概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）1概率論是根據(jù)大量同類(lèi)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀(guān)的科學(xué)判斷，并對(duì)這種出現(xiàn)的可能性大小做出數(shù)量上的描述，比較這些可能性的大小，研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一套數(shù)學(xué)理論和方法。2作為一門(mén)學(xué)科，它醞釀?dòng)?6世紀(jì)前后的兩百余年之間，產(chǎn)生于十七世紀(jì)中期，本來(lái)是由保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來(lái)自于賭博者的請(qǐng)求，卻成為數(shù)學(xué)家們思考概率論中問(wèn)題的源泉。3“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏(yíng)

m局就算贏(yíng)，全部賭本就歸誰(shuí)。但是當(dāng)其中一個(gè)人贏(yíng)了

a(a<m)局，另一個(gè)人贏(yíng)了

b(b<m)局的時(shí)候，賭博中止。問(wèn)：賭本應(yīng)該如何分法才合理？”“劃分賭本”問(wèn)題4一般認(rèn)為，使概率論成為一門(mén)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（BernoulliJ.）.19世紀(jì)概率論朝著建立完整的理論體系和更廣泛的應(yīng)用方向發(fā)展。51917年蘇聯(lián)科學(xué)家伯恩斯坦首先給出了概率論的公理體系．1933年柯?tīng)柲缏宸蛴忠愿暾男问教岢隽烁怕收摰墓斫Y(jié)構(gòu)，從此，現(xiàn)代意義上的完整的概率論臻于完成．6數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用概率的理論來(lái)研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性；對(duì)通過(guò)科學(xué)安排的一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)方法給出嚴(yán)格的理論證明；并判定各種方法應(yīng)用的條件以及方法、公式、結(jié)論的可靠程度和局限性。使我們能從一組樣本來(lái)判定是否能以相當(dāng)大的概率來(lái)保證某一判斷是正確的，并可以控制發(fā)生錯(cuò)誤的概率。7數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展史上極重要的一個(gè)時(shí)期是從19世紀(jì)到二次大戰(zhàn)結(jié)束．以費(fèi)歇爾（R.A.Fisher）和皮爾遜（K.Pearson為首的英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)派，在這個(gè)時(shí)期起了主導(dǎo)作用．8第1章概率論的基本概念第2章隨機(jī)變量及其分布第3章多維隨機(jī)變量及其分布第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課程內(nèi)容9第6章樣本及抽樣分布第7章參數(shù)估計(jì)第5章大數(shù)定律與中心極限定理第8章假設(shè)檢驗(yàn)10謝謝！11中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）12劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮第一章隨機(jī)事件及其概率13隨機(jī)事件概率的定義與性質(zhì)古典概型與幾何概型條件概率、全概率公式、貝葉斯公式事件的獨(dú)立性14§1.1隨機(jī)事件1.1隨機(jī)試驗(yàn)151.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間定義1.1.1具有以下性質(zhì)的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)：隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn))通常用字母E表示.（2）試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在試驗(yàn)之前知道所有可能的結(jié)果；（3）試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；16E1：擲一枚骰子，觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);E2：在同一批次的電子產(chǎn)品中任取一件，測(cè)試其壽命;E3：記錄某地區(qū)一次降雨的降雨量;E4：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某一觀(guān)測(cè)點(diǎn)的汽車(chē)數(shù).隨機(jī)試驗(yàn)E的一切可能結(jié)果組成的集合稱(chēng)為E的樣本空間，記為S.樣本空間中的元素，即E的每一個(gè)可能的結(jié)果,，稱(chēng)為樣本點(diǎn)，記為e.上述隨機(jī)試驗(yàn)E1，E2，E3，E4的樣本空間分別是:S1={1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)};S2={t|t≥0};S4={n|n=0,1,2,…}.S3={x0≤x≤350}(單位為mm，其中350為該地區(qū)同期降雨量的最大值);17一般地，試驗(yàn)E的樣本空間S的子集稱(chēng)為E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件.事件用大寫(xiě)英文字母A，B，C等表示.由單個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件稱(chēng)為基本事件，否則稱(chēng)為復(fù)雜事件.在一次試驗(yàn)中，如果試驗(yàn)的結(jié)果為事件A中的樣本點(diǎn)，則稱(chēng)在這次試驗(yàn)中事件A發(fā)生.由于樣本空間S包含試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，因此每次試驗(yàn)時(shí)S總是發(fā)生的，故稱(chēng)S為必然事件：而空集Ф不包含任何樣本點(diǎn)，因此每次試驗(yàn)時(shí)Ф都不發(fā)生，故稱(chēng)Ф為不可能事件.

181.1.2隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，而A，B，Ai(i=1,2,…)是E的事件.(1)如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱(chēng)事件B包含事件A，記作A?B.(2)如果A?B且B?A，則稱(chēng)事件A與B相等，記作A=B.(3)事件“A與B至少有一個(gè)發(fā)生”稱(chēng)為事件A與B的和事件，記作A∪B.事件A1,A2,…,An的和事件記作A1∪A2∪…∪An或.Ai事件A1,A2,…的和事件記作

Ai.19(4)事件“A與B

同時(shí)發(fā)生”稱(chēng)為事件A與B的積事件，記作A∩B，簡(jiǎn)記為AB.事件A1,A2,…,An的積事件記作A1∩A2∩…∩An或Ai.事件A1,A2,…的積事件記作Ai.若A∩B=Ф，則稱(chēng)事件A與B互不相容或互斥，此時(shí)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生.若一組事件中的任意兩個(gè)事件均互不相容，則稱(chēng)這組事件兩兩互不相容.若A∪B=S且A∩B=Ф，則稱(chēng)事件A與B互為對(duì)立事件或互逆事件，A的對(duì)立事件記為.20(5)事件“A

發(fā)生且B不發(fā)生”稱(chēng)為事件A與B的差事件，記作A-B.顯然有A-B=A-AB=；

∪AB=A.21事件之間的運(yùn)算滿(mǎn)足如下規(guī)律:(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律(4)德·摩根律謝謝！22中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）23劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮第一章隨機(jī)事件及其概率24隨機(jī)事件概率的定義與性質(zhì)古典概型與幾何概型條件概率、全概率公式、貝葉斯公式事件的獨(dú)立性25§1.2概率的定義及性質(zhì)1.2概率的定義及性質(zhì)261.2.1頻率定義1.1.1設(shè)A為試驗(yàn)E的一個(gè)事件，將E在相同條件下重復(fù)n次，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻數(shù)，稱(chēng)為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為，即.事件的頻率具有如下三個(gè)基本性質(zhì)：(1)對(duì)于任一事件A，有0≤fn(A)≤1；(2)fn(A)=1；

(3)設(shè)A1,A2,…,Am

為m個(gè)兩兩互不相容的事件，則有27定義1.2.2(概率的公理化定義)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S，對(duì)E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記作P(A)，如果賦值方式P(·)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：(1)非負(fù)性對(duì)任一事件A，有P(A)≥0;(2)規(guī)范性P(S)=1；

(3)可列可加性對(duì)于兩兩互不相容的事件A1，A2，…

，有則稱(chēng)P(A)為事件A的概率.281.2.2概率的性質(zhì)(1)P(

)=0.證由于

=

∪

∪…，所以故P(

)=0.P(

)=P(

∪

∪…)=

)(2)(有限可加性)設(shè)事件A1，A2，…，An兩兩互不相容，則由可列可加性及P(

)=0，有證因?yàn)椤?/p>

29(3)設(shè)A，B為事件，且A?B，則P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B).

證由A?B有B=A∪(B-A)，而A∩(B-A)=

，由有限可加性，有P(B)=P(A)+P(B-A)，即P(B-A)=P(B)-P(A).進(jìn)而有P(A)≤P(B).

(4)對(duì)任意事件A，有P(A)≤1.證因?yàn)閷?duì)任意事件A均有A?S，從而由性質(zhì)(3)，有

P(A)≤P(S)=1.30(5)對(duì)任意事件A，有.證因?yàn)閷?duì)任意事件A均有

且

，從而故.31(6)(加法公式)對(duì)任意事件A與B，有.證對(duì)事件A與B，有

，而

，故由于A(yíng)B?B，從而由性質(zhì)(3)，有.設(shè)事件A1，A2，…，An兩兩互不相容，則32例1.2.1設(shè)事件A,B,C滿(mǎn)足:P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10，P(AC)=1/15，P(BC)=1/20，P(ABC)=1/30.求：解由于，且與互不相容，從而有謝謝！33中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）34劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮第一章隨機(jī)事件及其概率35隨機(jī)事件概率的定義與性質(zhì)古典概型與幾何概型條件概率、全概率公式、貝葉斯公式事件的獨(dú)立性36§1.3古典概型與幾何概型1.3古典概型與幾何概型1.3.1古典概型若隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足:(1)樣本空間只包含有限個(gè)樣本點(diǎn);則稱(chēng)該隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型或等可能概型.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S={e1,e2,…,en}，則基本事件的概率為若事件A={ei1,ei2,…,eij}(j≤n)，則(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，

例1.3.1設(shè)袋中有5只球，其中只有1只為紅色，分別按不放回及放回兩種方式從袋中取球3次，每次一只.求：前3次取到的球中有紅球的概率；第3次首次取到紅球的概率.解設(shè)A={前3次取到的球中有紅球}，B={第3次首次取到紅球}.取球方式為不放回時(shí)，樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)為

，A、B

中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為

和.故B中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

，故當(dāng)取球方式為放回時(shí)，樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)為53，中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

，從而有解由題意知，樣本空間S中樣本點(diǎn)的總數(shù)為Nn

.例1.3.2設(shè)有n個(gè)人，每人都有同等的機(jī)會(huì)被分配到N(n≤N)間房中的每一間.求下列事件的概率：(1)A={某指定的n間房中各有一人};(2)B={恰有n間房中各有一人}；(3)C={某指定的一間房中恰有m(m≤n)人}.(1)A中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n!，故(2)B中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

，故(3)C中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，故411.3.2幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足:(1)樣本空間可以幾何化為一個(gè)測(cè)度(如長(zhǎng)度、面積等)有限的幾何圖形(如長(zhǎng)度有限的線(xiàn)段、面積有限的區(qū)域等)；

(2)事件A發(fā)生的可能性的大小與A的測(cè)度成正比，設(shè)樣本空間S的測(cè)度為L(zhǎng)(S)，事件A的測(cè)度為L(zhǎng)(A)，則有則稱(chēng)該隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型.例1.3.3在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)數(shù)，以A表示事件“兩數(shù)之和小于3/2”，B表示事件“兩數(shù)之和等于3/2”，求P(A)，P(B).解用x，y表示取得的兩個(gè)數(shù)，則有進(jìn)而有43例1.3.4小明家的晚報(bào)在下午5:30—6:30之間的任意時(shí)刻被隨機(jī)地送到.小明家在下午6:00—7:00之間的任意時(shí)刻隨機(jī)地開(kāi)始晚餐.求晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到的概率.解設(shè)晚報(bào)被送到的時(shí)刻為x，晚餐開(kāi)始的時(shí)刻為y，由題意有設(shè)A={晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到}，因此進(jìn)而有謝謝！44中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）45劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮第一章隨機(jī)事件及其概率46隨機(jī)事件概率的定義與性質(zhì)古典概型與幾何概型條件概率、全概率公式、貝葉斯公式事件的獨(dú)立性47§1.4條件概率、全概率公式、貝葉斯公式1.4條件概率、全概率公式、貝葉斯公式1.4.1條件概率及乘法公式為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.定義1.4.1設(shè)A,B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱(chēng)P(B|A)=P(AB)P(A)條件概率具有如下性質(zhì):(1)非負(fù)性對(duì)任意事件B，有P(B|A)≥0；

(2)規(guī)范性P(S|A)=1；

(3)可列可加性對(duì)于兩兩互不相容的事件B1,B2,…

，有4例1.4.2設(shè)事件A,B,C滿(mǎn)足P(AC)=0,P(AB)=1/2,P(C)=1/3,求解依題意有5例1.4.3設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品.現(xiàn)從中任取兩件產(chǎn)品，已知兩件產(chǎn)品中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解設(shè)A={兩件產(chǎn)品中有一件不合格品}，B={另一件也是不合格品}，則AB={兩件產(chǎn)品均為不合格品}.由古典概型，有故67由條件概率的定義可知，若P(A)>0，則有稱(chēng)該式為概率的乘法公式.P(AB)=P(A)P(B|A)，

若事件A1,A2,…,An

滿(mǎn)足P(A1A2

…

An-1

)>0，則有8例1.4.4袋中裝有n只紅球、m只白球，每次從袋中任取一只球，觀(guān)察其顏色后放回，并再放入a只與所取的那只球同色的球，現(xiàn)連續(xù)進(jìn)行4次，求前3次取到白球并且第4次取到紅球的概率.解記Ai={第i次取到的球?yàn)榘浊騷，i=1,2,3,4，則A4={第4次取到的球?yàn)榧t球}，按取球的先后順序，則有1.4.2全概率公式與貝葉斯公式定義1.4.2若事件滿(mǎn)足:則稱(chēng)

為樣本空間S的一個(gè)劃分.(1)

(2)定理1.4.1(全概率公式)設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，A為E的一個(gè)事件,為S的一個(gè)劃分，且有，則53例1.4.5一批產(chǎn)品共100件，其中20件為甲廠(chǎng)生產(chǎn)，30件為乙廠(chǎng)生產(chǎn)，50件為丙廠(chǎng)生產(chǎn).已知三廠(chǎng)產(chǎn)品的合格率分別是85%、80%、90%，求這批產(chǎn)品的合格率.解記A={取到的一件產(chǎn)品為合格品}，B1,B2,B3依次表示取到的產(chǎn)品的生產(chǎn)廠(chǎng)家為甲、乙、丙.由題意有再由全概率公式有54例1.4.6發(fā)射一枚魚(yú)雷擊中潛艇致命部位的概率為1/4，擊中非致命部位的概率為1/2，沒(méi)擊中的概率為1/4.潛艇被擊中致命部位即被擊毀；非致命部位被擊中時(shí)，潛艇被擊毀的概率為5/9.求發(fā)射一枚魚(yú)雷時(shí)潛艇被擊毀的概率.解記A={潛艇被擊毀}，B1={魚(yú)雷擊中致命部位}，B2={魚(yú)雷擊中非致命部位}，B3={魚(yú)雷沒(méi)有擊中潛艇}，則由全概率公式有55定理1.4.2(貝葉斯公式)設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，A為E的一個(gè)事件，為S的一個(gè)劃分，且

，則證由已知有56例1.4.7(續(xù)例1.4.5)從這批產(chǎn)品中任取一件，若其為不合格品，求它由甲廠(chǎng)生產(chǎn)的概率.解由貝葉斯公式有即它由甲廠(chǎng)生產(chǎn)的概率是0.214.57例1.4.8在自然人群中某種疾病的發(fā)病率為4‰.醫(yī)療機(jī)構(gòu)研發(fā)出一種試劑檢驗(yàn)法，對(duì)于患者該方法檢驗(yàn)為陽(yáng)性的概率是95%；對(duì)于健康的人，該方法檢驗(yàn)為陽(yáng)性的概率是2%.現(xiàn)某人被該方法檢驗(yàn)為陽(yáng)性，求其患有這種疾病的概率.解記A={此人患有該疾病}，B={此人被檢驗(yàn)為陽(yáng)性}，則由已知有從而58謝謝！59中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）60劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮第一章隨機(jī)事件及其概率61隨機(jī)事件概率的定義與性質(zhì)古典概型與幾何概型條件概率、全概率公式、貝葉斯公式事件的獨(dú)立性62§1.5事件的獨(dú)立性1.5事件的獨(dú)立性1.5.1事件的獨(dú)立性及性質(zhì)4定義1.5.1設(shè)A，B是兩個(gè)事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱(chēng)A與B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)A與B獨(dú)立.定理1.5.1設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(B)>0，則事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A|B)=P(A).定理1.5.2如果事件A與B獨(dú)立，則A與,與B,與均相互獨(dú)立.證由A與B獨(dú)立，有因此A與獨(dú)立.其它類(lèi)似可證.5定義1.5.2如果事件A,B,C滿(mǎn)足:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱(chēng)A,B,C相互獨(dú)立.一般地，如果事件