2/37專題06拓展:對(duì)勾函數(shù)、飄帶函數(shù)、V型函數(shù)、高斯函數(shù)的四大題型題型一：對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用 3題型二：飄帶函數(shù)的應(yīng)用 6題型三：V型函數(shù)的應(yīng)用 8題型四：高斯函數(shù)的應(yīng)用 9【知識(shí)點(diǎn)綜述】知識(shí)點(diǎn)01對(duì)勾函數(shù)1.定義形如的函數(shù)，其圖象類似于兩個(gè)勾，故稱之為對(duì)勾函數(shù).2.圖象與性質(zhì)解析式圖像定義域漸近線值域奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)【注】基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，即時(shí)，知識(shí)點(diǎn)02飄帶函數(shù)1.定義形如的函數(shù)，其圖象類似于兩根飄帶，故稱之為對(duì)勾函數(shù).2.圖象與性質(zhì)解析式圖象定義域漸近線值域奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)在是減函數(shù)知識(shí)點(diǎn)03V型函數(shù)1.定義函數(shù)fx=±kx+b+ck≠0圖象類似于符號(hào)“V”，故稱之為V2.圖象與性質(zhì)其圖象如下圖所示：性質(zhì)：其圖象的對(duì)稱軸方程為x=?bk,頂點(diǎn)坐標(biāo)為fx=fx=?kx+b+c4.廣義V型函數(shù)（推廣）:設(shè)ai為正的常數(shù),bi和c為常數(shù)i=1,2,?,n,我們稱函數(shù)fx=a1x?b1+a2x?b2+?+anx?bn+c為廣義V形函數(shù)(可以仍稱為V形函數(shù)).知識(shí)點(diǎn)04高斯函數(shù)1.定義記x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),例如:3.4=3,?2.1=?3,這一規(guī)定最早為數(shù)學(xué)家高斯所使用,故函數(shù)2.性質(zhì)（1）定義域:R；值域:Z.（2）不具有單調(diào)性、奇偶性、周期性.題型一：對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．2.已知函數(shù)，，，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.（多選）已知函數(shù)，下面有關(guān)結(jié)論正確的有（

）A．定義域?yàn)?B．值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱4．（多選）（24-25高一上·江西吉安·期中）形如的函數(shù)，我們稱之為“對(duì)勾函數(shù)”.“對(duì)勾函數(shù)”具有如下性質(zhì)：該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則的值可以是（

）A．4 B．12 C． D．5.設(shè)，則的取值范圍是______．6.已知函數(shù)，，則的值域?yàn)椋?．（24-25高一上·甘肅武威·期中）已知勾函數(shù)在和內(nèi)均為增函數(shù)，在和內(nèi)均為減函數(shù)．若勾函數(shù)在整數(shù)集合內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．8.設(shè)函數(shù)，，若，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________.9.形如的函數(shù)被我們稱為“對(duì)勾函數(shù)”.“對(duì)勾函數(shù)”具有如下性質(zhì)：該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則.10.（24-25高一上·廣東東莞·期中）因函數(shù)的圖象形狀象對(duì)勾，我們稱形如“”的函數(shù)為“對(duì)勾函數(shù)”該函數(shù)具有性質(zhì)：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，若對(duì)勾函數(shù)對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為.11.對(duì)勾函數(shù)是形如的函數(shù)，其中為自變量，是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，因其圖象而得名.已知對(duì)勾函數(shù)，在區(qū)間上的單調(diào)性是：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(1)若對(duì)勾函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)若對(duì)勾函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不必證明）并作出函數(shù)的圖象.

(3)已知對(duì)勾函數(shù)，，二次函數(shù)，設(shè)的最大值為，若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍12．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“對(duì)勾函數(shù)”的圖象與性質(zhì)后，研究了函數(shù)，發(fā)現(xiàn)：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(1)證明：是上的單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；(3)是否存在正實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)，的值域?yàn)?？若存在，求出a，b；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．（23-24高一上·云南昆明·階段練習(xí)）由于函數(shù)的圖象形狀如勾，因此我們稱形如“”的函數(shù)叫做“對(duì)勾函數(shù)”，該函數(shù)有如下性質(zhì)：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．(1)已知函數(shù)，，利用題干性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；(2)若對(duì)于，都有恒成立，求m的取值范圍．題型二：飄帶函數(shù)的應(yīng)用14.函數(shù)fx=4xABCD15.函數(shù)的大致圖象為（）A．B．C．D．16.函數(shù)的圖象不可能是()A． B． C． D．17.(2024-2025江西高三上期中)函數(shù)fx=2x?A.C.D.18.（多選）已知函數(shù)，則該函數(shù)（

）A．最大值為 B．最小值為1 C．沒有最小值 D．最小值為19.(多選)已知函數(shù)fx=1A.最大值為-3B.最小值為1C.沒有最小值D.最小值為-320.(2023-2024學(xué)年衢溫5+1聯(lián)盟高一上期中8題,單選題)已知函數(shù)fx=x?2x,gx=axA.0B.±12C.21.已知函數(shù)，其中，記為的最小值，求的單調(diào)遞增區(qū)間.22．（24-25高一上·安徽·期中）一般地，我們把形如的函數(shù)稱為飄帶函數(shù)，若飄帶函數(shù)在上的最小值、最大值分別為和1.(1)確定a，b的值；(2)解方程=0.題型三：V型函數(shù)的應(yīng)用23.已知函數(shù)fx=x2+24.(2024-2025學(xué)年浙南名校聯(lián)盟高一上期中16題)設(shè)函數(shù)fx=2x?a?425．（24-25高一上·云南昆明·期中）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都存在唯一，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”（其中）.(1)判斷是否為“型函數(shù)”?并說明理由；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是“型函數(shù)”，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若函數(shù)是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型四：高斯函數(shù)的應(yīng)用26．（23-24高一上·湖北咸寧·階段練習(xí)）對(duì)任意的，表示不超過x的最大整數(shù)，十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”，則（

）A． B． C． D．27．（24-25高一上·河南洛陽(yáng)·期中）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基人之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：.則不等式的解集為（

）A． B．C． D．28．（24-25高一上·湖北·期中）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有大于零的解之和為（

）A． B． C． D．29．（多選）（24-25高三上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令函數(shù)，以下結(jié)論正確的有（

）A． B．為偶函數(shù)C． D．的值域?yàn)?0．（23-24高一上·安徽·期末）高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美稱.函數(shù)稱為“高斯函數(shù)”，它的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，.下列結(jié)論正確的是（

）A．對(duì)，若，則 B．函數(shù)是上的奇的數(shù)C．對(duì)任意實(shí)數(shù)， D．對(duì)任意實(shí)數(shù)，31．（多選）（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：，，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”.下列說法正確的是（

）A．函數(shù)，的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)，的值域?yàn)镃．，D．不等式的解集為32．（多選）（24-25高一上·廣東·期中）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，如=-2，稱為高斯函數(shù)，記，則下列說法正確的是（

）A．B．的值域?yàn)镃．不等式的解集為D．所有滿足的點(diǎn)組成的區(qū)域的面積和為202433.(多選)（24-25高一上·湖南懷化·期中）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，如：又稱為“取整函數(shù)”.設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的解集為C．若，則D．34．(多選)（24-25高一上·山西·期末）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，在數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，則下列關(guān)于高斯函數(shù)的說法正確的是（

）A．在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)35．（24-25高一上·湖南·期中）已知為實(shí)數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù).則函數(shù)稱為取整函數(shù)，也叫高斯（Gaussian）函數(shù)，例如[3.5]=3，.(