第02講排列、組合目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算 2題型二：直接法 3題型三：間接法 5題型四：捆綁法 6題型五：插空法 8題型六：定序問(wèn)題（先選后排） 9題型七：列舉法 10題型八：多面手問(wèn)題 12題型九：錯(cuò)位排列 13題型十：涂色問(wèn)題 14題型十一：分組問(wèn)題 16題型十二：分配問(wèn)題 18題型十三：隔板法 19題型十四：數(shù)字排列 20題型十五：幾何問(wèn)題 21題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題 23題型十七：排隊(duì)問(wèn)題 25題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型 26題型十九：環(huán)排問(wèn)題 2702重難創(chuàng)新練 2903真題實(shí)戰(zhàn)練 36題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算1．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】A【解析】由題意得，化簡(jiǎn)可得，解得或6，因?yàn)?，所以且，?故選：A.2．已知，則（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】因?yàn)?，則，整理可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．故選：C.3．下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故A錯(cuò)誤；，C正確；，B正確；，D正確.故選：A.題型二：直接法4．沈陽(yáng)二中24屆籃球賽正如火如荼地進(jìn)行中，全年級(jí)共20個(gè)班，每四個(gè)班一組，如1—4班為一組，5—8班為二組……進(jìn)行單循環(huán)小組賽（沒有并列），勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，最后勝出的三個(gè)班級(jí)再進(jìn)行單循環(huán)賽，按積分的高低（假設(shè)沒有并列）決出最終的冠亞季軍，請(qǐng)問(wèn)此次籃球賽學(xué)校共舉辦了多少場(chǎng)比賽？（

）A．51 B．42 C．39 D．36【答案】D【解析】先進(jìn)行單循環(huán)賽，有場(chǎng)，勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，6支球隊(duì)打3場(chǎng)，決出最后勝出的三個(gè)班，最后3個(gè)班再進(jìn)行單循環(huán)賽，由場(chǎng).所以共打了場(chǎng).故選：D.5．在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在50件產(chǎn)品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有.故選:A.6．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年9月3日貴陽(yáng)市新冠疫情暴發(fā)以來(lái)，某住宿制中學(xué)為做好疫情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個(gè)年級(jí)教學(xué)樓樓門口配合醫(yī)生給學(xué)生做核酸.由于高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)較多，要求高三教學(xué)樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學(xué)樓志愿者人數(shù)，若每棟教學(xué)樓門至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個(gè)樓門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．150 C．690 D．180【答案】A【解析】第一種：當(dāng)高三的志愿者有3人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)有1個(gè)年級(jí)1人，有1個(gè)年級(jí)2人，則有種；第二種：當(dāng)高三的志愿者有2人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)也分別有2人，則有種；第三種：當(dāng)高三的志愿者有4人時(shí)，其他兩個(gè)年級(jí)分別有1人，則有種，所以不同的分配方法有：種，故選：A.7．（多選題）2022年在全世界范圍內(nèi)，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預(yù)測(cè)2022年到2026年間，有93%的概率平均氣溫會(huì)超過(guò)2016年，達(dá)到歷史上最高氣溫紀(jì)錄．某校環(huán)保興趣小組準(zhǔn)備開展一次關(guān)于全球變暖的研討會(huì)，現(xiàn)有10名學(xué)生，其中5名男生5名女生，若從中選取4名學(xué)生參加研討會(huì)，則（

）A．選取的4名學(xué)生都是女生的不同選法共有5種B．選取的4名學(xué)生中恰有2名女生的不同選法共有400種C．選取的4名學(xué)生中至少有1名女生的不同選法共有420種D．選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有155種【答案】AD【解析】選取的4名學(xué)生都是女生的不同選法共有種，故A正確；恰有2名女生的不同選法共有種，故B錯(cuò)誤；至少有1名女生的不同選法共有種，故C錯(cuò)誤；選取的4名學(xué)生中至多有2名男生的不同選法共有種，故D正確.故選：AD．8．（多選題）新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有考生必考：“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若任意選科，選法總數(shù)為B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C．若政治和地理至多選一門，選法總數(shù)為D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為【答案】ABC【解析】對(duì)選項(xiàng)A：若任意選科，選法總數(shù)為，正確；對(duì)選項(xiàng)B：若化學(xué)必選，選法總數(shù)為，正確；對(duì)選項(xiàng)C：若政治和地理至多選一門，選政治或地理有種方法，政治地理都不選有種方法，故共有選法總數(shù)為，正確；對(duì)選項(xiàng)D：若物理必選，化學(xué)、生物選一門有種，化學(xué)、生物都選有1種方法，故共有選法總數(shù)為，D錯(cuò)誤.故選：ABC題型三：間接法9．中園古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種【答案】A【解析】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動(dòng)，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為，其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂(lè)”兩次相鄰的不同次序數(shù)為，于是得，所以“六藝”講座不同的次序共有408種.故選：A10．中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂(lè)”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種【答案】B【解析】依題意，“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)有：，“數(shù)”不在第一次也不在第六次時(shí)，“禮”和“樂(lè)”相鄰的不同次序數(shù)有：，所以所求“六藝”講座不同的次序數(shù)共有：.故選：B11．紅五月，某校團(tuán)委決定舉辦慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢(mèng)想”聯(lián)歡會(huì)，經(jīng)過(guò)初賽，共有6個(gè)節(jié)目進(jìn)入決賽，其中2個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目，1個(gè)朗誦類節(jié)目，1個(gè)戲曲類節(jié)目．演出時(shí)要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所有演出方案有種，歌舞類相鄰有種，小品類相鄰有種，歌舞與小品均相鄰有種，所以總數(shù)有種.故選：C.12．2022年6月17日，我國(guó)第三艘航母“福建艦”正式下水．現(xiàn)要給“福建艦”進(jìn)行航母編隊(duì)配置科學(xué)試驗(yàn)，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A．72 B．324 C．648 D．1296【答案】D【解析】由題意，2艘攻擊型核潛艇一前一后，分配方案有種，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，任意分配有種，同側(cè)的是同種艦艇的分配方案有種，故符合題意要求的艦艇分配方案的方法數(shù)為,故選：D題型四：捆綁法13．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．96 D．60【答案】A【解析】將捆綁在一起，然后進(jìn)行全排列，故共有種排法.故選：A14．（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學(xué)一個(gè)寢室6位同學(xué)慕名而來(lái)，游覽結(jié)束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種【答案】C【解析】站在一起有種，將看成一個(gè)整體與進(jìn)行全排列，共有種，同時(shí)要求在的左邊，共有種．故選：.15．某平臺(tái)設(shè)有“人物”“視聽學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目．假設(shè)在這些欄目中，某時(shí)段“人物”更新了2篇文章，“視聽學(xué)習(xí)”更新了4個(gè)視頻．一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備從更新的這6項(xiàng)內(nèi)容中隨機(jī)選取3個(gè)視頻和2篇文章進(jìn)行學(xué)習(xí)，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序相鄰的學(xué)法有（

）A．192種 B．168種 C．72種 D．144種【答案】A【解析】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：第一步，先從4個(gè)視頻中選3個(gè)，有種方法；2篇文章全選，有種方法；第二步，2篇文章要相鄰，則可以先“捆綁”看成一個(gè)元素，內(nèi)部排列，有種方法；第三步，將“捆綁”元素與3個(gè)視頻進(jìn)行全排列，有種方法.故滿足題意的學(xué)法有種.故選：A.16．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機(jī)器人自動(dòng)泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問(wèn)題．現(xiàn)有3輛車停放在7個(gè)并排的泊車位上，要求4個(gè)空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有（）種．A．16 B．18 C．24 D．32【答案】C【解析】從7個(gè)車位里選擇4個(gè)相鄰的車位，共有4種方式，停放的3個(gè)車輛，有種方式，則不同的泊車方案有種．故選：C.17．（2024·江西九江·三模）考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【答案】D【解析】第一步：將三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)整體，與三個(gè)奇數(shù)進(jìn)行全排列共種排法；第二步：將三個(gè)偶數(shù)進(jìn)行全排列共；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.題型五：插空法18．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩(shī)詞朗誦類節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類節(jié)目，2個(gè)歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種【答案】B【解析】依題意五個(gè)節(jié)目全排列有種排法；若獨(dú)唱類節(jié)目相鄰，則有種排法；若歌舞類節(jié)目相鄰，則有種排法；若獨(dú)唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰，則有種排法；綜上可得同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有種.故選：B19．一場(chǎng)文藝匯演中共有2個(gè)小品節(jié)目?2個(gè)歌唱類節(jié)目和3個(gè)舞蹈類節(jié)目，若要求2個(gè)小品類節(jié)目演出順序不相鄰且不在第一個(gè)表演，則不同的演出順序共有（

）A．480種 B．1200種 C．2400種 D．5040種【答案】C【解析】先排2個(gè)歌唱類節(jié)目和3個(gè)舞蹈類節(jié)目，共有種不同的演出順序；再排2個(gè)小品節(jié)目，共有種不同的演出順序.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有2400種不同的演出順序.故選：C.20．某班畢業(yè)晚會(huì)有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單.其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰，這樣的節(jié)目單有（

）種A．36 B．40 C．32 D．42【答案】A【解析】將相聲，跳舞看成一個(gè)整體，與唱歌，雜技全排列共有種情況，3個(gè)節(jié)目有4個(gè)空，除去相聲旁邊的那個(gè)空，還剩3個(gè)空，小品選其一，有種，所以共有種排法.故選：A21．（2024·江西新余·二模）兩個(gè)大人和4個(gè)小孩站成一排合影，若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，則不同的站法有（

）種.A．240 B．360 C．420 D．480【答案】D【解析】若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，即兩個(gè)大人不相鄰，故共有種.故選：D.題型六：定序問(wèn)題（先選后排）22．某次數(shù)學(xué)獲獎(jiǎng)的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)，則共有多少種站法（

）A．36 B．90 C．360 D．720【答案】B【解析】6個(gè)高矮互不相同的人站成兩排，后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)的站法數(shù)為，故選：B23．由高矮不同的3名女生和4名男生站成一排，要求女生按從高到低的順序排列，則不同的排列方法有（

）A．720 B．840 C．1120 D．1440【答案】B【解析】由于女生按從高到低的順序排列，故只需將4名男生從7個(gè)位置中選取4個(gè)位置排好，即有種排列方法，故選：B.24．元宵節(jié)燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有（

）．A．32種 B．70種 C．90種 D．280種【答案】B【解析】因?yàn)槿魰r(shí)每次只能取一盞，所以每串燈必須先取下面的燈，即每串燈取下的順序確定，取下的方法有種．故選：B25．貼春聯(lián)、掛紅燈籠是我國(guó)春節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗.現(xiàn)準(zhǔn)備在大門的兩側(cè)各掛四盞一樣的紅燈籠，從上往下掛，可以一側(cè)掛好后再掛另一側(cè)，也可以兩側(cè)交叉著掛，則掛紅燈籠的不同方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若盞燈籠任意掛，不同的掛法由種，又因?yàn)樽笥覂蛇叡K燈順序一定，故有種，故選：D26．如圖所示，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是A．6 B．10 C．12 D．24【答案】B【解析】將左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3,右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.分兩種情況討論:若先取1,則有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6種情況;若先取4,則有45123,41235,41523,41253,共4種情況,故共有6+4=10種情況.題型七：列舉法27．定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A．20 B．56 C．84 D．120【答案】C【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù),所以按首位數(shù)字分別計(jì)算當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);則共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);故選:.28．設(shè)，，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（

）A．45 B．46 C．47 D．48【答案】C【解析】①當(dāng)時(shí)，，則，共1組；②當(dāng)時(shí)，，則，不同時(shí)為2，共組；③當(dāng)時(shí)，，則，為中任一元素，共組；④當(dāng)時(shí)，，則，不同時(shí)為0，共組．故滿足題意的有序數(shù)組共有47組．故選：C.29．將一個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字順序顛倒，將所得到的數(shù)與原數(shù)相加，若和中沒有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)為“奇和數(shù)”.那么，所有的三位數(shù)中，奇和數(shù)有（

）個(gè).A．100 B．120 C．160 D．200【答案】A【解析】設(shè)三位奇和數(shù)百位、十位、各位上的數(shù)字分別為，，，則顛倒順序后的數(shù)與原數(shù)相加為．如果此數(shù)的每一位都為奇數(shù)，那么必為奇數(shù)，由于定為偶數(shù)，所以如果讓十位數(shù)為奇數(shù)，那么必須大于10．又當(dāng)時(shí)，百位上進(jìn)1，那么百位必為偶數(shù)，所以，則可取0，1，2，3，4．由于為奇數(shù)，且，所以滿足條件的有：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，9．當(dāng)時(shí)，，8．當(dāng)時(shí)，，7，9．當(dāng)時(shí)，，6，8．當(dāng)時(shí)，，5，7，9．當(dāng)時(shí)，，4，6，8．共有20種情況，由于可取0，1，2，3，4．故，共有100個(gè)三位奇和數(shù)．故選：A．題型八：多面手問(wèn)題30．在名工人中,有人只當(dāng)鉗工,人只當(dāng)車工,另外人既會(huì)鉗工又會(huì)車工，現(xiàn)從人中選出人當(dāng)鉗工,人當(dāng)車工,則共有（

）種不同的選法.A． B． C． D．【答案】D【解析】按即會(huì)鉗工又會(huì)車工的2人分類：2人都不選的情況有種，只選1人且當(dāng)鉗工的情況有種，只選1人且當(dāng)車工的情況有種，選2人其中1人鉗工1人車工的情況有種，選2人都當(dāng)鉗工的情況有種，選2人都當(dāng)車工的情況有種，由分類加法原理得選法有種.故選：D.31．某公園有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現(xiàn)有3個(gè)大人和2個(gè)小孩打算同時(shí)分乘若干只小船，規(guī)定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為A．36種 B．33種 C．27種 D．21種【答案】C【解析】第一類，船兩大人一小孩，船一大人一小孩：有種方法.第二類，船一大人兩小孩，船兩大人：有種方法.第三類，船一大人兩小孩，船一大人，船一大人：有種方法.第四類，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的方法.故選C.考點(diǎn)：排列、組合、分類加法計(jì)數(shù)原理.32．有6名學(xué)生，其中有3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞，1名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選出2名會(huì)唱歌的，1名會(huì)跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為A．18 B．15 C．16 D．25【答案】B【解析】名會(huì)唱歌的從中選出兩個(gè)有種,名會(huì)跳舞的選出名有種選法,但其中一名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有一個(gè),兩組不能同時(shí)用他,共有種，故選B.33．我校去年11月份，高二年級(jí)有9人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法【答案】216【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理.第一類：2個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，有種;第二類：2個(gè)只會(huì)跳舞的有1人入選，有種;第三類：2個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有種,所以共有216種不同的選法,故答案為：216.題型九：錯(cuò)位排列34．若5個(gè)人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】D【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從5個(gè)人里選1人，恰好摸到自己寫的卡片，有種選法，②對(duì)于剩余的4人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能拿自己寫的卡片，因此第一個(gè)人有3種拿法，被拿了自己卡片的那個(gè)人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有種.故選：.35．5個(gè)人站成一列，重新站隊(duì)時(shí)各人都不站在原來(lái)的位置上，共有種不同的站法（

）A．42 B．44 C．46 D．48【答案】B【解析】由題意，設(shè)五人分別為，重新站隊(duì)時(shí)，可從開始，其中有種不同的選擇，比如占據(jù)了的位置，可再由選取位置，可分為兩類，1類：占據(jù)了的位置，則后面的重站，共有種站法；2類：沒有占據(jù)的位置，則有種站法，后面的重站，共有種站法，所以共有種不同的站法.故選：B.36．若5個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有1個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則不同的站法共有（

）A．45種 B．40種 C．55種 D．60種【答案】A【解析】先從5個(gè)人中選出站在自己原來(lái)的位置的有種選法設(shè)剩下的4個(gè)人為.則他們都不站自己原來(lái)的位置，分下列幾步完成:(1)假設(shè)先安排，則有種選法.(2)當(dāng)站好后，站的位置原來(lái)站的是誰(shuí)，接下來(lái)就安排這個(gè)人來(lái)選位置，有種選法.(3)接下來(lái)，剩下的兩個(gè)人和兩個(gè)位置中,至少有1人，他原來(lái)站的位置留下來(lái)了，都不站原來(lái)的位置，則只有1種站法.所以共有種選法.故選：A37．若4個(gè)人按原來(lái)站的位置重新站成一排，恰有一個(gè)人站在自己原來(lái)的位置，則共有（

）種不同的站法.A．4 B．8 C．12 D．24【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從4個(gè)人里選1人，其位置不變，其他三人的都不在自己原來(lái)的位置，有種選法；②對(duì)于剩余的三人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能站在原來(lái)的位置上，因此第一個(gè)人有兩種站法，被站了自己位置的那個(gè)人只能站在第三個(gè)人的位置上，因此三個(gè)人調(diào)換有2種調(diào)換方法．故不同的調(diào)換方法有，故選：B．題型十：涂色問(wèn)題38．（2024·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.【答案】【解析】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨(dú)一色，剩下6個(gè)板塊中每2個(gè)區(qū)域涂同一種顏色.又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.①當(dāng)板塊與板塊同色時(shí)，則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；②當(dāng)板塊與板塊同色時(shí)，則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.又板塊顏色可排列，故共種.故答案為：39．用4種不同顏色給一個(gè)正四面體涂色，每個(gè)面涂一種顏色，4個(gè)顏色都要用到，共有種涂色的方法．【答案】2【解析】不妨先規(guī)定其中一種顏色為底面（固定），其它面可以旋轉(zhuǎn)，正四面體展開圖如下：此時(shí)再涂其他三種顏色，共有種方法.故答案為：2.40．（2024·高三·安徽合肥·期末）如圖所示的按照下列要求涂色，若恰好用3種不同顏色給個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有種不同的涂色方案？【答案】18【解析】恰好用3種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域，則區(qū)域或區(qū)域或區(qū)域必同色，當(dāng)同色時(shí)，有種，同理、分別同色時(shí)各有6種，由分類加法計(jì)數(shù)原理得恰好用3種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域共種不同涂色的方案.故答案為：1841．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個(gè)格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色方案.【答案】96【解析】將格子自左向右編號(hào)為1，2，3，4，5,6格子1，2有種選法，當(dāng)格子3與格子1相同時(shí)，此時(shí)格子4，5，6都有2種選法，當(dāng)格子3與格子1不同時(shí)，此時(shí)格子3有1種選法，格子4，5，6都有2種選法，所以當(dāng)格子1和2顏色確定后，格子4，5，6共有種選法，所以不同的涂色方法有種，故答案為：96題型十一：分組問(wèn)題42．按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【解析】（1）無(wú)序不均勻分組問(wèn)題.先選本有種選法;再?gòu)挠嘞碌谋局羞x本有種選法;最后余下的本全選有種選法.故共有(種)選法.（2）有序不均勻分組問(wèn)題.由于甲、乙、丙是不同三人,在題的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有.（3）無(wú)序均勻分組問(wèn)題.先分三步,則應(yīng)是種選法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,,),則種分法中還有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有種情況,而這種情況僅是,,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有.（4）有序均勻分組問(wèn)題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個(gè)人,共有分配方式(種).（5）無(wú)序部分均勻分組問(wèn)題.共有(種)分法.（6）有序部分均勻分組問(wèn)題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個(gè)人,共有分配方式(種).（7）直接分配問(wèn)題.甲選本有種選法,乙從余下本中選本有種選法,余下本留給丙有種選法,共有(種)選法.43．將4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的不同小球全部放入4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)不同盒子中.求：(1)每個(gè)盒至少一個(gè)球，有多少種不同的放法？(2)恰好有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？(3)每盒放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種不同的放法？(4)把已知中4個(gè)不同的小球換成四個(gè)完全相同的小球（無(wú)編號(hào)），其余條件不變，恰有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？【解析】（1）根據(jù)題意知，每個(gè)盒子里有且只有一個(gè)小球，所求放法種數(shù)為（種）；（2）先將4個(gè)小球分為3組，各組的球數(shù)分別為2、1、1，然后分配給4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）；（3）考查編號(hào)為1的盒子中放入編號(hào)為1的小球，則其它3個(gè)球均未放入相應(yīng)編號(hào)的盒子，那么編號(hào)為2、3、4的盒子中放入的小球編號(hào)可以依次為3、4、2或4、2、3，因此，所求放法種數(shù)為（種）；（4）按兩步進(jìn)行，空盒編號(hào)有4種情況，然后將4個(gè)完全相同的小球放入其它3個(gè)盒子，沒有空盒，則只需在4個(gè)完全相同的小球所形成的3個(gè)空（不包括兩端）中插入2塊板，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）.44．設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)球和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子，現(xiàn)將這5個(gè)球放入5個(gè)盒子內(nèi)．(1)只有1個(gè)盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒有1個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同，有多少種投放方法？(3)每個(gè)盒子內(nèi)投放1球，并且至少有2個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，有多少種投放方法？【解析】（1）首先選定兩個(gè)不同的球，作為一組，選法有種，再將組排到個(gè)盒子，有種投放法．共計(jì)種方法；（2）沒有一個(gè)盒子空著，相當(dāng)于個(gè)元素排列在個(gè)位置上，有種，而球的編號(hào)與盒子編號(hào)全相同只有1種，所以沒有一個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同的投法有種．（3）滿足的情形：第一類，五個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)全同的放法：1種；第二類，四個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：0種；第三類，三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：種；第四類，兩個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：種．所以滿足條件的放法數(shù)為：種．題型十二：分配問(wèn)題45．（2024·安徽·一模）樹人學(xué)校開展學(xué)雷鋒主題活動(dòng)，某班級(jí)5名女生和2名男生，分配成兩個(gè)小組去兩地參加志愿者活動(dòng)，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）A．20種 B．40種 C．60種 D．80種【答案】C【解析】由題意可知兩名男生必須分開在兩組，則有1女1男一組，余下一組；2女1男一組，余下一組；3女1男一組，余下一組；4女1男一組，余下一組；所以分配方法為.故選：C46．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】B【解析】①A校去乙地有種；②A校與另一所學(xué)校去丙地有種，③A校單獨(dú)去丙地有種，所以共有種，故選：B．47．將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可先將5本不同的書分成三份，共有種方法，再將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)有種，所以將5本不同的書分給3位同學(xué)共有種分法.故選：C.48．（2024·高三·山西·開學(xué)考試）基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)于一個(gè)國(guó)家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競(jìng)爭(zhēng)力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門，至少選一門，且已選過(guò)的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【解析】先將五門課程分成3,1,1和2,2,1這樣兩種情況，再安排到三個(gè)學(xué)年中，則共有種選修方式故選：A題型十三：隔板法49．現(xiàn)有6個(gè)三好學(xué)生名額，計(jì)劃分到三個(gè)班級(jí)，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為.【答案】【解析】將6個(gè)三好學(xué)生名額分到三個(gè)班級(jí)，有3種類型：第一種是只有一個(gè)班分到名額，有3種情況；第二種是恰好有兩個(gè)班分到名額，由隔板法得有種情況，第三種是三個(gè)班都分到了名額，由隔板法得有種情況，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為．故答案為：．50．以表示把件相同的物件分給個(gè)人的不同方法數(shù)，則.【答案】【解析】設(shè)第個(gè)人分得件物件，則且，等于不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，.故答案為：.51．已知集合，則A中的元素的個(gè)數(shù)為.【答案】【解析】，可轉(zhuǎn)化為將102個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個(gè)數(shù)為.故答案為：.52．各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（請(qǐng)用數(shù)字作答）．【答案】56【解析】設(shè)，，，對(duì)應(yīng)個(gè)位到千位上的數(shù)字，則，且，相當(dāng)于6個(gè)相同的球排成一排，每個(gè)球表示1，先拿一個(gè)球裝入，轉(zhuǎn)化為5個(gè)球裝入4個(gè)盒子，每盒可空，等價(jià)于9個(gè)球用3個(gè)隔板分成4組（各組不可為空），故共有種．故答案為：56．題型十四：數(shù)字排列53．（2024·上?！と＃┯?~9這九個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個(gè)【答案】840【解析】1~9這九個(gè)數(shù)字中由5個(gè)奇數(shù)和4個(gè)偶數(shù)，要使四位數(shù)滿足各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)字必須為奇數(shù)，前三位數(shù)字由1個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)或3個(gè)奇數(shù)組成，所以，.故答案為：.54．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）各位數(shù)字之積為8的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】10【解析】滿足題意的三位數(shù)有：，共10個(gè).故答案為：1055．（2024·河北石家莊·二模）各位數(shù)字之和為的三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】【解析】因?yàn)榛蚧蚧?，所以各位?shù)字之和為的三位數(shù)有，，，，，，，，，共個(gè).故答案為：題型十五：幾何問(wèn)題56．若一個(gè)正方體繞著某直線旋轉(zhuǎn)不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若正方體繞著直線旋轉(zhuǎn)不到一周能與自身重合，則必過(guò)正方體中心，否則，正方體繞著直線旋轉(zhuǎn)不到一周后，中心不能回到原來(lái)的位置；共有三種情況：如圖所示；當(dāng)過(guò)正方體的對(duì)角線兩頂點(diǎn)時(shí)，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)的直線共有條；當(dāng)過(guò)正方體兩相對(duì)棱中點(diǎn)時(shí)，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)直線共有條；當(dāng)過(guò)正方體對(duì)面中心時(shí)，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來(lái)的位置，此時(shí)直線共有條；綜上，符合條件的直線有條.故選：D.57．正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種不同選法【答案】12【解析】從任意一個(gè)側(cè)棱出發(fā)，其它6個(gè)頂點(diǎn)中任選2個(gè)點(diǎn)都有3種共面的情況，所以，所有共面的情況有種，而每條棱均重復(fù)計(jì)數(shù)一次，綜上，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種.故答案為：1258．以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)共可組成________個(gè)不同的三棱錐？【答案】12【解析】從個(gè)頂點(diǎn)中選出個(gè)的方法數(shù)有種，其中共面的有種（即個(gè)側(cè)面），故可以構(gòu)成不同三棱錐的方法數(shù)有種.故答案為：1259．在如圖所示的的方格紙上（每個(gè)小方格均為正方形），共有個(gè)矩形、個(gè)正方形．【答案】28060【解析】根據(jù)題意，7×4的方格紙上，有5條水平方向的線，8條豎直方向的線，在5條水平方向的線中任選2條，在8條豎直方向的線中任選2條，就可以組成一個(gè)矩形，則可以組成個(gè)矩形；設(shè)方格紙上的小方格的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，有7×4=28個(gè)正方形，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為2時(shí)，有6×3=18個(gè)正方形，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為3時(shí)，有5×2=10個(gè)正方形，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為4時(shí)，有4×1=4個(gè)正方形，則有28+18+10+4=60個(gè)正方形；故答案為：280，60.題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題60．某小區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經(jīng)過(guò)B的走法有（

）A．6種 B．8種C．9種 D．10種【答案】C【解析】由題意，從點(diǎn)到點(diǎn)，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法；從點(diǎn)到點(diǎn)，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法，由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的走法.故選：C.61．如圖為的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從出發(fā)去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達(dá)任何一個(gè)位置（網(wǎng)格交點(diǎn)處）時(shí)向右走過(guò)的格數(shù)不少于向上走過(guò)的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為、，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得從到需要走格，向上、向右分別走格，因此甲只需在次選擇中次選擇向右走，剩下的次選擇向上走即可，，乙只能在對(duì)角線下方（包括）走，所以，乙的走法的所有可能情況為：（右上右上右上）、（右上右右上上）、（右右上上右上）、（右右上右上上）、（右右右上上上），即，則，故選：C.62．（多選題）在某城市中，A，B兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)．甲隨機(jī)沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地．下列結(jié)論正確的有（

）A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有61條C．若甲途經(jīng)C地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經(jīng)C地，且不經(jīng)過(guò)D地，則不同的路徑共有9條【答案】ACD【解析】由圖可知，從A地出發(fā)去往B地的最短路徑共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，至少有1步向上，則不同的路徑共有條．若甲途經(jīng)C地，則不同的路徑共有條．若甲途經(jīng)C地，且不經(jīng)過(guò)D地，則不同的路徑共有條．故選：ACD．63．5400的正約數(shù)有______個(gè)【答案】48【解析】由，所以5400的正約數(shù)一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結(jié)果，設(shè)正約數(shù)為，其中取值為0，1，2，3共有4種；取值為0，1，2，3共有4種；取值為0，1，2共有3種；所以正約數(shù)個(gè)數(shù)為．故答案為：48題型十七：排隊(duì)問(wèn)題64．隨著北京冬殘奧會(huì)的開幕，吉祥物“雪容融”火遍國(guó)內(nèi)外，現(xiàn)有3個(gè)完全相同的“雪容融”，甲?乙?丙3位運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)“雪容融”站成一排拍照留念，則有且只有2個(gè)“雪容融”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為．【答案】【解析】由題意，甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員站成一排，有種不同的排法；在三位運(yùn)動(dòng)員形成的4個(gè)空隙中選兩個(gè)，一個(gè)插入2個(gè)“雪容融”，一個(gè)插入1個(gè)“雪容融”，共有種排法.故答案為：.65．某醫(yī)院對(duì)9個(gè)人進(jìn)行核酸檢測(cè)，為了防止排隊(duì)密集，將9人分成兩組，第一組5人，排隊(duì)等候，由于甲、乙兩人不熟悉流程，故無(wú)論在哪一組，排隊(duì)都不在第一位，則第一組的不同排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】11760【解析】第一組的第一位排法種數(shù)為7，后4位的排法種數(shù)，故所有排法種數(shù)為.故答案為：11760．66．甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測(cè)，到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測(cè)的隊(duì)伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有種.【答案】24【解析】先進(jìn)行分類：①3人到隊(duì)伍檢測(cè)，考慮三人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；②2人到隊(duì)伍檢測(cè)，同樣要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；③1人到隊(duì)伍檢測(cè)，要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；④0人到隊(duì)伍檢測(cè)，要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；所以，甲、乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有24種.故答案為：2467．（2024·四川廣元·三模）有名男生、名女生排隊(duì)照相，個(gè)人排成一排．①如果名男生必須連排在一起，那么有種不同排法；②如果名女生按確定的某種順序，那么有種不同的排法；③如果女生不能站在兩端，那么有種不同排法；④如果名女生中任何兩名不能排在一起，那么有種不同排法；則以上說(shuō)法正確的有．【答案】②③④【解析】名男生必須連排在一起，則這4名男生當(dāng)成一個(gè)元素，共有，①不正確；名女生按確定的某種順序，只占3名女生的排列中的一種，共有，②正確；女生不能站在兩端，先讓兩名男生站兩端，共有，③正確；名女生中任何兩名不能排在一起，先排男生，將女生插空，共有，④正確.故答案為：②③④68．有七名同學(xué)排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，其中小王站在正中間，并且小李?小張兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排隊(duì)法有種.【答案】192【解析】當(dāng)小李和小張?jiān)谛⊥醯淖髠?cè)時(shí)共有（種）排列方法，同理，當(dāng)小李和小張?jiān)谛⊥醯挠覀?cè)時(shí)也有96種排列方法，∴共有192種排列方法.故答案為：192題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型69．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）從1，2，3，…，15中選取三個(gè)不同的數(shù)組成三元數(shù)組，且滿足，，則這樣的數(shù)組共有______個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】56【解析】由，，得，，，當(dāng)時(shí)，可取中任一數(shù)，共有6種取法，則此時(shí)共有種取法；當(dāng)時(shí)，可取中的任一數(shù)，共有5種取法，則此時(shí)共有種取法；同理當(dāng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的分別有10，6，3，1種取法.綜上，這樣的數(shù)組共有（個(gè)）.故答案為：56.70．（2024·上海長(zhǎng)寧·高三海市延安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）從集合中選出4個(gè)數(shù)組成的子集，使得這4個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，則這樣的子集個(gè)數(shù)是________.【答案】【解析】將和等于11放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．從每一小組中取一個(gè)，共有，故答案為：80．71．16名社區(qū)志愿者組成4行4列的方陣，現(xiàn)從中選出2人，要求他們既不在同一行又不在同一列，則不同的選法種數(shù)為______________.【答案】72【解析】從16人中選出2人，共有種選法，若選出的2人既不在同一行又不在同一列，則共有種選法.故答案為：72.72．個(gè)人排成一個(gè)n行，n列的方陣，現(xiàn)要從中選出n個(gè)代表，要使得每一行，每一列都有代表，則有___________種不同的選法.【答案】【解析】從第行中選取一個(gè)代表，選法有種，從第行中選取一個(gè)代表，為保證每一列都有代表，選法有種，從第行中選取一個(gè)代表，為保證每一列都有代表，選法有種，從第行中選取一個(gè)代表，為保證每一列都有代表，選法有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法數(shù)有：，故答案為：.73．某活動(dòng)中，有42人排成6行7列，現(xiàn)從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_____（用數(shù)字作答）．【答案】4200【解析】先按順序依次選三人共有，再去掉順序數(shù)：故答案為：4200.題型十九：環(huán)排問(wèn)題74．8人圍桌而坐，共有______種坐法.【答案】5040【解析】圍桌而坐與坐成一排不同，圍桌而坐沒有首尾之分，因此固定一人并從此位置把圓形展成直線，則其余7人共有（種）排法.故答案為：504075．5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．【答案】86400【解析】因?yàn)槿我?個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則有且僅有2個(gè)男孩站在一起，先把5個(gè)女孩排成一個(gè)圈，這是個(gè)圓形排列，因此排法共有(種)，把6個(gè)男孩按2，1，1，1，1分成5組有種分法，最后把5組男孩放入5個(gè)女孩構(gòu)成圓排列的5個(gè)間隔中有種方法，而站在一起的兩個(gè)男孩有順序性，有2種站法，所以，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的排法共有(種).故答案為：8640076．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數(shù)為__________【答案】【解析】因?yàn)?0位男生全排列有種排法，因?yàn)槭菄梢蝗Γ圆环诸^尾，所以10位男生圍成一圈有種，再把10位女生插入男生間的空隙中共有種方法，所以10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，不同的排列數(shù)為.故答案為：.77．4個(gè)人圍坐在如圖所示的8張椅子中的4張椅子上聚餐，其中甲、乙兩人不能相對(duì)（如1與8叫做相對(duì)）而坐，共有__________種不同的坐法(用數(shù)字作答)【答案】1440【解析】因?yàn)榧?、乙兩人不能相?duì)（如1與8叫做相對(duì)）而坐，則甲、乙兩人不能同時(shí)坐在1與8位置或2與7位置或3與6位置或4與5，所以共有種不同的作法.故答案為：1440.1．將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（

）A．20種 B．40種 C．80種 D．160種【答案】C【解析】一側(cè)的種植方法有種排法，另一側(cè)的種植方法有種排法再由分步計(jì)數(shù)原理得不同的種植方法共有種排法，故選:C.2．（2024·高三·重慶涪陵·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無(wú)并列情況).甲、乙、丙去詢問(wèn)成績(jī).老師對(duì)甲說(shuō)：“你不是最差的.”對(duì)乙說(shuō)：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對(duì)丙說(shuō)：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．54【答案】B【解析】解法一：多重限制的排列問(wèn)題：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是最后一名，即甲的限制最多，故以甲為優(yōu)先元素分類計(jì)數(shù)，甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；綜上，該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.解法二：間接法：甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；從而該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.故選：B.3．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】D【解析】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙排最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種，則共有種排法.故選：D.4．下列命題不正確的是（

）A．正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是54；B．身高各不相同的六位同學(xué)，三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法；C．有5個(gè)元素的集合的子集共有32個(gè)；D．6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加晚會(huì)（至少一人參加），其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去，共有32種去法.【答案】D【解析】對(duì)于A，正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，身高各不相同的六位同學(xué)，三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有，故B正確；對(duì)于C，有5個(gè)元素的集合的子集共有個(gè)即個(gè)，故C正確；對(duì)于D，6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加晚會(huì)，其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去，甲乙共有中去法，而其余4位同學(xué)共有種，故共有不同的去法種（去除都不去的一種），故D錯(cuò)誤.故選：D.5．（2024·高三·海南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．144 B．72 C．36 D．24【答案】B【解析】由題意知可將當(dāng)成一個(gè)整體來(lái)計(jì)算，和總計(jì)有種排法，再根據(jù)插空法可得總排法有.故選：B6．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）甲乙等6名數(shù)學(xué)競(jìng)賽國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員站成一排合影，若甲乙兩名同學(xué)中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為（

）A．144 B．192 C．360 D．480【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間，有種情況；②將3人看成一個(gè)整體，與其余3人全排列，有種排法；則有種不同的站法．故選：B7．（2024·高三·廣東深圳·開學(xué)考試）三名籃球運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙進(jìn)行傳球訓(xùn)練（不能傳給自己），由丙開始傳，經(jīng)過(guò)5次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．10種 C．11種 D．12種【答案】B【解析】設(shè)在第次傳球后有種情況球在丙手中，即經(jīng)過(guò)n次傳球后球又被傳回給丙，在前n次傳球中，每次傳球都有2種可能，故在前n次傳球中共有種傳球方法，故在第n次傳球后，球不在丙手中的情況有（種），即球在甲或乙手中，只有在這些情況時(shí)，在第n+1次傳球后，球才會(huì)被傳回給丙，即，由題意可得，則，，故選：B8．北京時(shí)間2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十六號(hào)航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來(lái)的神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國(guó)人民報(bào)平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（

）A．144種 B．204種 C．156種 D．240種【答案】C【解析】第一步，唐勝杰、江新林2人相鄰，有種排法；第二步，分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，故總共有種排法.

故選：C.9．（多選題）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，且每人只安排一個(gè)工作，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不同安排方案的種數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C．若司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為D．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲不能從事司機(jī)工作，則不同安排方案的種數(shù)為【答案】BD【解析】對(duì)A，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則不同安排方案的種數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為，故B正確；對(duì)C，先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，有種情況，則不同安排方案的種數(shù)是，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，第一類，先從乙，丙，丁，戊中選出1人從事司機(jī)工作，再將剩下的4人分成三組，安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為；第二類，先從乙，丙，丁，戊中選出2人從事司機(jī)工作，再將剩下的3人安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為.所以不同安排方案的種數(shù)是，故D正確.故選：BD.10．（多選題）定義“圓排列”：從n個(gè)不同元素中選m個(gè)元素圍成一個(gè)圓形，稱為圓排列，所有圓排列的方法數(shù)計(jì)為.圓排列是排列的一種，區(qū)別于通常的“直線排列”，既無(wú)“頭”也無(wú)“尾”，所以.現(xiàn)有2個(gè)女生4個(gè)男生共6名同學(xué)圍坐成一圈，做擊鼓傳花的游戲，則（

）A．共有種排法 B．若兩名女生相鄰，則有種排法C．若兩名女生不相鄰，共有種排法 D．若男生甲位置固定，則有種排法【答案】ABD【解析】對(duì)于A：現(xiàn)有2個(gè)女生4個(gè)男生共6名同學(xué)圍坐成一圈，共有種排法，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：若兩名女生相鄰，則有種排法，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：若兩名女生不相鄰，共有種排法，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：若男生甲位置固定，考慮以甲為基準(zhǔn)的順逆時(shí)針排列，則有種排法，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11．（多選題）臨沂動(dòng)植物園舉行花卉展覽，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將全部去展館參展，每種只能去一個(gè)展館，每個(gè)展館至少有1種花卉參展，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若展館需要3種花卉，有4種安排方法B．若“綠水晶”去展館，有7種安排方法C．若“綠水晶”不去展館，有6種安排方法D．若2種三角梅不能去往同一個(gè)展館，有8種安排方法【答案】ABD【解析】對(duì)于,若展館需要3種花卉,4種精品花卉選3種安排在展館即可，有種安排方法,正確;對(duì)于,若“綠水晶”去展館,將剩下3種花卉分到展館即可,展館必有一種,則有種安排方法,正確;對(duì)于,若“綠水晶”不去展館,則其必須去展館，同理選項(xiàng)，有7種安排方法，錯(cuò)誤;對(duì)于,若2種三角梅不能去往同一個(gè)展館,則其分別在兩個(gè)展館,有種安排方法,將2種蘭花安排在兩個(gè)展館,每種蘭花都有2種安排方法,則2種蘭花共有種安排方法,則有種安排方法,正確.故選:.12．（多選題）現(xiàn)有6本不同的書，則（

）A．分給甲乙丙三人，每人2本，則共有90種分法B．分成三份，每份2本，則共有90種分法C．分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，則共有60種分法D．分給甲乙丙三人，其中甲4本，乙1本，丙1本，則共有15種分法【答案】AC【解析】對(duì)A：把6本書平均分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人2本，分3步進(jìn)行;先從6本書中取出2本給甲，有種取法，再?gòu)氖Ｏ碌?本書中取出2本給乙，有種取法，最后把剩下的2本書給丙，有種情況，則把6本書平均分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人2本，有（種）分法，故A正確；對(duì)B：先分三步，則應(yīng)是種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書為,若第一步取了，第二步取了，第三步取了，記該種分法為則種分法中還有，，，，，共種情況，而這種情況僅是的順序不同，因此只能作為一種分法，故分法有（種），故B錯(cuò)誤；對(duì)C：這是“不均勻分組”問(wèn)題，（種），故C正確；對(duì)D：把6本書分給甲、乙、丙3個(gè)人，甲4本，乙1本，丙1本，分3步進(jìn)行，先從6本書中取出4本給甲，有種取法，再?gòu)氖Ｏ碌谋緯腥〕?本給乙，有種取法，最后把剩下的1本書給丙，有種情況，則把6本書分甲4本，乙1本，丙1本，有（種）分法，故D錯(cuò)誤；故選：AC.13．（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）某醫(yī)藥研究所將在7天時(shí)間內(nèi)檢測(cè)3種不同抗生素類藥品、3種不同抗過(guò)敏類藥品、1種降壓類藥品.若每天只能檢測(cè)1種藥品，且降壓類藥不在第1天或第7天檢測(cè)，3種不同抗生素類藥品中恰有2種在相鄰兩天被檢測(cè)，則不同的檢驗(yàn)時(shí)間安排方案的個(gè)數(shù)為.【答案】【解析】根據(jù)題意，先計(jì)算3種不同抗生素類藥品中恰有2種相鄰兩天被檢測(cè)的種數(shù)，可分三步分析：先將3種不同抗過(guò)敏類藥品和1種降壓類藥品進(jìn)行全排列，有種情況，其排好后有5個(gè)空位可選，再?gòu)?種不同抗生素類藥品任選2種，安排在相鄰的2天檢測(cè)，有種，最后和另外1種抗生素類藥品，安排在4個(gè)空位中，有種排法，此時(shí)，共有種不同的排法，其中1種降壓類藥品安排在第1天或第7天的檢測(cè)，有，綜上可得，共有種不同的排法.故答案為：.14．從10個(gè)人中選出7人圍成一圈做游戲，則不同的排法種數(shù)有種．【答案】86400【解析】先選人，有種選法.再將7人進(jìn)行全排列，有種排法，由于圍成一圈，所以ABCDEFG，BCDEFGA，CDEFGAB，DEFGABC，EFGABCD，F(xiàn)GABCDE，GABCDEF是1種排法，所以有種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同排法種數(shù)為：種.故答案為：8640015．在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，學(xué)號(hào)為的四位同學(xué)的考試成績(jī)?yōu)椋覞M足，則這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況的種數(shù)為.【答案】15【解析】從所給的5個(gè)成績(jī)中，任意選出4個(gè)的一個(gè)組合，即可得到四位同學(xué)的考試成績(jī)按排列的一個(gè)可能情況，故方法有種.從所給的5個(gè)成績(jī)中，任意選出3個(gè)的一個(gè)組合，即可得到四位同學(xué)的考試成績(jī)按排列的一個(gè)可能，故方法有種.綜上可得，滿足的這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況共有種.故答案為：1516．如圖是某城區(qū)的街道平面網(wǎng)格，它由24個(gè)全等的小正方形構(gòu)成，每個(gè)小正方形的邊界都是能通行的街道道路，而小正方形的內(nèi)部都有樓房建筑（不能跨越通行）．小張家居住在街道網(wǎng)格的M處，她的工作單位在街道網(wǎng)格的N處，每天早上她從家出發(fā)，沿著街道道路去單位上班，若她要選擇最短路徑前往，則小張上班一共有種走法；若小張某天早上從家出發(fā)前往單位上班，途中要先到達(dá)街道P處吃早餐，吃完早餐再前往單位，則她一共有種最短路徑的走法．【答案】【解析】小張從處出發(fā)選擇最短路徑前往處，需要向右走條街道和向上走條街道，共走條街道．所以從處出發(fā)選擇最短路徑到達(dá)處一共有種走法；同理，從處到達(dá)處有種走法，從處到達(dá)處有種走法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，小張每天早上上班途經(jīng)街道處的最短路徑走法有種．故答案為：210，9017．今年暑期旅游旺季，貴州以涼爽的氣候條件和豐富的旅游資源為依托，吸引了各地游客前來(lái)游玩.由安順黃果樹瀑布?荔波小七孔?西江千戶苗寨?赤水丹霞?興義萬(wàn)峰林?銅仁梵凈山6個(gè)景點(diǎn)諧音組成了貴州文旅的拳頭產(chǎn)品“黃小西吃晚飯”.小明和家人計(jì)劃游覽以上6個(gè)景點(diǎn)，若銅仁梵凈山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千戶苗寨安排在相鄰位置，則一共有種不同的游覽順序方案.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】將荔波小七孔和西江千戶苗寨捆綁到一起，看成一個(gè)景點(diǎn)，有