2025年下學期高二數(shù)學圓錐曲線的定點定值問題試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點為F(1,0)，過點F的直線l交橢圓于A、B兩點，若線段AB的中點為M，則下列結論正確的是（）A.橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$B.若直線l的斜率為1，則|AB|=$\frac{24}{7}$C.無論直線l如何變化，點M的軌跡恒過定點(2,0)D.存在直線l使得以AB為直徑的圓過原點已知雙曲線E：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦點分別為F?、F?，過F?的直線交雙曲線右支于A、B兩點，設AF?與BF?的中點分別為M、N，則下列說法正確的是（）A.若直線AB的斜率為$\sqrt{3}$，則|AB|=6B.以MN為直徑的圓恒過定點(±1,0)C.當AB⊥x軸時，△F?AB的面積為12D.直線MN的斜率與直線AB的斜率之比為定值$\frac{1}{3}$拋物線C：$y^2=4x$的焦點為F，過F的直線交拋物線于P、Q兩點，過P作拋物線準線的垂線，垂足為M，連接QM交x軸于點N，則下列結論正確的是（）A.若直線PQ的傾斜角為60°，則|PQ|=$\frac{16}{3}$B.無論直線PQ如何變化，點N的坐標恒為(1,0)C.以PQ為直徑的圓與直線x=-1相切D.$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|}$為定值1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左焦點為F，過F的直線交橢圓于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，則$\frac{|PF|}{|AB|}$的值為________．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為2，過右焦點F且斜率為k的直線交雙曲線于M、N兩點，若MF=2FN，則k2=________．拋物線$y^2=2px(p>0)$上有兩點A、B，O為坐標原點，若OA⊥OB，且△OAB的面積為16，則p=________．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的右頂點為A，點P在橢圓上，且PA⊥x軸，過點P的直線l交橢圓于另一點Q，若直線AQ的斜率為k?，直線PQ的斜率為k?，則k?k?=________．三、解答題（本大題共6小題，共90分）（15分）已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(2,1)．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過橢圓右焦點F的直線l與橢圓交于M、N兩點，在x軸上是否存在定點P，使得∠MPF=∠NPF恒成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．（15分）已知雙曲線E：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦點分別為F?、F?，過F?的動直線交雙曲線于A、B兩點．（1）當直線AB與x軸垂直時，求△F?AB的周長；（2）設直線AF?與直線x=$\frac{1}{2}$交于點P，證明：直線PB恒過定點．（15分）拋物線C：$y^2=4x$的焦點為F，過F的直線與拋物線交于C、D兩點，點E在拋物線的準線上，且ED∥x軸．（1）求證：直線EC過原點O；（2）若線段CD的垂直平分線交x軸于點G，求$\frac{|FG|}{|CD|}$的取值范圍．（15分）已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右頂點分別為A、B，點M、N為橢圓上異于A、B的兩點，且滿足k??·k??=$-\frac{3}{4}$．（1）求證：直線MN恒過定點；（2）求△BMN面積的最大值．（15分）已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的漸近線方程為$y=±\sqrt{3}x$，過右焦點F的直線l交雙曲線于P、Q兩點，且|PF|=2|FQ|．（1）求雙曲線的離心率；（2）若直線l的斜率為k(k≠0)，直線OP、OQ分別交直線x=$\frac{a}{2}$于點M、N，求|MN|的值（用a表示）．（15分）已知拋物線$y^2=4x$的焦點為F，點A(2,2)在拋物線上，過點A的直線交拋物線于另一點B，點C在拋物線上，且∠BAC=90°．（1）若直線AB的斜率為1，求點C的坐標；（2）求證：直線BC恒過定點．四、附加題（共20分）已知橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m>n>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過左焦點F的直線交橢圓于P、Q兩點，若線段PQ的中點為R，連接OR并延長交橢圓于點S（O為坐標原點）．（1）求證：$\frac{|OR|}{|RS|}$為定值；（2）若四邊形OPSQ的面積為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求橢圓的標準方程．參考答案與解析要點一、選擇題ABDA選項：由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$c=1$得$a=2$，$b^2=3$，橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；B選項：直線$y=x-1$與橢圓聯(lián)立得$7x^2-8x-8=0$，$|AB|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{24}{7}$；D選項：設$l:x=ty+1$，聯(lián)立得$(3t^2+4)y^2+6ty-9=0$，由$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$得$t^2=\frac{13}{9}$，存在這樣的直線。ACDA選項：直線$y=\sqrt{3}(x-2)$與雙曲線聯(lián)立得$8x^2-36x+43=0$，$|AB|=x_1+x_2-2a=6$；C選項：AB⊥x軸時，$A(2,3)$，$B(2,-3)$，$S=\frac{1}{2}\times4\times6=12$；D選項：設$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$M(\frac{x_1-2}{2},\frac{y_1}{2})$，$k_{MN}=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2-4}=\frac{1}{3}k_{AB}$。二、填空題$\frac{1}{4}$解析：設$l:x=my-2$，聯(lián)立橢圓方程得$(5m^2+9)y^2-20my-25=0$，AB中點$(-\frac{18}{5m^2+9},\frac{10m}{5m^2+9})$，中垂線方程令$y=0$得$P(-\frac{8}{5m^2+9},0)$，$|PF|=\frac{10}{5m^2+9}$，$|AB|=\frac{40}{5m^2+9}$，比值為$\frac{1}{4}$。4解析：設$A(2pt_1^2,2pt_1)$，$B(2pt_2^2,2pt_2)$，由$OA⊥OB$得$t_1t_2=-1$，$S=\frac{1}{2}|OA||OB|=2p^2|t_1-t_2|=16$，解得$p=4$。三、解答題（2）存在定點$P(4,0)$解析：設$l:x=ty+1$，$P(x_0,0)$，由∠MPF=∠NPF得$k_{PM}+k_{PN}=0$，代入韋達定理化簡得$x_0=4$。（2）直線PB過定點$(\frac{1}{2},0)$解析：設$AB:x=my+2$，聯(lián)立得$(3m^2-1)y^2+12my+9=0$，$P(2,\frac{4y_1}{x_1+2})$，直線PB方程令$y=0$得$x=\frac{1}{2}$。（2）直線BC過定點$(5,-2)$解析：設$AB:y=k(x-2)+2$，聯(lián)立拋物線得$ky^2-4y+8(1-k)=0$，$B(\frac{