體系搭建體系搭建一、知識框架知識概念（一）正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）變形：①②角化邊③邊化角（二）余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c2－2bccosA； ①b2=c2+a2－2cacosB； ②c2=a2+b2－2abcosC. ③在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得cosA=；cosB=；cosC=.利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.（3）在ABC中，若，則角是直角；若，則角是鈍角；若，則角是銳角．（三）三角形中的公式變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。面積公式：其中r為三角形內切圓半徑，p為周長之半。（四）解斜三角形的常規(guī)思維方法（1）已知兩角和一邊（如），由求，由正弦定理求；（2）已知兩邊和夾角（如），應用余弦定理求邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如），應用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求邊，要注意解可能有多種情況；A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數無解一解兩解一解一解無解也可設出第三邊,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.(五)射影定理在任意三角形中,設的對邊分別為a,b,c，則有（六）張角定理在中,是BC上的一點,連結AD.那么例題分析例題分析考向1利用正弦、余弦定理解三角形【例1】在中，，，，則解：在中，，，，，則．變式訓練【變1-1】在中，，，，則A． B． C． D．解：在中，，，，由余弦定理可得；故；，故選：．【變1-2】的內角，，的對邊分別為，，．已知，，則A．6 B．5 C．4 D．3解：的內角，，的對邊分別為，，，，，，解得，．故選：．【變1-3】記的內角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則．解：的內角，，的對邊分別為，，，面積為，，，，又，（負值舍）故答案為：．【變1-4】．在①，②，③，這三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并判斷三角形是否有解，若有解，求出的值；若無解，請說明理由．在中，已知道，，分別是角，，的對邊，且滿足，．解：若選擇①，則或，因為，所以或，顯然矛盾，此時三角形無解．若選擇②，由正弦定理可知．又．所以，．由余弦定理，可得，解得或，若則由知，又因為，所以得，這與矛盾，舍去．經檢驗知，當時適合題意，故若選擇③，因為，所以，即，得，此時，所以，此時矛盾，此時三角形無解．考向2判斷三角形的形狀【例2】在中，、、分別為角、、的對邊），則的形狀為A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形解：，，，又由余弦定理可得，可得：，三角形為以為直角的直角三角形．故選：．變式訓練【變2-1】．（多選）下列命題中，正確的是A．在中，，則 B．在銳角中，不等式恒成立 C．在中，若，則必是等腰直角三角形 D．在中，若，，則必是等邊三角形解：對于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對于，在銳角中，，，，，，因此不等式恒成立，正確對于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯誤．對于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確．故選：．【變2-2】．已知向量，，，（1）求函數的最小正周期及取得最大值時對應的的值；（2）在銳角三角形中，角、、的對邊為、、，若，求三角形面積的最大值并說明此時該三角形的形狀．解：（1）由已知得，又，于是，的最小正周期為；當，即，，的最大值為．（2）銳角三角形中，由（1）得，，，由余弦定理知，，即，（當且僅當時取得等號成立），當三角形為等邊三角形時面積取得最大值為．【變2-3】在中，角，，所對的邊長為，，，，．（Ⅰ）若，求的面積；（Ⅱ）是否存在正整數，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：，根據正弦定理可得，，，，，，在中，運用余弦定理可得，，，．，為鈍角三角形時，角必為鈍角，，，，，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，，即，即，，為正整數，．考向3三角形面積有關計算問題【例3】的內角、、的對邊分別為、、，已知，，則的面積為________.解：由正弦定理知，，，，即，，，由余弦定理知，，，，即，的面積．變式訓練【變3-1】．（多選）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜幕減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現有滿足，且的面積，請運用上述公式判斷下列命題正確的是A．周長為 B．三個內角，，滿足關系 C．外接圓半徑為 D．中線的長為解：現有滿足，所以，設，，，，利用余弦定理，由于，所以．所以，故，所以三個內角，，成等差數列，故正確；利用，所以，解得．所以：，，，所以的周長為，故正確；利用正弦定理，外接圓半徑為，故錯誤；如圖所示：利用正弦定理，解得，所以，利用余弦定理：，解得，故正確．故選：．【變3-2】在中，、、的對邊分別為、、，且，則的面積為．解：，，即，即，即，則，，，即，，則的面積為，故答案為：．【變3-3】在中，角，，的對邊分別是，，，若，，則的面積的最大值為．解：中，由，得，所以；又，所以，，所以，解得；又，由余弦定理得，，即；所以，所以，當且僅當時“”成立；所以面積的最大值為．故答案為：．【變3-4】某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，是圓弧與直線的切點，是圓弧與直線的切點，四邊形為矩形，，垂足為，，，，，到直線和的距離均為，圓孔半徑為，則圖中陰影部分的面積為．解：作垂直于，交、于、，垂足為，過點作垂直于，垂足為，到直線和的距離均為，，又，，，，，，，由于是圓弧的切線，，，設大圓的半徑為，則，，，，，解得，圖中陰影部分面積分為扇形和直角的面積減去小半圓的面積，所以．故答案為：．【變3-5】的內角、、的對邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．解：（1），即為，可得，，，若，可得，不成立，，由，可得；（2）若為銳角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形為銳角三角形，可得且，且，解得，可得面積，．考向4平面幾何中的解三角形問題【例4】如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則．解：由已知得，，因為、、三點重合，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，則在中，由余弦定理得，故答案為：．變式訓練【變4-1】如圖，在平面四邊形中，，，，的面積為，（1）求的值；（2）若，求的長解：（1）的面積為，又，，由余弦定理可得：由正弦定理可得：分（2），，在中，由正弦定理可得：由余弦定理，，可得：，解得：，或（舍去）【變4-2】如圖，在中，內角，，的對邊分別為，，，已知，，，，分別為線段上的點，且，．（1）求線段的長；（2）求的面積．解：（1）根據題意，，，，則；又由，解可得，即，則，在中，由余弦定理得：，則；（2）根據題意，平分，則，變形可得：，，則，．【變4-3】如圖，在四邊形中，，，．（1）求；（2）若，求周長的最大值．解：（1）在中，，所以，利用正弦定理得，所以，又因為為鈍角，所以為銳角，故；（2）在中，由余弦定理得，解得或（舍去），在中，，設，，由余弦定理得，即，整理得，又，，利用基本不等式得，即，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為8，所以的最大值為，所以周長的最大值為12．考向5射影定理在三角形中的應用【例5】．在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則B＝____A． B． C． D．解：∵，∴由正弦定理可得sinA＝sinBcosC+sinCsinB，又∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB，∴sinBcosC+sinCsinB＝sinBcosC+sinCcosB，即：sinCsinB＝sinCcosB，∵C為三角形內角，sinC≠0，∴sinB＝cosB，可得tanB＝，∵B∈（0，π），∴B＝．方法,所以變式訓練【變5-1】．在△ABC中，角A，B，C所對的邊是a，b，c，已知a＝2，則bcosC+ccosB等于（）A．1 B． C．4 D．2解：在△ABC中，由正弦定理可得：，∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．∴bcosC+ccosB＝2RsinBcosC+2RsinCcosB＝2R（sinBcosC+sinCcosB）＝2RsinA＝a＝2．故選：D．方法2:2，故選D【變5-2】．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝bcosC且c＝6，A＝，則△ABC的面積（）A．2 B．3 C．4 D．6解：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∵a＝bcosC，∴由余弦定理可得a＝bcosC＝b×，即a2+c2＝b2，∴△ABC為直角三角形，B為直角，∵A＝，c＝6，∴可得C＝，由正弦定理，即＝，解得a＝2．∴S△ABC＝ac＝×6×2＝6．故選：D．方法,所以【變5-3】△ABC中角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若a＝bcosC+csinB，b＝2，則△ABC面積的面積的最大值為______.解：△ABC中，a＝bcosC+csinB，由正弦定理得sinA＝sinBcosC+sinCsinB，又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，∴cosBsinC＝sinCsinB，又sinC≠0，∴sinB＝cosB，又B∈（0°，180°），∴B＝45°；由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，即4＝a2+c2﹣2accos45°，整理得4＝a2+c2﹣ac；又a2+c2≥2ac（當且僅當a＝c取等號），∴4≥2ac﹣ac，即ac≤＝2（2+），∴△ABC的面積為S＝acsin45°＝ac≤×2（2+）＝+1，∴△ABC面積的最大值為+1．方法,所以,剩余過程同上考向6張角定理在三角形中的應用【例6】．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足為∠BAC的角平分線，且，則b＝6．解：記A＝2θ，∵cosA＝＝2cos2θ﹣1，∴cosθ＝（負值舍），在△ABD中，BD2＝9+10﹣2××，∴BD＝2，由角平分線定理可知＝，∴DC＝b，在△ACD中，cosθ＝＝∴b＝3或b＝6，經檢驗b＝6符合題設．故答案為：6．方法2:變式訓練【變6-1】．如圖，在同一個平面內，向量，，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα＝7，與的夾角為45°．若＝m+n（m，n∈R），則m+n＝（）A．1 B．2 C．3 D．4解：如圖所示，建立直角坐標系．A（1，0）．與的夾角為α，且tanα＝7，得到：cosα＝，sinα＝，C（，），解得：cos（α+45°）＝﹣，sin（α+45°）＝，所以：B（﹣，），利用＝m+n（m，n∈R），解得：m＝，n＝故：m+n＝3故選：C．方法2:連接AB交OC于D【變6-2】．已知在△ABC中，，AB＝1，角A的平分線，則AC＝（）A． B． C． D．解：在三角形ABD中，∴，∴，∴，∴，∴，易知cos＝，在△ABC中，∴．故選：C．方法2:AD平分,則有直接得到答案【變6-3】．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則2a+c的最小值為3+2．解：∵s△ABC＝s△ABD+s△CBD∴＝，∴c+a＝ac，即則2a+c＝（2a+c）（）＝3+當且僅當且即a＝1+，c＝1+時取等號故答案為：3+2方法2:BD平分,則有實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，則等于（）A． B． C． D．解：由bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA＝．又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+4b2﹣4b2×＝3b2，得＝．故選：D．2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，設AB邊上的高為h，則h＝（）A． B． C． D．解：∵a＝2，b＝3，c＝4，∴cosA＝＝＝，則sinA＝＝＝＝，則h＝ACsinA＝bsinA＝3×＝，故選：D．3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，則＝（）A．6 B．5 C．4 D．3解：∵△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，∴由正弦定理得：，解得3c2＝，∴＝6．故選：A．（多選）4．某人向正東方向走了xkm后向右轉了150°，然后沿新方向走了3km，結果離出發(fā)點恰好，則x的值為（）A． B．2 C．2 D．3解：如圖所示，△OAB中，OA＝xkm，∠OAB＝180°﹣150°＝30°，AB＝3km，OB＝，由余弦定理得，x2+32﹣2x×3×cos30°＝，化簡得，x2﹣3x+6＝0，解得x＝或x＝2．故選：AB．（多選）5．對于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若cosA＝cosB，則△ABC為等腰三角形 B．若△ABC為銳角三角形，有，則sinA＞cosB C．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個 D．若sin2A+sin2B＜sin2C，則△ABC是鈍角三角形解：對于A：若cosA＝cosB，利用余弦定理的應用，整理得：a＝b，故△ABC為等腰三角形，故A正確；對于B：若△ABC為銳角三角形，有，整理得A，故sinA，則sinA＞cosB，故B正確；對于C：由于a＝8，c＝10，B＝60°，利用余弦定理求出b＝＝2，故△ABC唯一，故C錯誤；對于D：sin2A+sin2B＜sin2C，利用正弦定理：a2+b2＜c2，故，故C，故△ABC是鈍角三角形，故D正確．故選：ABD．6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，A＝60°，則c＝3，sinB+sinC＝．解：因為a＝，b＝2，A＝60°，由余弦定理得cosA＝＝＝，解得c＝3或c＝﹣1（舍），故c＝3，由正弦定理得，＝＝，故sinB＝，sinC＝，故sinB+sinC＝．故答案為：3，．7．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosB＝，b＝4，S△ABC＝4，則△ABC的周長為4．解：∵cosB＝，b＝4，S△ABC＝4，∴sinB＝＝，可得：4＝acsinB＝，解得：ac＝12，①∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：16＝a2+c2﹣2×，可得：a2+c2＝24，②∴聯立①②可得：a＝c＝2，∴△ABC的周長為a+b+c＝4+4．故答案為：4+4．8．在△ABC中，C＝60°，且＝2，則△ABC的面積S的最大值為．解：由正弦定理＝，可得c＝，再三角形ABC中，由余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcosC，因為c＝3，C＝，所以ab＝a2+b2﹣3≥2ab﹣3，所以ab≤3，當且僅當，等式成立，所以△ABC面積的最大值，故答案為：．9．如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝，則BD的長為．解：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAD+90°，∴sin∠BAC＝sin（∠BAD+90°）＝cos∠BAD＝，在△ABD中，AB＝3，AD＝，根據余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD＝9+3﹣2×3××＝3，則BD＝．故答案為：．10．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面積為，若線段BA的延長線上存在點D，使∠BDC＝，則CD＝．解：∵AC＝，BC＝，△ABC的面積為＝AC?BC?sin∠ACB＝sin∠ACB，∴sin∠ACB＝，∴∠ACB＝，或，∵若∠ACB＝，∠BDC＝＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，與三角形內角和定理矛盾，∴∠ACB＝，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB＝＝＝，∴∠B＝，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD＝＝＝．故答案為：．11．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinB+bcosA＝0．（1）求角A的大??；（2）若，b＝2，求△ABC的面積S．解：（1）∵asinB+bcosA＝0，∴sinAsinB+sinBcosA＝0即sinB（sinA+cosA）＝0，由于B為三角形內角，所以sinA+cosA＝0，∴而A為三角形內角，∴；（2）在△ABC中，由余弦定理得a2＝c2+b2﹣2cbcosA，即，解得（舍）或，∴．12．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC周長的最大值．解：（1）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，因為sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，即為b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理可得cosA＝＝﹣＝﹣，由0＜A＜π，可得A＝；（2）由題意可得a＝3，又B+C＝，可設B＝﹣d，C＝+d，﹣＜d＜，由正弦定理可得＝＝＝2，可得b＝2sin（﹣d），c＝2sin（+d），則△ABC周長為a+b+c＝3+2[sin（﹣d）+sin（+d）]＝3+2（cosd﹣sind+cosd+sind），＝3+2cosd，當d＝0，即B＝C＝時，△ABC的周長取得最大值3+2．另解：a＝3，A＝，又a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2，由b+c＞3，則b+c≤2（當且僅當b＝c時，“＝”成立），則△ABC周長的最大值為3+2．13．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．解：（1）根據題意，由正弦定理得，因為0＜A＜π，故sinA＞0，消去sinA得．因為0＜B＜π，，故或者，而根據題意A+B+C＝π，故不成立，所以，又因為A+B+C＝π，代入得3B＝π，所以．（2）因為△ABC是銳角三角形，由（1）知，A+B+C＝π得到，故，解得．又由正弦定理＝，由三角形面積公式有：＝．又因，故，故．故S△ABC的取值范圍是14．如圖，在△ABC中，角A．B、C所對的邊分別為a、b、c，bcosA﹣asinB＝0．（1）求∠BAC：（2）若AB⊥AD，AC＝2，CD＝，求AD的長．解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinBcosA﹣sinAsinB＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝sinA，即tanA＝1，因為A∈（0，π），所以∠BAC＝A＝．（2）∵AB⊥AD，且∠BAC＝∠BAC，∠CAD＝，在△ACD中，AC＝2，CD＝，∠CAD＝，由余弦定理得CD2＝AC2+AD2﹣2AC?ADcos∠CAD，即5＝8+AD2﹣2×AD，即AD2﹣4AD+3＝0，解得：AD＝1或AD＝3，即AD的長為1或3．15．如圖，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D為BC邊上一點．（I）若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的長；（Ⅱ）若AB＝AD，試求△ADC的周長的最大值．解：（Ⅰ）∵，AC＝4，AD＝2，∴，∴∵B＝，∴，∴在△ADC中，由余弦定理得：∴，∴（Ⅱ）∵AB＝AD，，∴△ABD為正三角形，∵∠DAC＝﹣C，∠ADC＝，在△ADC中，根據正弦定理，可得：∴AD＝8sinC，∴△ADC的周長為＝8（sinC+cosC﹣sinC）+4＝8（sinC+cosC）+4＝8sin（C+）+4∵∠ADC＝，∴0＜C＜，∴＜C+＜∴，sin（C+）的最大值為1，則△ADC的周長最大值為16．在①（a﹣c）（sinA+sinC