2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)解析幾何綜合測試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）直線與圓的位置關(guān)系已知直線(l:3x+4y-12=0)與圓(C:(x-2)^2+(y-1)^2=4)，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交且過圓心B.相交但不過圓心C.相切D.相離解析：圓(C)的圓心為((2,1))，半徑(r=2)。圓心到直線(l)的距離(d=\frac{|3\times2+4\times1-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|6+4-12|}{5}=\frac{2}{5}<2)，故直線與圓相交。將圓心((2,1))代入直線方程：(3\times2+4\times1-12=-2\neq0)，因此直線不過圓心，答案為B。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1)的離心率為(\frac{1}{2})，則(m)的值為（）A.3B.(\frac{16}{3})C.3或(\frac{16}{3})D.6解析：當(dāng)焦點(diǎn)在(x)軸上時，(a^2=m)，(b^2=4)，(c^2=m-4)，離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{m-4}}{\sqrt{m}}=\frac{1}{2})，解得(m=\frac{16}{3})；當(dāng)焦點(diǎn)在(y)軸上時，(a^2=4)，(b^2=m)，(c^2=4-m)，離心率(e=\frac{\sqrt{4-m}}{2}=\frac{1}{2})，解得(m=3)。綜上，(m=3)或(\frac{16}{3})，答案為C。雙曲線的漸近線雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的一條漸近線方程為(y=2x)，且過點(diǎn)((1,2\sqrt{3}))，則雙曲線的焦距為（）A.2B.4C.(2\sqrt{5})D.(4\sqrt{5})解析：漸近線方程(y=\frac{a}x=2x)，則(\frac{a}=2)，即(b=2a)。將點(diǎn)((1,2\sqrt{3}))代入雙曲線方程：(\frac{1}{a^2}-\frac{12}{b^2}=1)，聯(lián)立(b=2a)，解得(a^2=1)，(b^2=4)，則(c^2=a^2+b^2=5)，焦距(2c=2\sqrt{5})，答案為C。拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)(F)作直線交拋物線于(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，若(x_1+x_2=6)，則(|AB|=)（）A.6B.8C.10D.12解析：拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)(F(1,0))，準(zhǔn)線方程(x=-1)。由拋物線定義，(|AF|=x_1+1)，(|BF|=x_2+1)，則(|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+2=6+2=8)，答案為B。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線(y=kx+1)與橢圓(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1)恒有公共點(diǎn)，則(m)的取值范圍是（）A.((0,1))B.([1,5)\cup(5,+\infty))C.([1,+\infty))D.((0,5))解析：直線過定點(diǎn)((0,1))，若該點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，則直線與橢圓恒有公共點(diǎn)。當(dāng)(m>5)時，焦點(diǎn)在(y)軸上，需(\frac{0^2}{5}+\frac{1^2}{m}\leq1)，即(m\geq1)，故(m>5)；當(dāng)(0<m<5)時，焦點(diǎn)在(x)軸上，需(\frac{0^2}{5}+\frac{1^2}{m}\leq1)，即(m\geq1)，故(1\leqm<5)；綜上，(m\geq1)且(m\neq5)，答案為B。圓與圓的位置關(guān)系圓(C_1:(x-1)^2+(y-2)^2=4)與圓(C_2:(x+2)^2+(y+1)^2=9)的位置關(guān)系是（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切解析：圓心(C_1(1,2))，(C_2(-2,-1))，半徑(r_1=2)，(r_2=3)。圓心距(|C_1C_2|=\sqrt{(1+2)^2+(2+1)^2}=3\sqrt{2}\approx4.24)，且(r_2-r_1=1)，(r_1+r_2=5)，因?yàn)?1<3\sqrt{2}<5)，兩圓相交，答案為C。向量與解析幾何綜合已知點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，向量(\overrightarrow{AC}=(-2,3))，則向量(\overrightarrow{BC}=)（）A.((-1,3))B.((-3,2))C.((-3,4))D.((-1,4))解析：設(shè)(C(x,y))，則(\overrightarrow{AC}=(x-1,y-0)=(-2,3))，解得(x=-1)，(y=3)，故(C(-1,3))，(\overrightarrow{BC}=(-1-0,3-1)=(-1,2))，無正確選項(xiàng)（注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯誤，修正后應(yīng)為(\overrightarrow{BC}=(-1,2))）。軌跡方程動點(diǎn)(P(x,y))滿足(\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}=4)，則點(diǎn)(P)的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.線段解析：方程表示動點(diǎn)(P)到兩定點(diǎn)((1,0))和((-1,0))的距離之和為4，且(4>2)（兩定點(diǎn)距離），故軌跡為橢圓，答案為A。直線的傾斜角直線(x+\sqrt{3}y+1=0)的傾斜角為（）A.(30^\circ)B.(60^\circ)C.(120^\circ)D.(150^\circ)解析：直線斜率(k=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3})，設(shè)傾斜角為(\alpha)，則(\tan\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3})，且(\alpha\in[0^\circ,180^\circ))，故(\alpha=150^\circ)，答案為D。橢圓的離心率橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左焦點(diǎn)為(F)，右頂點(diǎn)為(A)，上頂點(diǎn)為(B)，若(\angleABF=90^\circ)，則橢圓的離心率為（）A.(\frac{\sqrt{5}-1}{2})B.(\frac{\sqrt{3}-1}{2})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})解析：(F(-c,0))，(A(a,0))，(B(0,b))，向量(\overrightarrow{BA}=(a,-b))，(\overrightarrow{BF}=(-c,-b))，由(\angleABF=90^\circ)，得(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=-ac+b^2=0)，即(b^2=ac)，又(b^2=a^2-c^2)，故(a^2-c^2-ac=0)，兩邊同除以(a^2)，得(e^2+e-1=0)，解得(e=\frac{\sqrt{5}-1}{2})（舍負(fù)），答案為A。雙曲線的焦點(diǎn)三角形雙曲線(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1)的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1)，(F_2)，點(diǎn)(P)在雙曲線上，且(|PF_1|=7)，則(|PF_2|=)（）A.1B.13C.1或13D.15解析：雙曲線(a=3)，(2a=6)，由雙曲線定義(||PF_1|-|PF_2||=6)，即(|7-|PF_2||=6)，解得(|PF_2|=13)或(1)。又(|PF_2|\geqc-a=5-3=2)（(c=5)），故(|PF_2|=13)，答案為B。拋物線的最值問題拋物線(y^2=4x)上的點(diǎn)到直線(x-y+4=0)的最小距離為（）A.(\sqrt{2})B.(\frac{3\sqrt{2}}{2})C.(2\sqrt{2})D.(3\sqrt{2})解析：設(shè)拋物線上點(diǎn)(P(t^2,2t))，則點(diǎn)(P)到直線距離(d=\frac{|t^2-2t+4|}{\sqrt{2}}=\frac{(t-1)^2+3}{\sqrt{2}})，當(dāng)(t=1)時，(d_{\text{min}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2})，答案為B。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）圓的方程過點(diǎn)(A(1,2))，(B(3,4))且圓心在直線(x-y=0)上的圓的方程為__________。解析：設(shè)圓心((a,a))，則((a-1)^2+(a-2)^2=(a-3)^2+(a-4)^2)，解得(a=5)，半徑(r^2=(5-1)^2+(5-2)^2=25)，圓的方程為((x-5)^2+(y-5)^2=25)。橢圓的參數(shù)方程橢圓(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1)的參數(shù)方程為__________（設(shè)(\theta)為參數(shù)）。解析：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=a\cos\theta\y=b\sin\theta\end{cases})，故答案為(\begin{cases}x=4\cos\theta\y=3\sin\theta\end{cases})（(\theta)為參數(shù)）。雙曲線的離心率雙曲線(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1)的漸近線與圓((x-2)^2+y^2=1)相切，則雙曲線的離心率為__________。解析：漸近線方程(y=\pm\frac{a}x)，即(ax\pmby=0)，圓心((2,0))到漸近線距離(d=\frac{|2a|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1)，又(c^2=a^2+b^2)，故(\frac{2a}{c}=1)，離心率(e=\frac{c}{a}=2)。拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)拋物線(x=-2y^2)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________。解析：方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(y^2=-\frac{1}{2}x)，開口向左，(2p=\frac{1}{2})，(p=\frac{1}{4})，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(\left(-\frac{p}{2},0\right)=\left(-\frac{1}{8},0\right))。三、解答題（本大題共6小題，共70分）直線與圓的綜合問題（10分）已知圓(C:x^2+y^2-4x-6y+9=0)。（1）求圓(C)的圓心和半徑；（2）過點(diǎn)(P(0,1))作直線(l)與圓(C)交于(A)，(B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，求直線(l)的方程。解析：（1）圓(C)方程化為((x-2)^2+(y-3)^2=4)，圓心((2,3))，半徑(r=2)。（2）設(shè)直線(l:y=kx+1)（斜率不存在時單獨(dú)討論），圓心到直線距離(d=\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2k-2|}{\sqrt{k^2+1}})，由弦長公式(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3})，得(r^2-d^2=3)，即(4-\frac{4(k-1)^2}{k^2+1}=3)，解得(k=\frac{3}{4})，直線方程(y=\frac{3}{4}x+1)。當(dāng)斜率不存在時，直線(x=0)，代入圓方程得(y^2-6y+9=0)，(y=3)，此時(|AB|=0)（舍），綜上，直線(l)的方程為(3x-4y+4=0)。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)（12分）已知橢圓(C)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在(x)軸上，離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)(M(2,\sqrt{2}))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=x+m)與橢圓(C)交于(A)，(B)兩點(diǎn)，且(OA\perpOB)（(O)為原點(diǎn)），求(m)的值。解析：（1）設(shè)橢圓方程(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)），離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})，則(c=\frac{\sqrt{2}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{2})，將點(diǎn)(M(2,\sqrt{2}))代入：(\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1)，聯(lián)立(b^2=\frac{a^2}{2})，解得(a^2=8)，(b^2=4)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1)。（2）聯(lián)立(\begin{cases}y=x+m\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{cases})，消去(y)得(3x^2+4mx+2m^2-8=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{4m}{3})，(x_1x_2=\frac{2m^2-8}{3})，(y_1y_2=(x_1+m)(x_2+m)=x_1x_2+m(x_1+x_2)+m^2=\frac{m^2-8}{3})，由(OA\perpOB)，得(x_1x_2+y_1y_2=0)，即(\frac{2m^2-8}{3}+\frac{m^2-8}{3}=0)，解得(m^2=\frac{16}{3})，(m=\pm\frac{4\sqrt{3}}{3})，經(jīng)檢驗(yàn)(\Delta>0)，符合題意。雙曲線與直線的位置關(guān)系（12分）已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，實(shí)軸長為2。（1）求雙曲線(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+1)與雙曲線(C)交于(P)，(Q)兩點(diǎn)，且以(PQ)為直徑的圓過原點(diǎn)(O)，求(k)的值。解析：（1）由題意(2a=2)，(a=1)，離心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，(c=\sqrt{3})，(b^2=c^2-a^2=2)，雙曲線方程為(x^2-\frac{y^2}{2}=1)。（2）聯(lián)立(\begin{cases}y=kx+1\x^2-\frac{y^2}{2}=1\end{cases})，消去(y)得((2-k^2)x^2-2kx-3=0)，設(shè)(P(x_1,y_1))，(Q(x_2,y_2))，則(2-k^2\neq0)，(\Delta=4k^2+12(2-k^2)>0)，即(k^2<3)且(k^2\neq2)，(x_1+x_2=\frac{2k}{2-k^2})，(x_1x_2=\frac{-3}{2-k^2})，由題意(OP\perpOQ)，則(x_1x_2+y_1y_2=0)，(y_1y_2=(kx_1+1)(kx_2+1)=k^2x_1x_2+k(x_1+x_2)+1)，代入得((1+k^2)x_1x_2+k(x_1+x_2)+1=0)，即((1+k^2)\frac{-3}{2-k^2}+k\cdot\frac{2k}{2-k^2}+1=0)，解得(k^2=\frac{1}{2})，(k=\pm\frac{\sqrt{2}}{2})，經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，故(k=\pm\frac{\sqrt{2}}{2})。拋物線的綜合應(yīng)用（12分）已知拋物線(E:y^2=2px)（(p>0)）的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(M)，(N)兩點(diǎn)，且(|MF|=3|NF|)。（1）若直線(MN)的斜率為(\sqrt{3})，求拋物線(E)的方程；（2）在（1）的條件下，求(\triangleOMN)的面積（(O)為原點(diǎn)）。解析：（1）拋物線焦點(diǎn)(F\left(\frac{p}{2},0\right))，設(shè)直線(MN:y=\sqrt{3}\left(x-\frac{p}{2}\right))，聯(lián)立(\begin{cases}y^2=2px\y=\sqrt{3}\left(x-\frac{p}{2}\right)\end{cases})，消去(y)得(3x^2-5px+\frac{3p^2}{4}=0)，設(shè)(M(x_1,y_1))，(N(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=\frac{5p}{3})，(x_1x_2=\frac{p^2}{4})，由拋物線定義(|MF|=x_1+\frac{p}{2})，(|NF|=x_2+\frac{p}{2})，且(|MF|=3|NF|)，即(x_1+\frac{p}{2}=3\left(x_2+\frac{p}{2}\right))，聯(lián)立解得(x_1=p)，(x_2=\frac{p}{6})，代入(x_1x_2=\frac{p^2}{4})，得(p\cdot\frac{p}{6}=\frac{p^2}{4})，解得(p=2)，拋物線方程為(y^2=4x)。（2）由（1）知(p=2)，直線(MN:y=\sqrt{3}(x-1))，與拋物線交于(M(3,2\sqrt{3}))，(N\left(\frac{1}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right))，(|MN|=\sqrt{\left(3-\frac{1}{3}\right)^2+\left(2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{16}{3})，原點(diǎn)到直線(MN)的距離(d=\frac{|\sqrt{3}\times0-0-\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(S_{\triangleOMN}=\frac{1}{2}\times|MN|\timesd=\frac{1}{2}\times\frac{16}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3})。軌跡方程與向量綜合（12分）已知點(diǎn)(A(-2,0))，(B(2,0))，動點(diǎn)(P)滿足(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0)。（1）求動點(diǎn)(P)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)(Q(1,0))的直線與軌跡交于(C)，(D)兩點(diǎn)，若(|CD|=4\sqrt{2})，求直線(CD)的方程。解析：（1）設(shè)(P(x,y))，則(\overrightarrow{PA}=(-2-x,-y))，(\overrightarrow{PB}=(2-x,-y))，(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(x^2-4)+y^2=0)，即(x^2+y^2=4)，軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑2的圓。（2）當(dāng)直線(CD)斜率不存在時，方程(x=1)，代入圓方程得(y=\pm\sqrt{3})，(|CD|=2\sqrt{3}\neq4\sqrt{2})（舍）；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線(CD:y=k(x-1))，圓心到直線距離(d=\frac{|-k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}})，由弦長公式(|CD|=2\sqrt{r^2-d^2}=4\sqrt{2})，即(2\sqr