27/28專題3函數(shù)的單調(diào)性和最值教學(xué)目標(biāo)1.能求函數(shù)的單調(diào)性，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；2.掌握函數(shù)單調(diào)性的證明，會(huì)求常用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大與最小值.并能通過函數(shù)的單調(diào)性求待定參數(shù)的值。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)（1）利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性、尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）掌握函數(shù)的單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性及簡(jiǎn)單應(yīng)用；難點(diǎn)：（1）數(shù)形結(jié)合求單調(diào)性問題；（2）數(shù)形結(jié)合處理參數(shù)問題。知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的單調(diào)性（基礎(chǔ)）1．增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是(increasingfunction).2.減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是(decreasingfunction).3.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的．4.常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增二次函數(shù)（）對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減【即學(xué)即練】1.(2024·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________；2．(2025·和平區(qū)·天津市第二南開中學(xué)高一期中)函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是_____．知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明（重點(diǎn)）1.定義法：一般用于證明函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)函數(shù)，證明的單調(diào)區(qū)間為①：任取，，且；②：計(jì)算；③：對(duì)進(jìn)行有利于符號(hào)判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數(shù)；④：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數(shù)；⑤：指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性2．圖象法一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3．性質(zhì)法（1）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；（3）和的公共定義區(qū)間，有如下結(jié)論；增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減【即學(xué)即練】1．(2025·湖北武漢高一上聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=，證明函數(shù)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.2.證明:函數(shù)f(x)=1-知識(shí)點(diǎn)03函數(shù)的最大（?。┲担ㄖ仉y）1．最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：①，都有；②，使得 那么稱是函數(shù)的最大值；2．最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最小值；【即學(xué)即練】1.（24-25高一上·山西忻州·開學(xué)考試）二次函數(shù)在上的最大值為，對(duì)應(yīng)的的值為.知識(shí)點(diǎn)04復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（拓展）一般地，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，單調(diào)性如下表示，簡(jiǎn)記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)：：令：和增增增減__減增＿減減＿【即學(xué)即練】1．（2025·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．題型01用定義法判斷或證明函數(shù)單調(diào)性【典例】設(shè)函數(shù)，.判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；用定義法證明或判斷單調(diào)性1.函數(shù)單調(diào)性的證明目前只能用定義法，即利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，其步驟是固定的，即：取值、作差變形、定號(hào)、判斷.其關(guān)鍵是“作差變形”.2.對(duì)于有些函數(shù)的單調(diào)性證明，也可利用作商比較的策略，其步驟為：取值、作商變形、定號(hào)、判斷，其中定號(hào)是將商式與1比較.3.對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，利用定義判斷時(shí)，若參數(shù)取任意值時(shí)，無法確定作差（商）變形后的式子符號(hào)（或與1的關(guān)系），則說明函數(shù)的單調(diào)性與變量的取值有關(guān)，這時(shí)要注意對(duì)變量進(jìn)行分類討論.【變式1-1】（2024秋·高一課時(shí)練習(xí)）求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【變式1-2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）求證：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．題型02用性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性【典例】(2024臺(tái)州市黃巖中學(xué)高一月考)函數(shù)f(x)＝1－()A．在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增B．在(1，＋∞)上單調(diào)遞增C．在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減D．在(1，＋∞)上單調(diào)遞減性質(zhì)法判斷單調(diào)性借助圖表或者函數(shù)性質(zhì)可以直觀地顯現(xiàn)兩個(gè)變量的關(guān)系，便于我們分析和猜想，從而發(fā)現(xiàn)單調(diào)性．【變式2-1】(2024·全國高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增的是()A．y=-3x-1 B．y=C．y=x2-4x+5 D．y=|x-1|+2【變式2-2】(2023·太原市·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是()A． B． C． D．題型03求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間【典例】（2024·海南?？诮y(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法分解復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合或者討論得出單調(diào)性．【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．題型04運(yùn)用單調(diào)性求參數(shù)【典例】(2025·江西宜春市高安中學(xué)高一期末(理))已知函數(shù)f(x)=，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[3，4] B．[3，5] C．(3，4] D．運(yùn)用單調(diào)性求參數(shù)已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的一般方法:(1)將參數(shù)看成已知數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再與已知的單調(diào)區(qū)間比較,求出參數(shù)的取值范圍;(2)運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組),解不等式(組)求出參數(shù)的取值范圍,即將函數(shù)值之間的不等關(guān)系與自變量之間的不等關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.【變式4-1】(2025·四川省遂寧市第二中學(xué)校高一月考(文))已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【變式4-2】(2025·云南大理白族自治州·賓川四中高一開學(xué)考試)若是定義在上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【變式4-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型05運(yùn)用單調(diào)性解不等式【典例1】(2023·全國高一課時(shí)練習(xí))已知y=f(x)是定義在區(qū)間(-2，2)上單調(diào)遞減的函數(shù)，若f(m-1)>f(1-2m)，則m的取值范圍是_______.【典例2】(2024·全國高一課時(shí)練習(xí))已知f(x)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，則滿足的x的取值范圍是_______.利用函數(shù)單調(diào)性解不等式通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助該函數(shù)的單調(diào)性將方程或不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量取值的大小問題.【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2m－3)>f(－m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【變式5-2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是______．【變式5-3】（2024·云南保山高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù),滿足,且當(dāng)時(shí),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;(2)若,解不等式.題型06運(yùn)用單調(diào)性求最值或值域【典例1】(2024·廣東汕頭市高一期末)設(shè)函數(shù)，若對(duì)于，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【典例2】(2023·廣東廣州市高一期末)已知函數(shù)，若，，則的取值范圍是_________.運(yùn)用單調(diào)性求求最值或值域根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合或者分類討論．得出最值或值域?！咀兪?-1】(多選)（2025秋·云南怒江·高一校考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．的單調(diào)遞減區(qū)間為B．的最大值為C．的最小值為D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【變式6-2】（2025秋·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)的值，判斷函數(shù)在,上的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在,上的最大值和最小值．題型07含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題【典例1】（2024·陜西西安高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值【典例2】（2024·全國高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論．結(jié)合圖形，得出最值或值域?！咀兪?-1】（2024秋·寧夏銀川·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（）的最小值為–1．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最小值．【變式7-2】（2022秋·廣東深圳·高一深圳市高級(jí)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求時(shí)的最小值．題型08利用單調(diào)性解決不等式恒成立問題【典例】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.利用單調(diào)性解決不等式恒成立問題分析函數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)不等式的性質(zhì)，分離參數(shù)或者分離函數(shù)或者結(jié)合圖形，可解決參數(shù)問題?！咀兪?-1】（2024·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)校考期中）已知.(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，解不等式.【變式8-2】（2024·江蘇高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若對(duì)任意的時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型9分類討論法與函數(shù)的單調(diào)性【典例】（2024·全國·高三對(duì)口高考）設(shè)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于任意實(shí)數(shù)，則的最小值__________．分類討論法與函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)的特點(diǎn)，分成多段，分析每段特點(diǎn)，結(jié)合圖形及函數(shù)的單調(diào)性，討論出結(jié)果?！咀兪?-1】（2025·高一課時(shí)練習(xí)）定義一種運(yùn)算，設(shè)（t為常數(shù)），且，則使函數(shù)最大值為4的值是__________．題型10數(shù)形結(jié)合法與函數(shù)的單調(diào)性【典例】（2024·全國高三對(duì)口高考）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．?dāng)?shù)形結(jié)合法與函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)果?！咀兪?0-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．練基礎(chǔ)1．函數(shù)的圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是（） A． B． C． D．2．(2025·廣東廣州高一上聯(lián)考)函數(shù)在區(qū)間(2，4)上()A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減C．先減后增 D．先增后減3．（2024高二上·江蘇·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),a,b∈R,且a+b≤0,則下列選項(xiàng)正確的是()A.f(a)+f(b)≤f(a)+f(b) B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)≥f(a)+f(b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)5.(2024·深圳市高級(jí)中學(xué))已知函數(shù)是定義在的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()．A． B．C． D．6．（24-25高一下·廣西貴港·期中）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．7.(2024·浙江省淳安縣汾口中學(xué)高一開學(xué)考試)函數(shù)滿足條件：對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B．C．且 D．8．（多選）已知函數(shù)，則（） A． B．若，則 C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在的值域?yàn)?．（多選）（24-25高一下·山西大同·期末）已知函數(shù)（），下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)锽．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值沒有最大值C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?0．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.11.（2024?灤南縣校級(jí)月考）函數(shù)y=1x212.（2025高一上·河北保定·專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是.13．（2025?江蘇南通高一上期末）已知函數(shù)f(x)=x+1（1）證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．14．已知函數(shù).(1)將寫成分段函數(shù)的形式，并作出函數(shù)的圖象；(2)寫出其單調(diào)區(qū)間（不用證明）.練提升15．（2025·河南南陽·模擬預(yù)測(cè)）已知是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．16．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（23-24高一上·北京·期末）已知函數(shù)，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

A． B． C． D．18.(多選)（24-25高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，都有，則下列說法正確的是（

）A．