斷的奇偶性，并說明理由；(3)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由．【分析】（1）利用賦值法即可求得；（2）利用賦值構(gòu)造或代換得到與關(guān)系，進而判斷函數(shù)奇偶性；（3）賦值構(gòu)造出表達(dá)式，再運用定義證明函數(shù)單調(diào)性.【詳解】（1）令，，可得，解得；令，，可得，解得.（2）為奇函數(shù)，理由如下：，而，得故在上是奇函數(shù)（3）當(dāng)時，，所以當(dāng)，則，得，又在上是奇函數(shù)，所以當(dāng)，則，設(shè)，則，所以，，故，在上單調(diào)遞減.題型七：抽象函數(shù)的對稱性1.對稱性：對稱軸：或者關(guān)于對稱；對稱中心：或者關(guān)于對稱；2.如果同時關(guān)于對稱，又關(guān)于對稱，則的周期3．單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結(jié)合解不等式問題①在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；②在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（變號加絕對值）.③關(guān)于對稱，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；關(guān)于對稱，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；④關(guān)于對稱，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；關(guān)于對稱，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（不變號加絕對值）；39．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)．則（

）A．2000 B．1999 C．4000 D．3999【答案】D【分析】由題意得，采用倒敘相加法即可求解.【詳解】函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)，所以，設(shè)則，兩式相加可得，解得，所以．故選：D.40．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于對稱．【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和函數(shù)的對稱性即可得到結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，所以.所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.41．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足．若方程有5個根，則這5個根之和為．【答案】15【分析】由條件可得對稱軸為，利用對稱的性質(zhì)可得到5個根的和為【詳解】定義在上的函數(shù)滿足，對稱軸為，方程的5個根滿足：這5個根之和為1542．（2026高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若函數(shù)與圖象的交點分別為，則交點的所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為.【答案】6【分析】利用函數(shù)的奇偶性以及對稱性分析計算，即可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象也關(guān)于對稱，所以函數(shù)與圖象的交點關(guān)于對稱，兩個函數(shù)有個交點，所以交點的所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為.43．（24-25高二下·山東青島·期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可證明函數(shù)關(guān)于點成中心對稱圖形，即可求得.【詳解】由函數(shù)，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以有，則，所以可得函數(shù)關(guān)于點成中心對稱圖形，因為函數(shù)的最大值為，最小值為，所以最大值點與最小值點關(guān)于點成中心對稱圖形，即.44．（24-25高二下·廣東云浮·期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)，且時，都有成立，則不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義得出單調(diào)性，再結(jié)合奇偶性及對稱性列不等式計算求解.【詳解】當(dāng)，且時，都有成立，則在R上單調(diào)遞增．又是定義在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱．由不等式，可得，解得，故不等式的解集為．45．（24-25高二下·山東臨沂·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則不等式的解集為【答案】【分析】根據(jù)已知及偶函數(shù)性質(zhì)得的圖象關(guān)于直線對稱，且，結(jié)合區(qū)間單調(diào)性和對稱性求不等式的解集.【詳解】因為定義域為R