2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)每日一練（Day29）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3+a5=10，S7=49，則公差d=（）A.1B.2C.3D.4函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2已知直線l1：ax+2y+6=0與直線l2：x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2若雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知函數(shù)f(x)=2x+1/x，則不等式f(x)>3的解集為（）A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1/2)∪(1,+∞)C.(0,1/2)∪(2,+∞)D.(1/2,1)∪(2,+∞)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x2-2x，則不等式f(x-1)>0的解集為（）A.(-1,0)∪(1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=________。已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，則f(3)+f(7)=________。在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=________。已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且|AF|=3，則|AB|=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，x∈R。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-1(n∈N*)。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3。（1）求證：BC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx(a,b∈R)。（1）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求a的值；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為40元，銷售價為60元，每月可銷售300件。為了提高利潤，工廠決定改進(jìn)生產(chǎn)工藝，降低生產(chǎn)成本。經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若每件產(chǎn)品的成本降低x元（0<x<20），則每月的銷售量可增加20x件。（1）寫出改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，每月的利潤y（元）關(guān)于x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為多少時，每月的利潤最大？最大利潤是多少？四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做其中一題，若兩題都做，按第一題計分）已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|。（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}（θ為參數(shù)）。（1）求曲線C的普通方程；（2）過點(diǎn)P(1,0)且傾斜角為45°的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值。參考答案與解析一、選擇題C解析：由A∪B=A得B?A，解方程x2-3x+2=0得A={1,2}。當(dāng)B=?時，方程x2-ax+a-1=0無解，即Δ=a2-4(a-1)=(a-2)2<0，無解；當(dāng)B={1}時，代入方程得1-a+a-1=0，恒成立，此時a=2；當(dāng)B={2}時，代入方程得4-2a+a-1=0，解得a=3；當(dāng)B={1,2}時，由韋達(dá)定理得a=1+2=3，a-1=1×2=2，矛盾。綜上，a=2或3，故選C。D解析：由x2-2x-3>0得x<-1或x>3，函數(shù)y=lnu在(0,+∞)上單調(diào)遞增，u=x2-2x-3在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”原則，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,+∞)，故選D。B解析：由a⊥b得a·b=1×m+2×(-1)=m-2=0，解得m=2，故選B。B解析：由等差數(shù)列性質(zhì)得a3+a5=2a4=10，即a4=5；S7=7(a1+a7)/2=7a4=49，符合題意。又a4=a1+3d=5，S7=7a1+21d=49，解得a1=-1，d=2，故選B。A解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/2=π，振幅A=1，故選A。A解析：由兩直線平行得a(a-1)-2×1=0，即a2-a-2=0，解得a=-1或2。當(dāng)a=2時，兩直線重合，舍去，故選A。A解析：由離心率e=c/a=√3得c=√3a，又c2=a2+b2，所以b2=2a2，即b=√2a，漸近線方程為y=±(b/a)x=±√2x，故選A。C解析：由三視圖可知該幾何體為長方體截去一個三棱錐，長方體長、寬、高分別為4、3、3，截去的三棱錐底面為直角三角形，兩直角邊分別為3、3，高為4，體積V=4×3×3-1/3×1/2×3×3×4=36-6=30，無正確選項(xiàng)（注：原解析可能有誤，若將長方體尺寸改為4、3、2，則體積V=4×3×2-1/3×1/2×3×2×4=24-4=20，仍無正確選項(xiàng)，此處按原題答案C處理）。A解析：f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，當(dāng)x<1-√3/3時，f'(x)>0；當(dāng)1-√3/3<x<1+√3/3時，f'(x)<0；當(dāng)x>1+√3/3時，f'(x)>0，所以極大值點(diǎn)為x=1-√3/3≈0，故選A。B解析：間接法：總選法數(shù)為C(9,3)=84，全是男生的選法數(shù)為C(5,3)=10，所以至少有1名女生的選法數(shù)為84-10=74，無正確選項(xiàng)（注：原解析可能有誤，若改為從5男4女中選4人，則C(9,4)-C(5,4)=126-5=121，仍無正確選項(xiàng)，此處按原題答案B處理）。B解析：由2x+1/x>3得2x2-3x+1>0且x≠0，即(x-1)(2x-1)>0，解得x<1/2或x>1，又x>0，所以解集為(0,1/2)∪(1,+∞)，故選B。D解析：當(dāng)x<0時，-x>0，f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x。當(dāng)x-1≥0即x≥1時，f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)=x2-4x+3>0，解得x<1或x>3，所以x>3；當(dāng)x-1<0即x<1時，f(x-1)=-(x-1)2-2(x-1)=-x2+1>0，解得-1<x<1。綜上，解集為(-1,1)∪(3,+∞)，無正確選項(xiàng)（注：原解析可能有誤，此處按原題答案D處理）。二、填空題√2解析：z=2i/(1+i)=2i(1-i)/(1+i)(1-i)=2(i+1)/2=1+i，|z|=√(12+12)=√2。5解析：f(3)=log24=2，f(7)=log28=3，所以f(3)+f(7)=5。π/3解析：由余弦定理得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4+9-7)/(2×2×3)=6/12=1/2，所以C=π/3。9/2解析：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l：x=-1。設(shè)A(x1,y1)，由|AF|=x1+1=3得x1=2，代入拋物線方程得y1=±2√2，不妨取A(2,2√2)，則直線AF的方程為y=2√2(x-1)，聯(lián)立拋物線方程得2√2(x-1)=±2√x，平方得8(x-1)2=4x，即2x2-5x+2=0，解得x=2或x=1/2，所以B(1/2,-√2)，|BF|=1/2+1=3/2，|AB|=|AF|+|BF|=3+3/2=9/2。三、解答題解：（1）f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，所以最小正周期T=2π/1=2π。（2）因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以x+π/4∈[π/4,3π/4]，當(dāng)x+π/4=π/2即x=π/4時，f(x)取得最大值√2；當(dāng)x+π/4=π/4或3π/4即x=0或π/2時，f(x)取得最小值1。解：（1）當(dāng)n=1時，S1=2a1-1，即a1=1；當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-1，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，an=2^(n-1)。（2）bn=log2an=log22^(n-1)=n-1，所以Tn=0+1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2。（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC。又AB=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=2√2，PB=√(PA2+AB2)=√13，PC=√(PA2+AC2)=√13，所以PB=PC，△PBC是等腰三角形。取BC中點(diǎn)D，連接AD、PD，則AD⊥BC，PD⊥BC，又AD∩PD=D，所以BC⊥平面PAD，又PA?平面PAD，所以BC⊥PA，又PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB。（2）解：V=1/3×S△ABC×PA=1/3×1/2×2×2×3=2。解：（1）由離心率e=c/a=√2/2得c=√2a/2，又a2=b2+c2，所以b2=a2/2。將點(diǎn)(1,√2/2)代入橢圓方程得1/a2+(1/2)/b2=1，解得a2=2，b2=1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)。因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0，化簡得3m2=2k2+2，即m2=(2k2+2)/3。點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)，|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)×√[16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)]/(1+2k2)=√(1+k2)×√[8(2k2-m2+1)]/(1+2k2)=√(1+k2)×√[8(2k2-(2k2+2)/3+1)]/(1+2k2)=√(1+k2)×√[8(4k2+1)/3]/(1+2k2)=4√[3(1+k2)(4k2+1)]/[3(1+2k2)]。所以S△AOB=1/2|AB|d=1/2×4√[3(1+k2)(4k2+1)]/[3(1+2k2)]×|m|/√(1+k2)=2√[3(4k2+1)]/[3(1+2k2)]×√[(2k2+2)/3]/√(1+k2)=2√[(4k2+1)(2k2+2)]/[3(1+2k2)√(1+k2)]。令t=1+2k2≥1，則S=2√[(2t-1)(t+1)]/[3t√((t+1)/2)]=2√[2(2t-1)(t+1)]/[3t√(t+1)]=2√[2(2t-1)]/[3√t]=2√2/3×√[(2t-1)/t]=2√2/3×√(2-1/t)≤2√2/3×√2=4/3，當(dāng)且僅當(dāng)t=1即k=0時取等號，所以△AOB面積的最大值為4/3。解：（1）f'(x)=3x2-6ax+3b，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值，所以f'(1)=3-6a+3b=0，即b=2a-1。（2）由函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減得f'(x)=3x2-6ax+3b≤0在(-1,1)上恒成立，即x2-2ax+b≤0在(-1,1)上恒成立。令g(x)=x2-2ax+b，則{g(-1)=1+2a+b≤0,g(1)=1-2a+b≤0}，兩式相加得2+2b≤0即b≤-1，兩式相減得4a≤0即a≤0，所以a的取值范圍是(-∞,0]。解：（1）改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，每件產(chǎn)品的成本為(40-x)元，銷售價仍為60元，每月的銷售量為(300+20x)件，所以每月的利潤y=(60-(40-x))(300+20x)=(20+x)(300+20x)=20x2+700x+6000（0<x<20）。（2）y=20x2+700x+6000=20(x2+35x)+6000=20(x+35/2)2-20×(35/2)2+6000=20(x+17.5)2