2025年下學期高二數(shù)學可持續(xù)發(fā)展評估試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{2-x}}$的定義域是（）A.$(-1,2)$B.$[-1,2)$C.$(-1,2]$D.$[-1,2]$已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(m,-6)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$m$的值為（）A.$-4$B.$4$C.$9$D.$-9$函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值是（）A.$2$B.$0$C.$-1$D.$4$已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，則$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$的值為（）A.$\frac{\sqrt{2}}{10}$B.$-\frac{\sqrt{2}}{10}$C.$\frac{7\sqrt{2}}{10}$D.$-\frac{7\sqrt{2}}{10}$一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）（正視圖：高為4的矩形，側(cè)視圖：寬為3的矩形，俯視圖：邊長為3的正方形）A.$12\\text{cm}^3$B.$24\\text{cm}^3$C.$36\\text{cm}^3$D.$48\\text{cm}^3$已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_4=16$，則數(shù)列${a_n}$的前5項和$S_5$為（）A.$30$B.$62$C.$126$D.$254$不等式$x^2-2x-3<0$的解集是（）A.$(-1,3)$B.$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$C.$(-3,1)$D.$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$從5名男生和4名女生中任選2人參加演講比賽，則至少有1名女生的概率是（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{5}{6}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{2}{3}$函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.$\pi$，$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$B.$2\pi$，$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$C.$\pi$，$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$D.$2\pi$，$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$已知直線$l:y=kx+1$與圓$C:x^2+y^2-2x-3=0$相交于$A$，$B$兩點，若$|AB|=2\sqrt{3}$，則$k$的值為（）A.$\pm\sqrt{3}$B.$\pm1$C.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\pm\frac{1}{2}$若$x>0$，$y>0$，且$x+2y=4$，則$xy$的最大值是（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$，若$f(a)=3$，則$a$的值為（）A.$7$B.$8$C.$9$D.$10$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,1)$，則$\vec{a}+2\vec=$__________．函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$的導數(shù)$f'(x)=$，在點$(1,0)$處的切線方程為．已知$\tan\alpha=2$，則$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$__________．某中學高二年級有學生500人，其中男生300人，女生200人．為了解學生的數(shù)學成績，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該年級學生中抽取一個容量為50的樣本，則應(yīng)抽取男生__________人．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，$x\in\mathbb{R}$．（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=2$．（1）求證：$BC\perp$平面$PAB$；（2）求三棱錐$P-ABC$的體積．（本小題滿分12分）已知數(shù)列${a_n}$是等差數(shù)列，且$a_1=1$，$a_3=5$．（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）若數(shù)列${b_n}$滿足$b_n=2^{a_n}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$．（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$．（1）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,2]$上的最值．（本小題滿分12分）某商場為了促銷，舉辦了一次抽獎活動．活動規(guī)則如下：從裝有3個紅球和2個白球的不透明箱子中，隨機摸出2個球．若摸出的2個球都是紅球，則獲得一等獎，獎金100元；若摸出的2個球中1個紅球和1個白球，則獲得二等獎，獎金50元；若摸出的2個球都是白球，則獲得三等獎，獎金10元．（1）求摸出的2個球都是紅球的概率；（2）求抽獎?wù)攉@得獎金的數(shù)學期望．（本小題滿分12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$．（1）求橢圓$C$的標準方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點，$O$為坐標原點，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrig