2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)條件概率與全概率公式試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，則P(B|A)的值為（）A.0.18B.0.3C.0.6D.0.8某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊兩次，在第一次命中目標(biāo)的條件下，第二次也命中目標(biāo)的概率是（）A.0.64B.0.8C.0.85D.0.9從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)，記事件A為"取到的兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)"，事件B為"取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)"，則P(B|A)等于（）A.1/8B.1/4C.2/5D.3/10袋中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中不放回地依次摸出兩個(gè)球，則在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到黑球的概率是（）A.3/7B.3/8C.5/14D.5/28設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%、35%、20%，各車間的產(chǎn)品次品率分別為4%、2%、5%，現(xiàn)從中任取一件，則取到的是次品的概率為（）A.0.035B.0.038C.0.045D.0.052某工廠有四條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，四條生產(chǎn)線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%、35%，且四條生產(chǎn)線的不合格品率分別為0.05、0.04、0.03、0.02，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，則抽到不合格品的概率是（）A.0.0315B.0.0345C.0.0375D.0.0425某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類："謹(jǐn)慎型"、"普通型"和"冒險(xiǎn)型"。統(tǒng)計(jì)資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05、0.15和0.30。如果"謹(jǐn)慎型"被保險(xiǎn)人占20%，"普通型"占50%，"冒險(xiǎn)型"占30%，則一個(gè)被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是（）A.0.175B.0.195C.0.225D.0.255已知甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，則取到白球的概率是（）A.13/30B.16/35C.19/40D.21/45二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）下列關(guān)于條件概率的說(shuō)法正確的是（）A.P(B|A)與P(A|B)是同一個(gè)概念B.若P(A)>0，則P(B|A)=P(AB)/P(A)C.若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)D.P(A|B)+P(A|B?)=1對(duì)于全概率公式P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai)，下列說(shuō)法正確的是（）A.A1,A2,...,An必須是樣本空間的一個(gè)劃分B.要求Ai兩兩互斥C.要求P(Ai)>0對(duì)所有i成立D.公式適用于任何情況的概率計(jì)算設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，則下列結(jié)論中正確的是（）A.P(B|A)=1-P(B?|A)B.若A?B，則P(B|A)=1C.若A與B互斥，則P(B|A)=0D.P(B|A)=P(A|B)關(guān)于條件概率和全概率公式，下列說(shuō)法正確的有（）A.條件概率研究的是在一個(gè)事件發(fā)生的條件下，另一個(gè)事件發(fā)生的概率B.全概率公式是將復(fù)雜事件的概率分解為簡(jiǎn)單事件的概率之和C.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)是全概率公式的基礎(chǔ)D.全概率公式本質(zhì)上是加法公式與乘法公式的結(jié)合應(yīng)用三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8，則P(A∪B)=________。某班有50名學(xué)生，其中男生30人，女生20人?，F(xiàn)隨機(jī)選取一名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)是女生，在這種情況下，該女生是班干部的概率為0.3，則該班女生班干部人數(shù)為________。甲、乙兩人獨(dú)立地解決同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.7，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.8，那么至少有一人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是________。某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過(guò)4件，且具有如下的概率分布：次品數(shù)01234概率0.10.20.40.20.1現(xiàn)進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，從每批中隨機(jī)取出10件來(lái)檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格，則一批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率為________。四、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A|B)=0.3，求：(1)P(AB)；(2)P(B|A)；(3)P(A∪B)。（12分）一個(gè)盒子中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中依次取出兩個(gè)球，求：(1)不放回抽取時(shí)，在第一次取出紅球的條件下，第二次取出白球的概率；(2)有放回抽取時(shí)，在第一次取出紅球的條件下，第二次取出白球的概率。（12分）某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05(1)求該廠所生產(chǎn)的電子設(shè)備中任取一件是次品的概率；(2)若已知取出的一件是次品，求它是由第2家元件制造廠提供的概率。（12分）甲、乙、丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.4、0.5和0.6，求：(1)目標(biāo)被命中的概率；(2)在已知目標(biāo)被命中的條件下，是甲命中的概率。（12分）某保險(xiǎn)公司把客戶分為"易保型"和"難保型"兩類。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，"易保型"客戶在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.05，"難保型"客戶在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.20。若"易保型"客戶占總客戶的70%，"難保型"客戶占30%?，F(xiàn)有一客戶在一年內(nèi)發(fā)生了事故，求該客戶是"難保型"的概率。（12分）某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%。已知各車間的次品率分別為5%、4%、2%。現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件：(1)求取出的產(chǎn)品是次品的概率；(2)若取出的產(chǎn)品是次品，求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。參考答案與解析一、單項(xiàng)選擇題B解析：因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，所以P(B|A)=P(B)=0.3，故選B。B解析：由于兩次射擊是獨(dú)立的，所以在第一次命中目標(biāo)的條件下，第二次也命中目標(biāo)的概率仍為0.8，故選B。B解析：從5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，共有C(5,2)=10種取法。事件A包括兩種情況：兩個(gè)數(shù)均為奇數(shù)或兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)。共有C(3,2)+C(2,2)=3+1=4種取法，所以P(A)=4/10=2/5。事件B為兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，有C(2,2)=1種取法，所以P(AB)=1/10。因此P(B|A)=P(AB)/P(A)=1/4，故選B。A解析：設(shè)事件A為"第一次摸到白球"，事件B為"第二次摸到黑球"。P(A)=5/8，P(AB)=5/8×3/7=15/56，所以P(B|A)=P(AB)/P(A)=3/7，故選A。B解析：設(shè)A1、A2、A3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，B表示產(chǎn)品為次品。則P(A1)=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.20，P(B|A1)=0.04，P(B|A2)=0.02，P(B|A3)=0.05。由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.20×0.05=0.018+0.007+0.01=0.035，故選A。A解析：設(shè)A1、A2、A3、A4分別表示四條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品，B表示不合格品。則P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai)=0.15×0.05+0.20×0.04+0.30×0.03+0.35×0.02=0.0075+0.008+0.009+0.007=0.0315，故選A。A解析：設(shè)A1、A2、A3分別表示"謹(jǐn)慎型"、"普通型"和"冒險(xiǎn)型"客戶，B表示客戶在一年內(nèi)發(fā)生事故。則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.2×0.05+0.5×0.15+0.3×0.30=0.01+0.075+0.09=0.175，故選A。A解析：設(shè)A1表示"從甲袋中取出白球"，A2表示"從甲袋中取出紅球"，B表示"從乙袋中取出白球"。則P(A1)=3/8，P(A2)=5/8，P(B|A1)=3/6=1/2，P(B|A2)=2/6=1/3。由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=3/8×1/2+5/8×1/3=3/16+5/24=9/48+10/48=19/48≈0.3958，最接近的選項(xiàng)是A。二、多項(xiàng)選擇題BCD解析：A選項(xiàng)錯(cuò)誤，P(B|A)與P(A|B)是不同的概念；B選項(xiàng)是條件概率的定義；C選項(xiàng)是獨(dú)立事件的性質(zhì)；D選項(xiàng)正確，因?yàn)锽和B?構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。ABC解析：全概率公式要求A1,A2,...,An是樣本空間的一個(gè)劃分，即滿足兩兩互斥且并集為樣本空間，同時(shí)要求P(Ai)>0，所以ABC正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。ABC解析：A選項(xiàng)正確，由條件概率的性質(zhì)可得；B選項(xiàng)正確，若A?B，則AB=A，所以P(B|A)=P(A)/P(A)=1；C選項(xiàng)正確，若A與B互斥，則AB=?，所以P(B|A)=0；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，P(B|A)與P(A|B)一般不相等。ABCD解析：四個(gè)選項(xiàng)分別從不同角度描述了條件概率和全概率公式的概念及關(guān)系，均正確。三、填空題0.7解析：P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×0.8=0.4，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7。6解析：設(shè)女生班干部人數(shù)為x，則P(班干部|女生)=x/20=0.3，解得x=6。0.94解析：設(shè)A表示"甲解決問(wèn)題"，B表示"乙解決問(wèn)題"，則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.8-0.7×0.8=1.5-0.56=0.94。0.8142解析：設(shè)Ai表示"一批產(chǎn)品中有i件次品"，i=0,1,2,3,4，B表示"通過(guò)檢驗(yàn)"。則P(A0)=0.1，P(A1)=0.2，P(A2)=0.4，P(A3)=0.2，P(A4)=0.1。P(B|A0)=1，P(B|A1)=C(99,10)/C(100,10)=0.9，P(B|A2)=C(98,10)/C(100,10)≈0.8116，P(B|A3)=C(97,10)/C(100,10)≈0.7304，P(B|A4)=C(96,10)/C(100,10)≈0.6560。由全概率公式得P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai)=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.8116+0.2×0.7304+0.1×0.6560≈0.1+0.18+0.3246+0.1461+0.0656≈0.8163，最接近0.8142。四、解答題解：(1)P(AB)=P(B)P(A|B)=0.5×0.3=0.15(2)P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.15/0.4=0.375(3)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.5-0.15=0.75解：設(shè)A表示"第一次取出紅球"，B表示"第二次取出白球"(1)不放回抽取時(shí)，P(A)=3/5，P(AB)=3/5×2/4=3/10，所以P(B|A)=P(AB)/P(A)=(3/10)/(3/5)=1/2(2)有放回抽取時(shí)，由于兩次抽取獨(dú)立，所以P(B|A)=P(B)=2/5解：設(shè)Ai表示"元件由第i家制造廠提供"，i=1,2,3，B表示"元件是次品"(1)P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai)=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.003+0.008+0.0015=0.0125(2)P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/P(B)=0.80×0.01/0.0125=0.008/0.0125=0.64解：設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)(1)P(命中)=1-P(未命中)=1-P(A?B?C?)=1-P(A?)P(B?)P(C?)=1-0.6×0.5×0.4=1-0.12=0.88(2)P(A|命中)=P(A且命中)/P(命中)=P(A)/P(命中)=0.4/0.88≈0.4545解：設(shè)A1表示"易保型"客戶，A2表示"難保型"客戶，B表示"客戶發(fā)生事故"P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/[P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)]=0.3×0.20/[0.7×0.05+0.3×0.20]=0.06/[0.035+0.06]=0.06/0.095≈0.6316解：設(shè)A1、A2、A3分別表示甲、乙、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，B表示"產(chǎn)品是次品"(1)P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0125+0.014+0