2025~2026學(xué)年湖南省長沙市望城區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題(★★)1.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則（）

A．B．20C．D．6(★★)2.如圖所示，下列頻率分布直方圖，根據(jù)所給圖做出以下判斷，正確的是（）

A．平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)B．眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)C．平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)D．平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)(★★★)3.如圖，在斜棱柱中，與的交點(diǎn)為點(diǎn)，，，，則（）

A．B．C．D．(★★)4.若一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的體積相等，側(cè)面積也相等，且圓錐底面半徑是圓柱底面半徑的倍，圓柱的高為3，則該圓錐的體積為（）

A．B．C．D．(★★)5.已知，則“”是“為常數(shù)”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(★★★)6.若，，，則在上的投影向量的模為（）

A．B．C．D．(★★★)7.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則切點(diǎn)弦所在直線的方程為（）

A．B．C．D．(★★★)8.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且△的內(nèi)切圓半徑為若P在第一象限，則=（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上為增函數(shù)D．把的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象(★★★)10.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）

A．若向量與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；B．若非零向量滿足，，則有；C．若是空間向量的一組基底，且，則四點(diǎn)共面；D．若向量是空間向量一組基底，則也是空間向量的一組基底.(★★★★)11.在數(shù)學(xué)中有“四瓣花”系列曲線，下列結(jié)論正確的有（）

A．曲線恰好經(jīng)過9個(gè)豎點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）B．曲線夾在直線和直線之間C．曲線所圍成區(qū)域面積是所圍成區(qū)域面積的5倍D．曲線上任意兩點(diǎn)距離都不超過三、填空題(★★★)12.已知直線與直線平行，則平行線間的距離為______.(★★★)13.已知函數(shù)（且）的圖像恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．(★★★★)14.已知為橢圓上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，且的最大值為6，則該橢圓離心率的最大值為________.四、解答題(★★★)15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．(★★★)16.已知圓，直線．(1)設(shè)與圓交于，兩點(diǎn)，若，求的傾斜角；(2)設(shè)與圓交于，兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程．(★★★)17.甲、乙兩人參加某高校的入學(xué)面試，入學(xué)面試有道難度相當(dāng)?shù)念}目，甲答對(duì)每道題目的概率都是，乙答對(duì)每道題目的概率都是，對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，且甲、乙兩人答題互不影響；(1)若每位面試者都必須回答全部3道題，求甲答對(duì)3道題目的概率．(2)若每位面試者都必須回答全部3道題，求乙恰好答對(duì)2道題目的概率．(3)若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第次為止，求甲、乙兩人只有一人通過面試的概率．(★★★★)18.如圖.在四棱錐中，四邊形是直角梯形.，且為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.(★★★★)19.已知橢圓過點(diǎn)，離心