2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)決策能力評估試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.復(fù)數(shù)與幾何意義的決策應(yīng)用某科技公司研發(fā)的信號處理系統(tǒng)中，復(fù)數(shù)(z)滿足方程((1+i)z=2+3i)，其中(i)為虛數(shù)單位。若該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為決策模型的關(guān)鍵參數(shù)，則下列說法正確的是（）A.(z)的實部為(\frac{5}{2})，虛部為(\frac{1}{2})B.(z)的模長為(\sqrt{5})，輻角主值為(\arctan\left(\frac{1}{5}\right))C.若將(z)對應(yīng)的向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)(90^\circ)，得到的新復(fù)數(shù)為(-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i)D.該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于直線(y=x)對稱的點所表示的復(fù)數(shù)為(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i)2.立體幾何與空間決策某建筑團(tuán)隊設(shè)計一個三棱錐形狀的觀景臺，其底面(ABC)為等腰直角三角形，(AB=AC=4)米，側(cè)棱(PA\perp)底面(ABC)，且(PA=3)米。為確保游客安全，需在棱(PB)和(PC)上分別設(shè)置兩個安全扶手點(M)和(N)，滿足(PM:MB=1:2)，(PN:NC=2:1)。基于以上信息，下列決策正確的是（）A.點(M)到平面(ABC)的距離為(1)米，線段(MN)的長度為(\frac{2\sqrt{5}}{3})米B.若在(BC)中點(D)處安裝一盞射燈，其光線與平面(AMN)所成角的正弦值為(\frac{3\sqrt{10}}{10})C.沿(MN)將三棱錐(P-MNC)切割成兩部分，較小部分的體積為(\frac{4}{3})立方米D.若在棱(PA)上取一點(Q)，使(QM+QN)最小，則最小值為(\sqrt{13})米3.函數(shù)與優(yōu)化決策某物流公司計劃通過無人機(jī)運輸貨物，其飛行成本(C)（單位：元）與飛行速度(v)（單位：km/h，(v\geq20)）的關(guān)系為(C(v)=0.01v^2+\frac{1600}{v}+500)。為實現(xiàn)運輸效率與成本的平衡，需解決以下問題：（1）當(dāng)飛行速度為多少時，每千米的平均成本最低？最低平均成本為多少？（2）若該無人機(jī)需在(2)小時內(nèi)完成(100)千米的運輸任務(wù)，且飛行速度不得超過(80)km/h，則如何規(guī)劃速度使總成本最低？4.概率統(tǒng)計與風(fēng)險決策某電商平臺在“雙11”促銷期間推出抽獎活動，規(guī)則如下：參與用戶需完成3項任務(wù)，每項任務(wù)有“成功”和“失敗”兩種結(jié)果，成功完成第1、2、3項任務(wù)的概率分別為(\frac{3}{4})、(\frac{2}{3})、(\frac{1}{2})，各項任務(wù)相互獨立。根據(jù)成功完成的任務(wù)數(shù)獲得相應(yīng)獎勵：3項全成功得一等獎（價值200元），2項成功得二等獎（價值100元），1項成功得三等獎（價值50元），0項成功無獎勵。平臺需為每10000名參與者預(yù)算獎勵成本，同時考慮到用戶參與度，若一等獎中獎率低于5%，需額外發(fā)放5000元的安慰獎。（1）求一名用戶獲得二等獎的概率；（2）以10000名參與者為樣本，計算平臺的最低預(yù)算金額（精確到整數(shù)）；（3）若調(diào)整第3項任務(wù)的成功概率(p)（(0<p<1)），使一等獎中獎率達(dá)到5%，求(p)的值，并分析此時預(yù)算金額的變化。5.數(shù)列與資源分配決策某工廠生產(chǎn)一種精密零件，第1個月產(chǎn)量為1000件，由于技術(shù)改進(jìn)，從第2個月起每月產(chǎn)量的增長率為(r)；但受原材料限制，從第6個月開始，每月產(chǎn)量的增長率降為(\frac{r}{2})，且該廠每月最多能生產(chǎn)3000件零件。已知第12個月的產(chǎn)量為2800件，且全年總產(chǎn)量為18000件。（1）求(r)的值（精確到0.1%）；（2）若每件零件的利潤(y)（元）與產(chǎn)量(x)（件）的關(guān)系為(y=20-0.005x)，求全年總利潤的最大值；（3）為平衡生產(chǎn)與庫存，工廠決定每月將產(chǎn)量的20%作為庫存，其余直接銷售。若庫存零件每月需支付每件1元的保管費，且第1年初無庫存，求第12月底的庫存總量及全年庫存成本。6.解析幾何與路徑規(guī)劃決策某城市規(guī)劃部門擬在一條東西走向的直線道路(l)（可視為x軸）旁修建兩個公交站點(A)和(B)，其中(A)位于道路北側(cè)，坐標(biāo)為((0,3))，(B)位于道路南側(cè)，且與(A)關(guān)于x軸對稱。為方便市民換乘，需在道路(l)上設(shè)置一個換乘點(P(t,0))，并規(guī)劃兩條公交線路：線路1：從(A)經(jīng)(P)到(B)，單程距離為(d_1)；線路2：直接從(A)到(B)的直線距離為(d_2)，但需繞行一個半徑為1的半圓形綠化帶（圓心在(AB)中點處），實際行駛距離為(d_2+\frac{\pi}{2})。（1）用(t)表示(d_1)，并求(d_1)的最小值；（2）若(d_1)與線路2的實際行駛距離相等，求(t)的值；（3）在（2）的條件下，若一輛公交車從(A)出發(fā)，以30km/h的速度行駛，且在(P)點停留2分鐘，另一輛私家車同時從(A)出發(fā)，以40km/h的速度沿線路2行駛（不繞行綠化帶，直接穿越），問公交車能否在私家車到達(dá)(B)點前追上它？7.導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟(jì)決策某品牌手機(jī)廠商推出新款機(jī)型，根據(jù)市場調(diào)研，當(dāng)售價為(x)元（(2000\leqx\leq5000)）時，每月銷售量(y)（單位：臺）滿足(y=10000-2x)，且每臺手機(jī)的生產(chǎn)成本為1000元。（1）求每月利潤(L(x))的函數(shù)解析式，并求售價為多少時利潤最大；（2）若廠商為提高市場份額，決定每銷售一臺手機(jī)捐贈(a)元（(50\leqa\leq200)）給公益項目，且此時最大利潤比（1）中的最大利潤減少了20%，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，若政府對每臺手機(jī)補貼(b)元（(b>0)），使新的利潤函數(shù)(L'(x))的最大值恢復(fù)到（1）中的水平，求(b)與(a)的函數(shù)關(guān)系，并分析當(dāng)(a=100)時(b)的取值對補貼政策的影響。8.不等式與方案優(yōu)化決策某農(nóng)場有一塊矩形土地(ABCD)，長(AB=100)米，寬(BC=60)米，現(xiàn)計劃在這塊土地上劃分出兩個區(qū)域：一個矩形種植區(qū)(EFGH)和一個半圓形養(yǎng)殖區(qū)（直徑在(EF)上），其中(E)和(F)分別在(AB)和(CD)上，且(AE=CF=x)米（(0<x<50)），(H)和(G)分別在(AD)和(BC)上。種植區(qū)每平方米年收益為80元，養(yǎng)殖區(qū)每平方米年收益為120元。（1）用(x)表示種植區(qū)和養(yǎng)殖區(qū)的總面積(S(x))；（2）求年總收益(W(x))的函數(shù)解析式，并求當(dāng)(x)為何值時總收益最大；（3）若受環(huán)保政策限制，養(yǎng)殖區(qū)的面積不得超過種植區(qū)面積的(\frac{1}{4})，求此時(x)的取值范圍及最大總收益。9.三角函數(shù)與工程測量決策某橋梁工程隊需測量一條河流的寬度(AB)（(A)、(B)分別為河兩岸的兩點），采用以下方案：在河岸一側(cè)取點(C)，使(\angleACB=60^\circ)，在(AC)的延長線上取點(D)，使(CD=AC=100)米，測量得(\angleCDB=30^\circ)。（1）求河流寬度(AB)；（2）若在點(B)處建一座橋墩，需計算橋墩高度。已知橋墩底部到河底的距離為5米，河水流速為2m/s，水流對橋墩的沖擊力(F)（單位：N）與橋墩在水中的橫截面積(S)（單位：(m^2)）、水流速度(v)（單位：m/s）的關(guān)系為(F=kSv^2)（(k=100)）。若橋墩為圓柱體，底面半徑為(r)米，高度為(h)米（(h>5)），且建造成本為(20000\pir^2h)元，求當(dāng)(r)和(h)為何值時，在確保沖擊力(F\leq5000)N的前提下，建造成本最低。10.創(chuàng)新題型：多目標(biāo)決策綜合題某新能源企業(yè)計劃投資A、B兩種光伏項目，根據(jù)市場預(yù)測，項目A的年收益率為(8%)，但投資金額不超過500萬元時風(fēng)險系數(shù)為0.2，超過500萬元的部分風(fēng)險系數(shù)為0.5；項目B的年收益率為(6%)，風(fēng)險系數(shù)為0.3（無論投資金額多少）。企業(yè)總投資金額為1000萬元，且需滿足以下條件：總風(fēng)險值=項目A風(fēng)險系數(shù)×投資金額+項目B風(fēng)險系數(shù)×投資金額，總風(fēng)險值不得超過300萬元；項目A的投資金額不低于項目B的(\frac{1}{2})；為支持綠色產(chǎn)業(yè)，項目B的投資金額至少為300萬元。（1）設(shè)項目A投資(x)萬元，項目B投資(y)萬元，列出滿足條件的約束條件；（2）求年總收益(R)的最大值，并指出此時A、B項目的投資金額；（3）若企業(yè)希望在總收益不低于70萬元的前提下，最小化總風(fēng)險值，求此時的投資方案。二、解答題（本大題共5小題，共100分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）11.（本小題滿分20分）某快遞公司為提升配送效率，設(shè)計了一個無人機(jī)配送路徑優(yōu)化模型。如圖，倉庫(O)位于坐標(biāo)原點，需向(A(2,0))、(B(1,\sqrt{3}))、(C(-1,\sqrt{3}))、(D(-2,0))四個配送點送貨，無人機(jī)從倉庫出發(fā)，依次經(jīng)過四個點后返回倉庫，形成一個封閉路徑。（1）證明：四個配送點共圓，并求該圓的方程；（2）若無人機(jī)在飛行過程中，每千米的能耗與飛行速度(v)（單位：km/h）的關(guān)系為(E(v)=0.05v+\frac{40}{v})（(v>0)），且在每個配送點停留5分鐘。若無人機(jī)以恒定速度(v)飛行，求能耗最低的飛行速度（精確到0.1km/h）；（3）若允許無人機(jī)調(diào)整在各段路徑的飛行速度（每段速度可不同，但均需在20~80km/h范圍內(nèi)），能否進(jìn)一步降低總能耗？請說明理由。12.（本小題滿分20分）某學(xué)校為開展“數(shù)學(xué)建模”活動，需購買一批電腦和打印機(jī)。已知購買1臺電腦和2臺打印機(jī)需1.2萬元，購買2臺電腦和1臺打印機(jī)需1.5萬元。（1）求每臺電腦和打印機(jī)的單價；（2）學(xué)校計劃購買電腦和打印機(jī)共10臺，且電腦數(shù)量不少于打印機(jī)數(shù)量的2倍，預(yù)算資金不超過5萬元。設(shè)購買電腦(m)臺，寫出滿足條件的所有可能的購買方案，并指出哪種方案最省錢；（3）在（2）的最省錢方案中，若每臺電腦每年的維護(hù)費為200元，每臺打印機(jī)每年的維護(hù)費為100元，學(xué)校計劃使用5年，且每年有1000元的維護(hù)預(yù)算，問是否需要增加維護(hù)預(yù)算？若需要，增加多少元？13.（本小題滿分20分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)，其中(a,b\in\mathbb{R})。（1）若(a=0)，(b=1)，求(f(x))的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若(f(x))在(x=0)處取得極值，且對任意(x\geq0)，有(f(x)\geq0)恒成立，求(a)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若(a=1)，記(g(x)=f(x)-(x-1)e^x)，證明：對任意(x_1,x_2\in[0,2])，(|g(x_1)-g(x_2)|\leq2)。14.（本小題滿分20分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓右焦點(F)的直線(l)與橢圓交于(M,N)兩點，若線段(MN)的垂直平分線與(x)軸交于點(P(t,