第一章一元一次不等式的基本概念與性質(zhì)第二章一元一次不等式的解法第三章一元一次不等式組第四章一元一次不等式的應(yīng)用問題第五章一元一次不等式與函數(shù)的關(guān)系第六章一元一次不等式的綜合應(yīng)用01第一章一元一次不等式的基本概念與性質(zhì)第1頁引言：生活中的不等關(guān)系在日常生活中，我們經(jīng)常遇到各種不等關(guān)系。例如，小明準(zhǔn)備購買一本價(jià)格為58元的參考書，但他手頭只有40元。為了購買這本書，他需要再攢一些錢。設(shè)小明還需要攢x元，那么可以列出不等式：40+x≥58。這個(gè)不等式表示小明手頭的錢加上他需要再攢的錢必須大于或等于58元。生活中的不等關(guān)系無處不在，如購物預(yù)算、時(shí)間分配、資源限制等。這些關(guān)系都可以用一元一次不等式來表示和解決。通過學(xué)習(xí)一元一次不等式，我們可以更好地理解和解決生活中的實(shí)際問題。例如，如果小明的目標(biāo)是至少攢夠50元，那么他需要攢10元或更多。這個(gè)不等式不僅幫助我們理解問題，還能幫助我們找到解決方案。在學(xué)習(xí)一元一次不等式時(shí)，我們需要注意不等號(hào)的方向，確保在變形時(shí)不改變不等號(hào)的方向。例如，如果我們將不等式40+x≥58兩邊同時(shí)減去40，得到x≥18。這個(gè)不等式表示小明需要再攢至少18元。通過這樣的分析，我們可以更好地理解不等式的意義和應(yīng)用。第2頁不等式的定義與分類不等式的定義用不等號(hào)連接兩個(gè)代數(shù)式，形成的不等式稱為一元一次不等式。不等式的分類不等式可以分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式。嚴(yán)格不等式嚴(yán)格不等式表示兩個(gè)量之間的大小關(guān)系，如x>5或x<3。非嚴(yán)格不等式非嚴(yán)格不等式表示兩個(gè)量之間的大小關(guān)系，但允許等于的情況，如x≥4或x≤2。第3頁不等式的基本性質(zhì)加減性質(zhì)乘除性質(zhì)同向不等式相加不等式兩邊同時(shí)加減同一個(gè)數(shù)或整式，不等號(hào)方向不變。若乘以或除以正數(shù)，不等號(hào)方向不變；若乘以或除以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向必須改變。若a>b且c>d，則a+c>b+d。第4頁不等式的解集與數(shù)軸表示解集的定義解集是使不等式成立的所有實(shí)數(shù)的集合。數(shù)軸表示通過數(shù)軸可以直觀表示不等式的解集。開區(qū)間表示不包括端點(diǎn)，如x>3表示為(3,∞)。閉區(qū)間表示包括端點(diǎn)，如x≤5表示為(-∞,5]。02第二章一元一次不等式的解法第5頁解不等式的基本步驟解一元一次不等式的基本步驟包括去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)和合并同類項(xiàng)。首先，去分母是指將不等式兩邊的分母消去，通常通過乘以各分母的最小公倍數(shù)實(shí)現(xiàn)。例如，解不等式(frac{x}{2}-frac{1}{3}>frac{1}{4})時(shí)，首先將不等式兩邊乘以12（2、3和4的最小公倍數(shù)），得到6x-4>3。接下來，去括號(hào)是指將不等式中的括號(hào)展開，例如解不等式2(x-3)+1<5時(shí)，首先將括號(hào)展開，得到2x-6+1<5，即2x-5<5。然后，移項(xiàng)是指將含x的項(xiàng)移到一邊，常數(shù)項(xiàng)移到另一邊，例如解不等式3x-7>2x+5時(shí)，將2x移到左邊，得到3x-2x-7>5，即x-7>5。最后，合并同類項(xiàng)是指將同類項(xiàng)合并，例如解不等式x-7>5時(shí)，將7移到右邊，得到x>12。通過這些步驟，我們可以解出不等式的解集。第6頁解不等式的具體案例案例1：解4x-3≥2x+5移項(xiàng)：4x-2x≥5+3；合并：2x≥8；解得：x≥4。案例2：解(frac{2x+1}{3}<frac{x-2}{2})去分母：2(2x+1)<3(x-2)；去括號(hào)：4x+2<3x-6；移項(xiàng)：4x-3x<-6-2；解得：x<-8。第7頁含絕對(duì)值的不等式解法絕對(duì)值定義解法步驟示例絕對(duì)值表示x到原點(diǎn)的距離，分為兩種情況：x≥0時(shí)，|x|=x；x<0時(shí)，|x|=-x。絕對(duì)值不等式|ax+b|<c→-c<ax+b<c；|ax+b|>c→ax+b<-c或ax+b>c。解|2x-3|≤5→-5≤2x-3≤5→-2≤2x≤8→-1≤x≤4。第8頁不等式的實(shí)際應(yīng)用問題引入數(shù)學(xué)建模解得某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為30元，售價(jià)為50元。若要每月盈利超過2000元，至少需要生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則收入為50x，成本為30x。盈利不等式：50x-30x>2000。x>100。至少需要生產(chǎn)101件產(chǎn)品。03第三章一元一次不等式組第9頁引言：生活中的不等關(guān)系在日常生活中，我們經(jīng)常遇到多個(gè)約束條件的情況。例如，小明準(zhǔn)備購買一些筆記本和鉛筆，筆記本每本5元，鉛筆每支1元。他有20元預(yù)算，至少需要購買多少本筆記本？設(shè)購買筆記本x本，鉛筆y支，則可以列出不等式組：5x+y≤20，x≥0，y≥0。這個(gè)不等式組表示小明手頭的錢加上他需要再攢的錢必須大于或等于58元，同時(shí)筆記本和鉛筆的數(shù)量不能為負(fù)數(shù)。生活中的不等關(guān)系無處不在，如購物預(yù)算、時(shí)間分配、資源限制等。這些關(guān)系都可以用一元一次不等式組來表示和解決。通過學(xué)習(xí)一元一次不等式組，我們可以更好地理解和解決生活中的實(shí)際問題。例如，如果小明的目標(biāo)是至少購買5本筆記本，那么他需要再攢至少5元。這個(gè)不等式組不僅幫助我們理解問題，還能幫助我們找到解決方案。在學(xué)習(xí)一元一次不等式組時(shí)，我們需要注意每個(gè)不等式的解集，并找出所有解集的公共部分。第10頁不等式組的定義與解集定義不等式組是由多個(gè)一元一次不等式組成的不等式集合。解集不等式組的解集是所有不等式共同滿足的解的集合。數(shù)軸表示通過數(shù)軸可以直觀表示不等式組的解集。區(qū)間表示通過區(qū)間可以表示不等式組的解集，如(1,3)表示1<x<3。第11頁不等式組的解法步驟分別解每個(gè)不等式求交集數(shù)軸表示單獨(dú)解出每個(gè)不等式的解集。找出所有解集的公共部分。在數(shù)軸上標(biāo)出交集部分。第12頁不等式組的實(shí)際應(yīng)用問題引入數(shù)學(xué)建模結(jié)論某公司招聘員工，要求年齡在20歲到35歲之間，且學(xué)歷為大專及以上。若小明今年25歲，是大專學(xué)歷，是否符合招聘條件？設(shè)年齡為x歲，學(xué)歷為y，則可以列出不等式組：20≤x≤35，y≥大專。小明符合招聘條件。04第四章一元一次不等式的應(yīng)用問題第13頁引言：購物預(yù)算問題購物預(yù)算問題是一元一次不等式常見應(yīng)用之一。例如，小紅準(zhǔn)備購買一些筆記本和鉛筆，筆記本每本5元，鉛筆每支1元。她有20元預(yù)算，至少需要購買多少本筆記本？設(shè)購買筆記本x本，鉛筆y支，則可以列出不等式：5x+y≤20。這個(gè)不等式表示小紅手頭的錢加上她需要再攢的錢必須大于或等于58元。購物預(yù)算問題不僅幫助我們理解問題，還能幫助我們找到解決方案。例如，如果小紅的預(yù)算是20元，她可以購買最多4本筆記本和最多20支鉛筆。通過這樣的分析，我們可以更好地理解一元一次不等式的意義和應(yīng)用。第14頁購物預(yù)算問題的解法列出不等式根據(jù)預(yù)算和商品價(jià)格列出不等式。確定變量范圍通常x和y為非負(fù)整數(shù)。求滿足條件的整數(shù)解列舉所有可能的組合。選擇最優(yōu)解根據(jù)實(shí)際情況選擇最合適的解。第15頁時(shí)間分配問題的解法場景引入數(shù)學(xué)建模解法步驟小華每天有4小時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)間，需要完成數(shù)學(xué)作業(yè)和英語作業(yè)。數(shù)學(xué)作業(yè)需要1小時(shí)，英語作業(yè)需要2小時(shí)，他能完成多少小時(shí)的其他學(xué)習(xí)？設(shè)其他學(xué)習(xí)時(shí)間為x小時(shí)，則可以列出不等式：x+1+2≤4。解不等式：x+3≤4→x≤1。第16頁時(shí)間分配問題的解法列出不等式根據(jù)總時(shí)間和各科作業(yè)時(shí)間列出不等式。確定變量范圍通常x為非負(fù)數(shù)。求滿足條件的解x的取值范圍是0≤x≤1。結(jié)論小華最多能完成1小時(shí)的其他學(xué)習(xí)。05第五章一元一次不等式與函數(shù)的關(guān)系第17頁引言：函數(shù)與不等式的聯(lián)系函數(shù)與不等式在數(shù)學(xué)中有著密切的聯(lián)系。例如，某城市出租車的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為起步價(jià)10元（含3公里），之后每公里2元。若小麗乘坐出租車行駛了x公里，費(fèi)用為y元，費(fèi)用y何時(shí)會(huì)超過20元？設(shè)小麗行駛了x公里，則費(fèi)用y=10+2(x-3)。為了找到費(fèi)用超過20元的情況，我們可以列出不等式：10+2(x-3)>20。這個(gè)不等式表示小麗的費(fèi)用必須大于20元。通過解這個(gè)不等式，我們可以找到小麗行駛的公里數(shù)范圍。函數(shù)與不等式可以描述現(xiàn)實(shí)生活中的變化關(guān)系。通過學(xué)習(xí)函數(shù)與不等式的聯(lián)系，我們可以更好地理解和解決實(shí)際問題。例如，如果我們將費(fèi)用y表示為函數(shù)，那么我們可以通過解不等式找到費(fèi)用超過20元的情況。第18頁一次函數(shù)與不等式的關(guān)系一次函數(shù)定義不等式與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系示例y=kx+b，其中k≠0。不等式y(tǒng)>kx+b表示y在函數(shù)圖像上方。若y=2x+1，解y>5→2x+1>5→x>2。第19頁函數(shù)圖像與不等式解集數(shù)軸表示開區(qū)間閉區(qū)間通過數(shù)軸可以直觀表示不等式的解集。表示不包括端點(diǎn)，如x>3表示為(3,∞)。表示包括端點(diǎn)，如x≤5表示為(-∞,5]。第20頁實(shí)際應(yīng)用：成本與利潤分析問題引入某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品甲每單位排放0.5噸污染物，產(chǎn)品乙每單位排放0.3噸污染物。工廠每天最多排放1噸污染物，且產(chǎn)品甲的產(chǎn)量至少是產(chǎn)品乙的1.2倍。若工廠每天生產(chǎn)40單位產(chǎn)品，能否滿足環(huán)保要求？數(shù)學(xué)建模設(shè)產(chǎn)品甲的產(chǎn)量為x單位，產(chǎn)品乙的產(chǎn)量為y單位，則可以列出不等式組：0.5x+0.3y≤1，x≥1.2y，x+y=40。解法步驟解不等式組：x≥1.2y→x≥48；x+y=40→y=40-x；代入不等式：0.5x+0.3(40-x)≤1→0.2x≤-11→x≤-55。結(jié)論由于x必須為非負(fù)數(shù)，因此無法滿足環(huán)保要求。06第六章一元一次不等式的綜合應(yīng)用第21頁引言：多條件綜合問題多條件綜合問題是一元一次不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的復(fù)雜應(yīng)用。例如，某學(xué)校組織運(yùn)動(dòng)會(huì)，要求每個(gè)班級(jí)至少有30人參加，但人數(shù)不能超過50人。同時(shí)，要求男生人數(shù)至少是女生人數(shù)的1.2倍。若七年級(jí)（1）班有45人，其中男生20人，女生25人，是否滿足條件？設(shè)七年級(jí)（1）班的人數(shù)為x人，男生人數(shù)為y人，女生人數(shù)為z人，則可以列出不等式組：30≤x≤50，y≥1.2z，y+z=x。這個(gè)不等式組表示七年級(jí)（1）班的人數(shù)在30到50人之間，男生人數(shù)至少是女生人數(shù)的1.2倍，男生和女生人數(shù)之和等于45。通過解這個(gè)不等式組，我們可以判斷七年級(jí)（1）班是否滿足條件。多條件綜合問題需要同時(shí)滿足多個(gè)不等式，通過解不等式組，我們可以找到滿足所有條件的解集。第22頁多條件綜合問題的解法列出所有不等式根據(jù)問題中的約束條件列出所有不等式。分別解每個(gè)不等式單獨(dú)解出每個(gè)不等式的解集。求交集找出所有解集的公共部分。驗(yàn)證具體數(shù)值將具體數(shù)值代入不等式組驗(yàn)證是否滿足所有條件。第23頁經(jīng)濟(jì)問題與不等式問題引入某投資者購買兩種股票，A股票每股10元，B股票每股8元。他最多投資10000元，且A股票的投資額至少是B股票的1.2倍。他最多可以購買多少股A股票？數(shù)學(xué)建模設(shè)購買A股票x股，B股票y股，則可以列出不等式組：10x+8y≤10000，x≥1.2y。解法步驟解不等式組：x≥1.2y→x≥1200；10x+8y≤10000→10x+8(10000-x)≤10000→2x≤2000→x≤1000。結(jié)論最多可以購買1000股A股票。第24頁環(huán)境保護(hù)與不等式問題引入某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品甲每單位排放0.5噸污染物，產(chǎn)品乙每單位排放0.3噸污染物