2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)空間距離計(jì)算專(zhuān)題試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,3,1)、B(4,1,2)，則線段AB的長(zhǎng)度為（）A.√5B.√14C.√17D.√29正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長(zhǎng)為2，E為棱CC?的中點(diǎn)，則點(diǎn)A?到直線BE的距離為（）A.√5B.2√2C.3D.√10在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面△ABC為直角三角形，∠C=90°，AC=BC=1，AA?=√2，則點(diǎn)B?到平面A?BC的距離為（）A.√3/3B.√2/2C.1D.√6/3已知平面α的一個(gè)法向量為n=(1,2,-2)，點(diǎn)P(2,1,1)在平面α內(nèi)，點(diǎn)Q(3,2,3)在平面α外，則點(diǎn)Q到平面α的距離為（）A.1B.2C.3D.4已知直線l的方向向量為s=(2,1,-1)，且過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)，則點(diǎn)N(2,1,0)到直線l的距離為（）A.√3/3B.√6/3C.√2/2D.√3/2在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，平面ABC?D?與平面A?B?CD之間的距離為（）A.√2/2B.√2C.2√2/3D.√3/3已知異面直線l?和l?的方向向量分別為a=(1,0,-1)和b=(1,1,0)，若直線l?上有一點(diǎn)P(0,0,0)，直線l?上有一點(diǎn)Q(1,0,0)，則異面直線l?和l?之間的距離為（）A.√3/3B.√2/2C.1D.√6/3在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E為PC的中點(diǎn)，則直線DE到平面PAB的距離為（）A.√2B.1C.√3D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2,3)、B(4,5,6)，則向量AB的模長(zhǎng)為_(kāi)_____，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____。已知點(diǎn)P(1,0,1)到直線l的距離為√3，直線l的方向向量為(1,1,1)，且點(diǎn)Q(0,1,0)在直線l上，則點(diǎn)P到直線l的距離公式中的|AP|2-(AP·u)2=______，其中u是直線l的單位方向向量。在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)D?到平面AB?C的距離為_(kāi)_____，直線AD?到平面BCC?B?的距離為_(kāi)_____。已知平面α的一個(gè)法向量為n=(2,-1,2)，點(diǎn)A(1,2,3)在平面α內(nèi)，點(diǎn)B(3,3,4)在平面α外，則向量AB=，點(diǎn)B到平面α的距離為。三、解答題（本大題共6小題，共90分）（14分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，求：（1）△ABC的重心坐標(biāo)；（2）點(diǎn)A到直線BC的距離；（3）點(diǎn)A到平面OBC的距離（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。（15分）如圖，直三棱柱ABC-A?B?C?的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√2，D是A?C?的中點(diǎn)。（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)B到直線A?D的距離；（3）求直線AB與平面A?BD的距離。（15分）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F分別為棱A?D?、CC?的中點(diǎn)。（1）求證：EF//平面ACD?；（2）求點(diǎn)B到平面A?BE的距離；（3）求平面A?BE與平面ACD?之間的距離。（16分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是PC的中點(diǎn)。（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)B到直線PD的距離；（3）求點(diǎn)E到平面PBD的距離；（4）求異面直線DE與PB之間的距離。（15分）已知平面α的方程為2x-y+2z-4=0，平面β的方程為4x-2y+4z+5=0。（1）證明：平面α//平面β；（2）求平面α與平面β之間的距離；（3）若點(diǎn)P(1,1,1)在平面α內(nèi)，求平面β內(nèi)與點(diǎn)P距離最近的點(diǎn)Q的坐標(biāo)。（15分）在直四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AD=1，CD=√3，BC=2，AA?=2，E是CC?的中點(diǎn)。（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)D?到平面ABE的距離；（3）求直線A?B?與平面ABE的距離；（4）若F是線段D?E上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)F到平面ABE的距離的取值范圍。參考答案與解析一、選擇題B解析：|AB|=√[(4-2)2+(1-3)2+(2-1)2]=√(4+4+1)=√14A解析：建立坐標(biāo)系，得A?(2,0,2)，B(2,2,0)，E(0,2,1)，向量BE=(-2,0,1)，向量BA?=(0,-2,2)，距離d=√(|BA?|2-(BA?·BE/|BE|)2)=√(8-(2/√5)2)=√(8-4/5)=√(36/5)=6√5/5（注：原題選項(xiàng)可能存在誤差，正確答案應(yīng)為6√5/5）D解析：建立坐標(biāo)系，得B?(0,1,√2)，平面A?BC的法向量n=(-√2,0,1)，距離d=|CB?·n|/|n|=|√2|/√3=√6/3A解析：向量PQ=(1,1,2)，距離d=|PQ·n|/|n|=|1+2-4|/3=1/3（注：原題選項(xiàng)可能存在誤差，正確答案應(yīng)為1/3）B解析：向量MN=(1,1,-1)，距離d=√(|MN|2-(MN·s/|s|)2)=√(3-(2+1+1)/√6)2=√(3-16/6)=√(2/3)=√6/3C解析：兩平面平行，取點(diǎn)A(0,0,0)在平面ABC?D?內(nèi)，平面A?B?CD的法向量n=(1,1,0)，距離d=|A?A·n|/|n|=|(0,0,2)·(1,1,0)|/√2=0（注：原題選項(xiàng)可能存在誤差，正確答案應(yīng)為√2）A解析：向量PQ=(1,0,0)，距離d=|PQ·(a×b)|/|a×b|=|(1,0,0)·(1,-1,1)|/√3=1/√3=√3/3B解析：建立坐標(biāo)系，得D(0,0,0)，E(1,1,1)，平面PAB的法向量n=(0,1,0)，距離d=|DE·n|/|n|=1二、填空題3√3；(2.5,3.5,4.5)解析：|AB|=√[(4-1)2+(5-2)2+(6-3)2]=√(9+9+9)=3√3；中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+4)/2,(2+5)/2,(3+6)/2)=(2.5,3.5,4.5)3解析：由距離公式d=√(|AP|2-(AP·u)2)=√3，得|AP|2-(AP·u)2=3√3/3；1解析：平面AB?C的法向量n=(1,1,1)，距離d=|AD?·n|/|n|=|(0,0,1)·(1,1,1)|/√3=1/√3=√3/3；直線AD?到平面BCC?B?的距離等于點(diǎn)A到平面的距離1(2,1,1)；1解析：向量AB=(3-1,2-1,3-1)=(2,1,1)；距離d=|AB·n|/|n|=|4+2-2|/3=4/3（注：原題答案可能存在誤差，正確答案應(yīng)為4/3）三、解答題解析：（1）重心坐標(biāo)為((1+0+0)/3,(0+1+0)/3,(0+0+1)/3)=(1/3,1/3,1/3)（2）向量BC=(0,-1,1)，向量BA=(1,-1,0)，距離d=√(|BA|2-(BA·BC/|BC|)2)=√(2-(1/√2)2)=√(3/2)=√6/2（3）平面OBC的法向量n=(1,0,0)，距離d=|OA·n|/|n|=1解析：（1）以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，C(0,0,0)，A(√2,0,0)，B(0,√2,0)，A?(√2,0,2)，B?(0,√2,2)，C?(0,0,2)，D(√2/2,0,2)（2）向量A?D=(√2/2,0,0)，向量A?B=(-√2,√2,-2)，距離d=√(|A?B|2-(A?B·A?D/|A?D|)2)=√(8+2+4-((√2/2)(-√2)/(√2/2))2)=√(14-2)=√12=2√3（3）直線AB//平面A?BD，距離等于點(diǎn)A到平面A?BD的距離，平面A?BD的法向量n=(2,2,√2)，距離d=|A?A·n|/|n|=|(0,0,-2)·(2,2,√2)|/√(4+4+2)=4/√10=2√10/5解析：（1）建立坐標(biāo)系，得E(1,0,2)，F(xiàn)(0,2,1)，向量EF=(-1,2,-1)，平面ACD?的法向量n=(1,1,1)，EF·n=0，所以EF//平面ACD?（2）平面A?BE的法向量n=(2,0,1)，向量BA=(2,-2,0)，距離d=|BA·n|/|n|=4/√5=4√5/5（3）兩平面平行，距離等于點(diǎn)C到平面A?BE的距離，向量CA?=(2,0,2)，距離d=|CA?·n|/|n|=6/√5=6√5/5解析：（1）以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E(0.5,0.5,1)（2）向量PD=(0,1,-2)，向量PB=(1,0,-2)，距離d=√(|PB|2-(PB·PD/|PD|)2)=√(5-(4/√5)2)=√(5-16/5)=√(9/5)=3√5/5（3）平面PBD的法向量n=(1,1,0.5)，向量PE=(0.5,0.5,-1)，距離d=|PE·n|/|n|=|0.5+0.5-0.5|/√(1+1+0.25)=0.5/√2.25=0.5/1.5=1/3（4）向量DE=(0.5,0.5,1)，向量PB=(1,0,-2)，距離d=|DE×PB|/|PB|=|(-1,1.5,-0.5)|/√5=√(1+2.25+0.25)/√5=√3.5/√5=√70/10解析：（1）平面α的法向量n?=(2,-1,2)，平面β的法向量n?=(4,-2,4)=2n?，所以?xún)善矫嫫叫校?）在平面α內(nèi)取點(diǎn)P(2,0,0)，距離d=|4×2-2×0+4×0+5|/√(16+4+16)=13/6（3）向量PQ=kn?=(4k,-2k,4k)，則Q(1+4k,1-2k,1+4k)在平面β內(nèi)，代入方程得4(1+4k)-2(1-2k)+4(1+4k)+5=0，解得k=-13/36，所以Q(1-52/36,1+26/36,1-52/36)=(-16/36,62/36,-16/36)=(-4/9,31/18,-4/9)解析：（1）以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,√3,0)，D?(0,0,2)，A?(1,0,2)，B?(1,2,2)，C?(0,√3,2)，E(0,√3,1)（2）平面ABE的法向量n=(1,0,1)，向量D?A=(1,0