2025年下學期高二數(shù)學閱讀理解型試題（二）一、新數(shù)學概念介紹：分形幾何中的自相似性與分形維數(shù)1.1自相似性的數(shù)學定義在歐幾里得幾何中，我們研究的圖形具有整數(shù)維數(shù)：直線是1維的，平面是2維的，立體是3維的。但1975年數(shù)學家曼德博提出的分形幾何揭示了自然界中廣泛存在的非整數(shù)維結(jié)構(gòu)。自相似性是分形幾何的核心特征，指圖形的局部與整體在形態(tài)、功能或結(jié)構(gòu)上具有統(tǒng)計意義上的相似性。嚴格數(shù)學定義：設(shè)集合$F\subset\mathbb{R}^n$，若存在相似比$r_i\in(0,1)$（$i=1,2,...,k$）和歐幾里得變換（平移、旋轉(zhuǎn)、反射）的復(fù)合變換$T_i$，使得$F=\bigcup_{i=1}^kT_i(F)$且$T_i(F)$之間互不重疊（除邊界外），則稱$F$為自相似分形集。其中$\sum_{i=1}^kr_i^d=1$的解$d$稱為該分形集的相似維數(shù)。1.2經(jīng)典分形案例（1）科赫曲線（KochCurve）1904年由瑞典數(shù)學家科赫提出，構(gòu)造過程如下：初始元：單位線段（0階曲線）生成元：將線段三等分，以中間段為底邊向外作等邊三角形，再去除該底邊，得到由4條等長線段組成的折線（1階曲線）迭代過程：對每條線段重復(fù)上述操作，第$n$階曲線由$4^n$條長度為$3^{-n}$的線段組成其相似維數(shù)計算：設(shè)曲線維數(shù)為$d$，每次迭代將1條線段變?yōu)?條相似線段，相似比$r=1/3$。根據(jù)相似維數(shù)公式$4\times(1/3)^d=1$，解得$d=\log_34\approx1.2618$，這表明科赫曲線是介于1維和2維之間的幾何對象。（2）謝爾賓斯基三角形（SierpińskiTriangle）波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基1915年構(gòu)造的經(jīng)典分形：初始元：邊長為1的等邊三角形（0階圖形）生成元：連接各邊中點，將原三角形分為4個小等邊三角形，挖去中心三角形（1階圖形）迭代過程：對剩余3個小三角形重復(fù)挖空操作，第$n$階圖形由$3^n$個邊長為$2^{-n}$的小三角形組成相似維數(shù)計算：每次迭代保留3個小三角形，相似比$r=1/2$，則$3\times(1/2)^d=1$，解得$d=\log_23\approx1.5850$。該分形在迭代過程中面積趨于0（$S_n=(\sqrt{3}/4)(3/4)^n\to0$），但邊界長度趨于無窮（$L_n=3\times(3/2)^n\to\infty$），展現(xiàn)出"有限空間中的無限細節(jié)"特征。1.3分形維數(shù)的物理意義分形維數(shù)本質(zhì)上描述了幾何對象填充空間的能力。在實際應(yīng)用中：海岸線測量：曼德博發(fā)現(xiàn)英國海岸線長度與測量尺度有關(guān)，尺度越?。ㄈ?km、1m、1cm）測得長度越長，這種"測不準"現(xiàn)象可用分形維數(shù)解釋（典型海岸線維數(shù)約1.2-1.3）材料科學：多孔材料的孔隙分布具有分形特征，分形維數(shù)可表征材料的吸附性能和強度生物學：人體血管系統(tǒng)、肺支氣管樹的分形維數(shù)異?？赡芘c心血管疾病、肺氣腫等病理狀態(tài)相關(guān)二、問題設(shè)計2.1基礎(chǔ)理解題（共40分）（1）概念辨析（10分）判斷下列說法的正確性（正確打√，錯誤打×）：①科赫曲線的每階迭代圖形都是連續(xù)但不可導(dǎo)的（）②謝爾賓斯基三角形經(jīng)過10次迭代后，剩余面積為初始面積的$(3/4)^{10}$（）③相似維數(shù)一定是整數(shù)（）④自相似性要求圖形局部與整體完全相同（）⑤分形圖形的邊界長度一定隨迭代次數(shù)增加而趨于無窮（）（2）科赫雪花面積計算（15分）科赫雪花是科赫曲線的封閉形式，由3條科赫曲線組成：初始元為邊長$a$的等邊三角形每階迭代在每條邊上生成科赫曲線（Ⅰ）證明第$n$階科赫雪花的面積公式為$S_n=\frac{2\sqrt{3}}{5}a^2\left[1-\left(\frac{4}{9}\right)^n\right]$；（Ⅱ）計算當$n\to\infty$時雪花的極限面積，并說明該結(jié)果的幾何意義。（3）分形樹構(gòu)造（15分）某種分形樹的生長規(guī)則：樹干（0階）長度為$L_0=1$第1年（1階）：樹干頂端長出2條樹枝，每條長度為樹干的1/2，與樹干夾角為60°第2年（2階）：每條樹枝頂端長出2條新樹枝，長度為母樹枝的1/2，夾角保持60°以此類推，每年樹枝數(shù)量翻倍，長度減半（Ⅰ）寫出第$n$年樹的總長度$L_n$的表達式；（Ⅱ）計算當$n\to\infty$時樹的總長度極限，并與科赫曲線的長度變化規(guī)律比較異同。2.2拓展應(yīng)用題（共60分）（1）城市交通網(wǎng)絡(luò)的分形特征（20分）某城市交通部門為評估路網(wǎng)復(fù)雜性，采用分形維數(shù)進行量化：在1:10000地圖上測量主干道總長度$L_1=100$km在1:5000地圖上測量次干道及以上總長度$L_2=180$km（包含主干道）在1:2500地圖上測量所有等級道路總長度$L_3=324$km（包含前兩級）假設(shè)道路網(wǎng)絡(luò)滿足自相似性，相似維數(shù)$d$滿足關(guān)系式$L(r)=L_0r^{1-d}$，其中$r$為尺度因子（$r=\text{地圖比例尺分母}/10000$），$L_0$為比例常數(shù)。（Ⅰ）根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算該路網(wǎng)的分形維數(shù)$d$（精確到小數(shù)點后兩位）；（Ⅱ）若要使測量的道路總長度達到$L=1000$km，估算所需地圖的比例尺分母。（2）股票價格的分形分析（20分）金融數(shù)學中常用R/S分析（重標極差分析）計算時間序列的分形維數(shù)。對于股票日收盤價序列${P_t}$（$t=1,2,...,N$），定義：子區(qū)間長度$\tau$（$\tau=1,2,...,N/2$）子區(qū)間內(nèi)的均值$\bar{P}\tau=\frac{1}{\tau}\sum{i=1}^\tauP_i$累積離差$X(t,\tau)=\sum_{i=1}^t(P_i-\bar{P}_\tau)$（$1\leqt\leq\tau$）極差$R(\tau)=\maxX(t,\tau)-\minX(t,\tau)$標準差$S(\tau)=\sqrt{\frac{1}{\tau}\sum_{i=1}^\tau(P_i-\bar{P}_\tau)^2}$實驗表明，當$\tau$足夠大時，$R(\tau)/S(\tau)\propto\tau^H$，其中$H$為赫斯特指數(shù)，分形維數(shù)$d=2-H$。某股票2024年交易數(shù)據(jù)如下表：子區(qū)間長度$\tau$（天）510204080$R(\tau)/S(\tau)$2.13.55.89.615.9（Ⅰ）在雙對數(shù)坐標系中（$\ln\tau$為橫軸，$\ln(R/S)$為縱軸）進行線性擬合，求赫斯特指數(shù)$H$；（Ⅱ）計算該股票價格序列的分形維數(shù)$d$，并解釋$d$值大小與市場有效性的關(guān)系（提示：有效市場$H=0.5$）。（3）醫(yī)學影像的分形診斷（20分）肺CT圖像的分形維數(shù)可作為肺氣腫診斷指標?，F(xiàn)有兩種算法：算法A（盒計數(shù)法）：用邊長為$\epsilon$的正方形網(wǎng)格覆蓋圖像，計數(shù)包含肺組織像素的盒子數(shù)$N(\epsilon)$，則分形維數(shù)$d=-\lim_{\epsilon\to0}\frac{\lnN(\epsilon)}{\ln\epsilon}$算法B（輪廓法）：提取肺組織邊界，計算不同尺度下邊界長度$L(\epsilon)$，則分形維數(shù)$d=1+\lim_{\epsilon\to0}\frac{\lnL(\epsilon)}{\ln(1/\epsilon)}$對某患者CT圖像的測量數(shù)據(jù)如下：尺度$\epsilon$（像素）124816盒子數(shù)$N(\epsilon)$25601440810456257邊界長度$L(\epsilon)$1280896634448316（Ⅰ）分別用兩種算法計算肺組織的分形維數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（Ⅱ）已知健康人肺組織分形維數(shù)參考值為$d=1.25\pm0.05$，判斷該患者是否可能患有肺氣腫，并說明理由。2.3探究創(chuàng)新題（共50分）（1）分形藝術(shù)中的數(shù)學（25分）荷蘭藝術(shù)家埃舍爾的作品《圓極限IV》蘊含自相似結(jié)構(gòu)，其邊界圓周上的"天使與魔鬼"圖案滿足以下性質(zhì)：沿半徑方向，第$k$個圓環(huán)內(nèi)的圖案數(shù)量是第$k-1$個圓環(huán)的$q$倍第$k$個圓環(huán)內(nèi)圖案的線度（特征尺寸）是第$k-1$個的$r$倍已知圓心處圖案面積為$S_0$，第$n$個圓環(huán)內(nèi)所有圖案總面積為$S_n=S_0(qr^2)^n$（Ⅰ）若整個圖案的總面積收斂，求$qr^2$的取值范圍；（Ⅱ）當$q=4$，$r=1/2$時，計算圖案的總邊界長度（假設(shè)每個圖案為正方形，初始邊長$a_0=1$，邊界長度按周長計算）。（2）分形天線的優(yōu)化設(shè)計（25分）現(xiàn)代通信設(shè)備常用分形天線，其小型化程度與分形維數(shù)正相關(guān)。某型號分形天線基于謝爾賓斯基Carpet（平面分形）設(shè)計：初始元：邊長$a=10$cm的正方形金屬片（0階）生成元：將正方形9等分，挖去中心1個小正方形（1階）迭代過程：對剩余8個小正方形重復(fù)挖空操作（Ⅰ）證明第$n$階天線的金屬面積$A_n=100\times(8/9)^n$cm2；（Ⅱ）若天線諧振頻率$f$與金屬面積的關(guān)系為$f=\frac{300}{A}\sqrtl3vr3hb$（MHz），其中$d$為分形維數(shù)，計算3階天線的諧振頻率（精確到0.1MHz）；（Ⅲ）對比0階（普通方形天線）與3階分形天線的性能參數(shù)，說明分形結(jié)構(gòu)在天線設(shè)計中的優(yōu)勢。三、解題方法提示相似維數(shù)計算：核心公式$\sumr_i^d=1$，對于等比例縮放的分形可簡化為$Nr^d=1$（$N$為相似圖形數(shù)量，$r$為相似比）迭代數(shù)列處理：分形問題常涉及等比數(shù)列求和，注意區(qū)分有限項和與無窮級數(shù)（當