2025年江蘇省江安高級中學(xué)創(chuàng)新班招生測試試題數(shù)學(xué)試題（筆試）一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個選項中只有一個選項正確。）1.根式的值為（）A． B．9 C． D．2.如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，它的左視圖是A． B． C． D．3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，要使它成為菱形，那么需要添加的條件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD4.如圖，在物理課上，老師將掛在彈簧測力計下端的鐵塊浸沒于水中，然后緩慢勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測力計的讀數(shù)（單位：與鐵塊被提起的高度（單位：之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是A．B． C． D．5.圖1是等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的圓心角的度數(shù)是A． B． C． D．6.如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°7.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，點P為矩形內(nèi)一動點，且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為（）A．5 B．1 C．2 D．38.（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的個位數(shù)字（）A．2 B．4 C．6 D．89.如圖，在軸的正半軸上依次截取，過點、、、分別作軸的垂線，與反比例函數(shù)交于點、、、，連接、、，過點、、分別向、、作垂線段，構(gòu)成的一系列直角三角形（圖中陰影部分）的面積和等于A． B． C． D．10.在平面直角坐標系中，C（0，4），點A在x軸上，以AC為對角線構(gòu)造平行四邊形ABCD，B點在第三象限，BC與x軸交于點F，延長BC至點E，使得EF＝5BF，BC＝EC，連結(jié)對角線BD與AC交于點G，連結(jié)EG、CD交于點H，若D、E在反比例函數(shù)y=kx上，S△DHG＝4，則A．30 B．24 C．20 D．15二．填空題（共8小題，每小題4分，共32分.）11.某校組織了一分鐘跳繩比賽活動，體育組隨機抽取了10名參賽學(xué)生的成績，將這組數(shù)據(jù)整理后制成如下統(tǒng)計表：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．一分鐘跳繩個數(shù)（個141142144145146學(xué)生人數(shù)（名3221212.五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標以不同時值的音符及其他記號來記載音樂．如圖，，，為直線與五線譜的橫線相交的三個點，則的值是．13.如圖為最受歡迎的智力游戲之一——三階魔方，三階魔方是由26個小立方塊和一個三維十字連接軸組成，且六個面分別涂有不同顏色，從小立方塊中任取一個，恰好有兩面涂色的概率為．14.如M＝{1，2，x}，我們叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如x≠1，x≠2），無序性（即改變元素的順序，集合不變）．若集合N＝{x，1，2}，我們說M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合B={115.我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為，，，記，那么其面積．如果某個三角形的三邊長分別為5，6，7，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是．16.觀察下列關(guān)于x的單項式，探究其規(guī)律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述規(guī)律，則第2023個單項式是．17.如圖，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)的一點，PO＝10，點Q，R分別在∠AOB的兩邊上，△PQR周長的最小值是．18.如圖，已知直線l與⊙O相離，過點O作OA⊥l于點A，交⊙O于M，OA＝6，OM＝4．P為⊙O上一點，當P在⊙O上運動時，作PB⊥l于點B，則AB+PB最大值為．三．解答題（本大題共6小題，共58分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（本題8分）（1）先化簡，再求值：x2?1x2?2x+1÷（2）分解因式：xy3+4xy2+4xy20.（本題8分）自江蘇省深化課程改革以來，如皋市某校開設(shè)了：．利用影長求物體高度，．制作視力表，．設(shè)計遮陽棚，．制作中心對稱圖形，四類數(shù)學(xué)實踐活動課．規(guī)定每名學(xué)生必選且只能選修一類實踐活動課，學(xué)校對學(xué)生選修實踐活動課的情況進行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息解決下列問題：（1）本次共調(diào)查名學(xué)生，扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的扇形的圓心角為度；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）選修類數(shù)學(xué)實踐活動的學(xué)生中有2名女生和2名男生表現(xiàn)出色，現(xiàn)從4人中隨機抽取2人做校報設(shè)計，請用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率．21.（本題8分）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，平分，過點作的平行線，交的延長線于點．（1）求證：與相切；（2）求證：．22.（本題10分）【閱讀材料】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；③tan(α+β)=tanα+tanβ利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如：tan105°=tan(45°+60°)=tan45°+tan60°【學(xué)以致用】根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：（1）求cos75°的值；（2）如圖，一架直升機在一建筑物CD上方的點A處測得建筑物頂端點D的俯角α為60°，底端點C的俯角β為75°，此時直升機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高；（3）疫情封控期間，直升機給該建筑物的居民投放物資，試求飛機從點A處往正東方向飛多遠，居民在點D處看飛機的仰角恰好是30°．23.（本題12分）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，AB＝10，CD＝6，點P是CD延長線上異于點D的一個動點，連結(jié)AP交⊙O于點Q，連結(jié)CQ交AB于點F，則點F的位置隨著點P位置的改變而改變．（1）如圖1，當DP＝4時，求tan∠P的值；（2）如圖2，連結(jié)AC，DQ，在點P運動過程中，設(shè)DP＝x，S△QAC①求證：∠ACQ＝∠CPA；②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．24.（本題12分）如圖，拋物線經(jīng)過和兩點，直線交拋物線于，兩點．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若，，的面積是，求的值；（3）如圖2，若是直角，求原點到距離的最大值．2025年江蘇省江安高級中學(xué)創(chuàng)新班招生測試試題數(shù)學(xué)試題（筆試）一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個選項中只有一個選項正確。）1.根式的值為（）A． B．9 C． D．2.如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，它的左視圖是A． B． C． D．【答案】【解答】解：從左邊看，是一列兩個小正方形．3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，要使它成為菱形，那么需要添加的條件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，故選項A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，不是菱形，故選項B不符合題意；C、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，不是菱形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項D符合題意；故選：D．4.如圖，在物理課上，老師將掛在彈簧測力計下端的鐵塊浸沒于水中，然后緩慢勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測力計的讀數(shù)（單位：與鐵塊被提起的高度（單位：之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是A． B． C． D．【解答】解：由題意可知，鐵塊露出水面以前，，浮力不變，故此過程中彈簧的度數(shù)不變，當鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，則拉力增加，當鐵塊完全露出水面后，拉力等于重力，故選：．5.圖1是等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的圓心角的度數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，解得：，圓心角的度數(shù)為：．故選：．6.如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【解答】解：延長DC交AB與G，延長CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故選：C．7.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，點P為矩形內(nèi)一動點，且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為（）A．5 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴點P在以BC為直徑的⊙O上，連接OD交⊙O于P′，連接OP、PD，如圖，∵PD≥OD﹣OP（當且僅當O、P、D共線時，取等號），即P點運動到P′位置時，PD的值最小，最小值為DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴線段PD的最小值為1．故選：B．8.（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的個位數(shù)字（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1＝（24﹣1）（24+1）...（232+1）﹣1＝264﹣1﹣1＝264﹣2，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，∴2n的個位數(shù)字為2，4，8，6四個數(shù)字的循環(huán)．∵64÷4＝16，∴264﹣2的個位數(shù)字是4．故選：B．9.如圖，在軸的正半軸上依次截取，過點、、、分別作軸的垂線，與反比例函數(shù)交于點、、、，連接、、，過點、、分別向、、作垂線段，構(gòu)成的一系列直角三角形（圖中陰影部分）的面積和等于A． B． C． D．【解答】解：，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為點的坐標為，、、、，在反比例函數(shù)的圖象上，，，，；；；，．故選：．10.在平面直角坐標系中，C（0，4），點A在x軸上，以AC為對角線構(gòu)造平行四邊形ABCD，B點在第三象限，BC與x軸交于點F，延長BC至點E，使得EF＝5BF，BC＝EC，連結(jié)對角線BD與AC交于點G，連結(jié)EG、CD交于點H，若D、E在反比例函數(shù)y=kx上，S△DHG＝4，則A．30 B．24 C．20 D．15【分析】由C（0，4），點A在x軸上，EF＝5BF，BC＝EC，可得BE＝6BF，CF＝2BF，設(shè)點F（﹣2a，0），則E（3a，10），B（﹣3a，﹣2），因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以BC∥AD，BC＝AD，易得四邊形ACED是平行四邊形，由D、E在反比例函數(shù)y=kx上，可得D（5a，6），又CG是△BDE的中位線，所以AC∥DE，則△CHG∽△DHE，可得GCED=12ACED=12，所以S△DHG=23S△DCG＝6，所以S△BCG=12（xG﹣xB）?CN=12?4a?CN＝2a?CN，根據(jù)點B和點D的坐標可得BD的解析式：y【解答】解：∵C（0，4），點A在x軸上，EF＝5BF，BC＝EC，∴BE＝6BF，CF＝2BF，設(shè)點F（﹣2a，0），則E（3a，10），B（﹣3a，﹣2），∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，BC＝AD，∵EC＝BC，∴EC∥AD，EC＝AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴點D的縱坐標為6，∵D、E在反比例函數(shù)y=kx上，∴30a＝6xD，∴xD＝5a，∴D（5∵點G為BD的中點，∴G（a，2），又∵點C為BE的中點，∴AC∥DE，∴△CHG∽△DHE，∴GCED=12ACED=12∵S△DHG＝4，∴S△DCG＝6，∴S△DCG＝S△BCG＝6，∴S△BCG=12（xG﹣xB）?CN=12?4a?CN＝2設(shè)直線BD的解析式為：y＝mx+n，∴?3am+n=?25am+n=6，解得m=1an=1，∴y=1a∴2a?3＝6，解得a＝1，∴E（3，10），將點E（3，10）代入y=kx，∴k＝30．故選：二．填空題（共8小題，每小題4分，共32分.）11.某校組織了一分鐘跳繩比賽活動，體育組隨機抽取了10名參賽學(xué)生的成績，將這組數(shù)據(jù)整理后制成如下統(tǒng)計表：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是143．一分鐘跳繩個數(shù)（個141142144145146學(xué)生人數(shù)（名32212【解答】解：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5、6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而這兩個數(shù)據(jù)分別為142、144，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故答案為：143．12.五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標以不同時值的音符及其他記號來記載音樂．如圖，，，為直線與五線譜的橫線相交的三個點，則的值是2．【解答】解：過點作于，交于，，，故答案為：2．13.如圖為最受歡迎的智力游戲之一——三階魔方，三階魔方是由26個小立方塊和一個三維十字連接軸組成，且六個面分別涂有不同顏色，從小立方塊中任取一個，恰好有兩面涂色的概率為．【解答】解：由圖形可知，三階魔方的26個小立方塊里一面涂色有6個，兩面涂色有12個，三面涂色有8個，恰好有兩面涂色的概率為，故答案為：．14.如M＝{1，2，x}，我們叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如x≠1，x≠2），無序性（即改變元素的順序，集合不變）．若集合N＝{x，1，2}，我們說M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合B={1x，|x|，yx}，若A＝B，則x﹣y的值是【解答】解：由題意知A＝{2，0，x}，由互異性可知，x≠2，x≠0．因為B＝{1x，|x|，yx}，A＝B，由x≠0，可得|所以yx=0，即y＝0，那么就有1x當1x=2|x|=x得x=所以當x=12時，A＝{2，0，12}，B＝{2，12，0}，此時所以x﹣y=115.我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為，，，記，那么其面積．如果某個三角形的三邊長分別為5，6，7，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是15．16.觀察下列關(guān)于x的單項式，探究其規(guī)律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述規(guī)律，則第2023個單項式是．17.如圖，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)的一點，PO＝10，點Q，R分別在∠AOB的兩邊上，△PQR周長的最小值是10．【解答】解：如圖所示，分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P'、P''，連接P'P''交OA、OB于點Q、R，此時，△PQR的周長最小，最小即為P'P''的長．連接OP'，OP''．根據(jù)軸對稱性可得：∠P''OB＝∠BOP，∠P'OA＝∠AOP，OP＝OP'＝OP''＝10，∵∠AOB＝45°，∴∠P'OP''＝90°，∴P'P''＝＝＝．故答案為：10．18.如圖，已知直線l與⊙O相離，過點O作OA⊥l于點A，交⊙O于M，OA＝6，OM＝4．P為⊙O上一點，當P在⊙O上運動時，作PB⊥l于點B，則AB+PB最大值為6+42．【分析】分兩種情況：當P點在過點O且平行于直線l的直線之上時，當P點不在過點O且平行于直線l的直線之上時，過點P作PN⊥AO于N，連接OP，通過證明所構(gòu)造的四邊形是矩形，設(shè)AB＝x，結(jié)合矩形的性質(zhì)利用勾股定理可得關(guān)于AB+PB的式子，再分別計算可求解．【解答】解：當P點在過點O且平行于直線l的直線之上時，過點P作PN⊥AO于N，連接OP，∴∠ONB＝90°，∵OA⊥l，PB⊥l，∴∠OAB＝∠PBA＝90°，∴四邊形ABNO是矩形，∴AB＝ON，NB＝OA＝6，設(shè)AB＝ON＝x，在Rt△ONP中，PN=OPB＝BN+PN＝6+16?∴AB+PB＝x+6+16?∴當x+16?x2最大值時，AB令y＝x+16?則y2＝（x+16?x2）2＝16+2x16?x2∴當x2﹣8＝0，即x=22時，y∴AB+PB=22+6+16?(2故當x＝22時，AB+PB最大，最大值為：6+42；當P點不在過點O且平行于直線l的直線之上時，過點P作PN⊥AO于N，連接OP，∴∠PNA＝90°，∵OA⊥l，PB⊥l，∴∠OAB＝∠PBA＝90°，∴四邊形ABPN是矩形，∴AB＝PN，PB＝AN，設(shè)AB＝PN＝x，在Rt△ONP中，ON=OPB＝AN＝OA﹣ON＝6?16?∴AB+PB＝x+6?16?∵16?x2≥∴當x＝4時，AB+PB最大，最大值為：4+6﹣0＝10．綜上，AB+PB的最大值為：6+42．故答案為：6+42．三．解答題（本大題共6小題，共58分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（1）先化簡，再求值：x2?1x2?2x+1÷【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后代入計算即可．【解答】解：(x+1)(x?1)(x?1)2?=1?x1+x，當x=1（2）分解因式：xy3+4xy2+4xy【分析】先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答．【解答】解：xy3+4xy2+4xy＝xy（y2+4y+4）＝xy（y+2）2，故答案為：xy（y+2）2．20.自江蘇省深化課程改革以來，如皋市某校開設(shè)了：．利用影長求物體高度，．制作視力表，．設(shè)計遮陽棚，．制作中心對稱圖形，四類數(shù)學(xué)實踐活動課．規(guī)定每名學(xué)生必選且只能選修一類實踐活動課，學(xué)校對學(xué)生選修實踐活動課的情況進行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息解決下列問題：（1）本次共調(diào)查名學(xué)生，扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的扇形的圓心角為度；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）選修類數(shù)學(xué)實踐活動的學(xué)生中有2名女生和2名男生表現(xiàn)出色，現(xiàn)從4人中隨機抽取2人做校報設(shè)計，請用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率．【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為（名，則扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的扇形的圓心角為．故答案為：60，．（2）類別人數(shù)為（人，則類別人數(shù)為（人，補全條形圖如下：（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的結(jié)果數(shù)為8，所以所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率為．21.如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，平分，過點作的平行線，交的延長線于點．（1）求證：與相切；（2）求證：．【解答】證明：（1）如圖：連接．平分，，；為直徑，，，，，，，與相切；（2），，，；四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，，，，．22.【閱讀材料】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；③tan(α+β)=tanα+tanβ利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如tan105°=tan(45°+60°)=tan45°+tan60°【學(xué)以致用】根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：（1）求cos75°的值；（2）如圖，一架直升機在一建筑物CD上方的點A處測得建筑物頂端點D的俯角α為60°，底端點C的俯角β為75°，此時直升機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高；（3）疫情封控期間，直升機給該建筑物的居民投放物資，試求飛機從點A處往正東方向飛多遠，居民在點D處看飛機的仰角恰好是30°．【解答】解：（1）cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=6（2）如圖，過點D作DF⊥AB于點F，∵β＝75°，BC＝42m，∴AB＝BC?tanβ＝42tan75°=42×tan45°+tan30°1?tan45°?tan30°=42×∵α＝60°，BC＝42m，∴AF=BC?tanα=423m，∴BF=CD=AB?423=84答：建筑物CD的高為84m；（3）延長CD交AE于點E，作∠GDM交AE于點M，并使∠GDM＝30°，∴