專(zhuān)題3.1立體圖形與平面圖形（舉一反三講義） 【華東師大版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1幾何體及其構(gòu)成】 4【題型2幾何體中的點(diǎn)、棱、面】 5【題型3點(diǎn)、線(xiàn)、面、體間的關(guān)系】 6【題型4平行投影】 7【題型5中心投影】 7【題型6正投影】 8【題型7立體圖形的視圖】 9【題型8由視圖確定幾何體】 10【題型9幾何體的展開(kāi)圖】 11【題型10正方體的展開(kāi)圖】 12【題型11截一個(gè)幾何體】 13知識(shí)點(diǎn)1立體圖形的相關(guān)概念1.定義：有些幾何圖形（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)，這就是立體圖形．立體圖形除了按照柱體、錐體、球分類(lèi)，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面：圓柱、圓錐、球等；②沒(méi)有曲面：棱柱、棱錐等.2.棱柱的有關(guān)概念及其特征:①在棱柱中，相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)叫做棱，相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線(xiàn)叫做側(cè)棱，棱柱所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，棱柱的上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側(cè)面形狀都是平行四邊形．②棱柱的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個(gè)頂點(diǎn)，3n條棱，n條側(cè)棱，有n+2個(gè)面，n個(gè)側(cè)面．知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系定義：①體與體相交成面，面與面相交成線(xiàn)，線(xiàn)與線(xiàn)相交成點(diǎn)．②點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體．③點(diǎn)、線(xiàn)、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的運(yùn)動(dòng)組成了多姿多彩的圖形世界．知識(shí)點(diǎn)3投影、中心投影1.投影：物體在光線(xiàn)的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象．影子所在的平面稱(chēng)為投影面．2.中心投影：手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線(xiàn)可以看成是從一個(gè)點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線(xiàn)所形成的投影稱(chēng)為中心投影．中心投影的投影線(xiàn)相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為投影中心．3.中心投影的特征離點(diǎn)光源越近，影子越短離點(diǎn)光源越近，影子越短；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越長(zhǎng)（2）等長(zhǎng)物體平行于地面放置：離點(diǎn)光源越近，影子越離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)小于物體本身的長(zhǎng)度（3）點(diǎn)光源、物體邊緣的點(diǎn)以及其在物體的影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．知識(shí)點(diǎn)4平行投影1.平行投影：太陽(yáng)光線(xiàn)可以看成平行光線(xiàn)，平行光線(xiàn)所形成的投影稱(chēng)為平行投影．常見(jiàn)的平行光源：太陽(yáng)光、X光．2.正投影：平行光線(xiàn)與投影面垂直，這種投影稱(chēng)為正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回歸線(xiàn)上中午12點(diǎn)時(shí)的投影）．線(xiàn)段、平面圖形相對(duì)于投影面的位置不同時(shí)的正投影：圖形物體平行于投影面物體傾斜于投影面物體垂直于投影面線(xiàn)段一條與它本身等長(zhǎng)的線(xiàn)段與它本身不等長(zhǎng)的線(xiàn)段一個(gè)點(diǎn)平面圖形形狀大小不變（全等）的平面圖形與它本身不全等的平面圖形一條線(xiàn)段3.平行投影的特點(diǎn)（1）在同一時(shí)刻，不同物體的物高和影長(zhǎng)的比相等；（2）平行投影物體上的點(diǎn)與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)平行或在同一條直線(xiàn)上．知識(shí)點(diǎn)5三種視圖1.視圖：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱(chēng)為物體的視圖．2.三種視圖：通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖；從左面得到的視圖叫做左視圖；從上面得到的視圖叫做俯視圖．3.常見(jiàn)幾何體的三種視圖幾何體主視圖左視圖俯視圖知識(shí)點(diǎn)6三種視圖之間的關(guān)系及畫(huà)法1.位置關(guān)系：三種視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左上方，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在右上方．主視圖反映物體的長(zhǎng)和高，俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬．2.大小關(guān)系：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)相等，俯視圖與左視圖的寬相等，主視圖與左視圖的高相等．3.三種視圖的畫(huà)法（1）確定視圖方向；（2）將復(fù)雜幾何體分解為簡(jiǎn)單幾何體的組合（拼接、截取或挖?。唬?）根據(jù)三種視圖的定義及相互之間的位置關(guān)系畫(huà)出三種視圖．知識(shí)點(diǎn)7由三種視圖還原幾何體1.由三種視圖還原幾何體的步驟（1）分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的正面、上面和左面；（2)根據(jù)實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)綜合考慮整體圖形；（3)畫(huà)出圖形后驗(yàn)證.2.還原簡(jiǎn)單組合體示例知識(shí)點(diǎn)8正方體的展開(kāi)圖定義：正方體是特殊的棱柱，它的六個(gè)面都是大小相同的正方形，將一個(gè)正方體的表面展開(kāi)，可以得到11種不同的展開(kāi)圖，把它歸為四類(lèi)：一四一型有6種；二三一型有3種；二二二型有一種；三三型有1種．拓展：正方體展開(kāi)圖口訣：

①一線(xiàn)不過(guò)四;田凹應(yīng)棄之；

②找相對(duì)面：相間，“Z”端是對(duì)面；③找鄰面：間二，拐角鄰面知．【題型1幾何體及其構(gòu)成】【例1】（2425七年級(jí)上·寧夏銀川·階段練習(xí)）將下圖中的立體圖形分類(lèi)．柱體；錐體；球體．【變式11】（2425七年級(jí)上·福建漳州·期末）謎語(yǔ)是我國(guó)民間文學(xué)的一種特殊形式，古時(shí)稱(chēng)“度辭SōuCi”或“隱語(yǔ)”．謎語(yǔ)：“正看三條邊；側(cè)看三條邊；上看圓圈圈，就是沒(méi)直邊．”【變式12】（2425七年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，模塊①由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成，模塊②﹣⑥均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成．現(xiàn)在從模塊②﹣⑥中選出三個(gè)模塊放到模塊①上，與模塊①組成一個(gè)棱長(zhǎng)為3的大正方體．下列四個(gè)方案中，符合上述要求的是（

）A．模塊②，④，⑤B．模塊③，④，⑥ C．模塊②，③，⑥ D．模塊③，⑤，⑥【變式13】（2425七年級(jí)·福建漳州·期末）如圖，指出圖中物體分別是由哪些幾何體組成的．【題型2幾何體中的點(diǎn)、棱、面】【例2】（2425七年級(jí)上·山西晉中·期中）小華新買(mǎi)了一個(gè)如圖所示的筆筒，下列關(guān)于這個(gè)筆筒的描述錯(cuò)誤的是（

）A．筆簡(jiǎn)可以近似的看成六棱柱 B．它的所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等C．它有10個(gè)頂點(diǎn) D．側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方形【變式21】（2425六年級(jí)上·山東威?！て谥校┮粋€(gè)棱柱有10個(gè)面，且所有的側(cè)棱長(zhǎng)的和為64cm，底面邊長(zhǎng)都為3cm，它的側(cè)面積是【變式22】（2425六年級(jí)上·山東淄博·期中）一個(gè)n棱柱共有15條棱，則這個(gè)棱柱共有個(gè)面．【變式23】（2425七年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，從一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體的一頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1A．6 B．7 C．8 D．9【題型3點(diǎn)、線(xiàn)、面、體間的關(guān)系】【例3】（2425七年級(jí)上·廣東深圳·期中）直升飛機(jī)螺旋槳一般由4片槳葉組成，直升飛機(jī)起飛時(shí)，螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)向下推動(dòng)空氣，即向下施加一個(gè)作用力，直升飛機(jī)獲得豎直向上的力，使得飛機(jī)能懸浮在空中．若把螺旋槳看作一條線(xiàn)段，旋轉(zhuǎn)形成的痕跡體現(xiàn)了（

）A．面動(dòng)成體 B．線(xiàn)動(dòng)成面 C．點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn) D．面面相交成線(xiàn)【變式31】（2425七年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）筆尖在紙上快速滑動(dòng)寫(xiě)出了一個(gè)字母w，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為．【變式32】（2425九年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖下面的圖形繞直線(xiàn)l旋轉(zhuǎn)一周后得到的立體圖形是（

）A． B． C． D．【變式33】（2425七年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，某酒店大堂的旋轉(zhuǎn)門(mén)內(nèi)部由四塊寬2m、高3m的長(zhǎng)方形玻璃隔板組成．(1)每扇旋轉(zhuǎn)門(mén)旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是，這體現(xiàn)了動(dòng)成體；(2)求每扇旋轉(zhuǎn)門(mén)旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積（結(jié)果保留π）．【題型4平行投影】【例4】（2425九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）下列四幅圖形中，表示同一時(shí)刻、同一地點(diǎn)的兩棵小樹(shù)在陽(yáng)光下的影子的圖形可能是（

）A． B．C． D．【變式41】（2425九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（

）A．手電筒 B．蠟燭 C．太陽(yáng) D．臺(tái)燈【變式42】（2425九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）在太陽(yáng)光的照射下，一個(gè)矩形框在水平地面上形成的投影形狀不可能是（

）A．矩形 B．正方形 C．平行四邊形 D．圓【變式43】如圖所示是小紅在某天四個(gè)時(shí)刻看到一個(gè)棒及其影子的情況，那么她看到的先后順序是．【題型5中心投影】【例5】（2425九年級(jí)上·福建·期中）如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處走到B處的過(guò)程中他在該路燈下的影子（

）A．始終不變 B．由長(zhǎng)逐漸變短C．由短逐漸變長(zhǎng) D．先變短后變長(zhǎng)【變式51】（2425九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（

）A．手電筒 B．蠟燭 C．太陽(yáng) D．臺(tái)燈【變式52】（2425七年級(jí)上·四川眉山·期末）用發(fā)光的手電筒由遠(yuǎn)及近去照射吊在空中的小球，如圖，那么小球落在豎直墻面上的影子會(huì)（

）A．先變大后變小 B．逐漸變小C．逐漸變大 D．先變小后變大【變式53】一個(gè)立方體框架，用一支手電筒照上去，影子可能是種樣子．【題型6正投影】【例6】（2025·貴州六盤(pán)水·二模）正午時(shí)候，將一個(gè)足球踢到空中，在地面形成的影子是（

）A． B． C． D．【變式61】（2425九年級(jí)下·全國(guó)·期末）下列關(guān)于正投影的說(shuō)法正確的是（

）A．如果一個(gè)物體的正投影是圓，那么這個(gè)物體是球B．不同物體的正投影可以相同C．圓錐的正投影是等腰三角形D．圓紙片的正投影是圓【變式62】（2425九年級(jí)上·江西九江·階段練習(xí)）正六棱柱如圖放置，一束水平方向的平行光線(xiàn)照射此正六棱柱時(shí)的正投影是（

）A． B． C． D．【變式63】（2425九年級(jí)下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）把一塊正方形硬紙板P放在三個(gè)不同位置：（1）當(dāng)紙板P平行于投影面時(shí)，P的正投影與P的形狀、大?。ㄌ睢跋嗤被颉安幌嗤保?）當(dāng)紙板P傾斜于投影面時(shí)，P的正投影與P的形狀、大?。ㄌ睢跋嗤被颉安幌嗤保?）當(dāng)紙板P垂直于投影面時(shí)，P的正投影成為．【題型7立體圖形的視圖】【例7】（2425九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）魯班鎖起源于我國(guó)古代建筑中的榫卯結(jié)構(gòu)．圖（2）是六根魯班鎖圖（1）中的一個(gè)構(gòu)件，這個(gè)圖形的主視圖是（

）A． B． C． D．【變式71】（2425七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，這個(gè)幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．【變式72】如圖，是由6個(gè)棱長(zhǎng)都為1的小立方體塊搭建的幾何體．(1)請(qǐng)?jiān)谶呴L(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中畫(huà)出這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖；(2)這個(gè)幾何體的表面積（包括底部）是__________．【變式73】按要求完成下列視圖問(wèn)題．（其中的棱長(zhǎng)為1）(1)如圖1，它是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體，若在①的上面添加一個(gè)同樣大小的小正方體，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫(huà)出添加后所得的新幾何體的主視圖；(2)如圖1，無(wú)論是在①的上面添加一個(gè)同樣大小的小正方體或是將①取走，新幾何體的______視圖不變；(3)如圖2，它是由幾個(gè)相同的小正方體組成的幾何體的俯視圖，正方形中的數(shù)字表示該位置上小正方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫(huà)出這個(gè)幾何體的左視圖；(4)如圖2，若將數(shù)字1去掉，該幾何體的______視圖不變．【題型8由視圖確定幾何體】【例8】（2425九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖是小靜畫(huà)的一個(gè)幾何體的三視圖．(1)這個(gè)幾何體是由__________和__________這兩個(gè)立體圖形組成的；(2)求這個(gè)幾何體的體積．（結(jié)果保留π）【變式81】（2025·河南鄭州·三模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（

）A． B． C． D．【變式82】如圖是一個(gè)幾何體的三種視圖，選項(xiàng)中箭頭方向?yàn)橹饕暦较?，則這個(gè)幾何體是（）A．B． C．D．【變式83】（2425九年級(jí)上·河南焦作·期末）某幾何體是由大小相同的正方體木塊堆成，主視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體木塊數(shù)量是_____塊．【題型9幾何體的展開(kāi)圖】【例9】（2425七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）下面的圖形經(jīng)過(guò)折疊可以圍成的幾何體名稱(chēng)是．【變式91】（2425七年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）可以圍成一個(gè)棱柱的是（

）．A．B． C． D．【變式92】（2425七年級(jí)下·山東臨沂·期中）如圖是一個(gè)直三棱柱的展開(kāi)圖，其中三個(gè)面被標(biāo)示為甲、乙、丙．將此展開(kāi)圖折成直三棱柱后，判斷下列敘述正確的是（

）A．甲與乙平行，甲與丙垂直 B．甲與乙平行，甲與丙平行C．甲與乙垂直，甲與丙垂直 D．甲與乙垂直，甲與丙平行【變式93】（2425七年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期中）如圖是一個(gè)底面為正方形的四棱柱的展開(kāi)圖，圖上的數(shù)字代表棱柱各條棱的長(zhǎng)度（單位：cm），則該棱柱的表面積是cm2．

【題型10正方體的展開(kāi)圖】【例10】（2425七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）下圖中，經(jīng)過(guò)折疊能?chē)扇鐖D所示的幾何體的是（

）A． B．C． D．【變式101】（2425七年級(jí)上·四川成都·期中）一個(gè)正方體盒子的展開(kāi)圖如圖所示．如果要把它粘成一個(gè)正方體，那么與點(diǎn)F重合的點(diǎn)是．【變式102】（2425七年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖的四個(gè)平面圖形中，不是正方體的展開(kāi)圖的是（

）A． B． C． D．【變式103】（2425七年級(jí)上·山西晉中·期中）如圖，A、B、C、D四個(gè)位置中的某個(gè)正方形與實(shí)線(xiàn)部分的五個(gè)正方形組成的平面圖形，其平面圖形能拼成正方體的位置有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【題型11截一個(gè)幾何體】【例11】（2425七年級(jí)上·福建三明·期中）一物體外形是正方體，其內(nèi)部構(gòu)造不詳，用一個(gè)豎直的平面截這個(gè)物體，截