第一講整式的概念

概念總匯

1、代數(shù)式的有關(guān)概念

（1）代數(shù)式：用基本的運算符號（包括加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)、表示數(shù)的字母連結(jié)而

成的式子叫做代數(shù)式，單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

說明：代數(shù)式書寫時需注意：（1）數(shù)與字母、字母與字母相乘時乘號省略不寫，數(shù)字要寫在字母前

面，如數(shù)字因數(shù)是1或一1時，“1”省略不寫，如一:nn；（2）帶分數(shù)與字母相乘時要化成假

2

分數(shù)，如：要寫成3M的形式；（3）除號要改寫成分數(shù)線，如：a+b要寫成色；（4）書寫單

22b

位時要把代數(shù)式用括號括起來，如平方米。

2

（2）代數(shù)式的系數(shù)：在代數(shù)式中，每一項字母前的數(shù)字因數(shù)叫做這一項的系數(shù)。

說明：當(dāng)系數(shù)是1或一1時，I省略不寫，如一"，,等。

2、整式的有關(guān)概念

（1）單項式的定義：都是數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式.

說明：判斷?個代數(shù)式是不是單項式，主要是根據(jù)代數(shù)式中數(shù)字和字母間是否都是乘法運算關(guān)系.如

里就不是一個單項式，因為2y與x之間是除法運算.但是，〃拄是單項式，因為上是一個數(shù).a2

x22

是一個單項式，因為〃可以看作是〃?①特別地，單獨的一個數(shù)或單獨的一個字母也都是單項式，

如一3,0,-，弟土等都是單項式

32

（2）單項式次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).

說明：單項式的次數(shù)，是指這個單項式中將所有字母指數(shù)相加得到的和.如單項式3?、2?、；』），、

‘X的次數(shù)分別是2、2、3、1.特別地，單獨的一個數(shù)字，如3,—9等，可以當(dāng)做。次單項式來

2

看待.

（3）單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)即為單項式的系數(shù).

說明：在單項式中，系數(shù)只與數(shù)字因數(shù)有關(guān)；次數(shù)只與字母有關(guān).如的短的系數(shù)是1,次數(shù)為3+1

+4=8.

（4）多項式的定義：幾個單項式的和叫做多項式.

說明：多項式是由幾個單項式相加得到的，如多項式/十合-1是由單項式/，2r和一1相加而得

到的

<5)多項式的次數(shù)；一個多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù).

說明：在確定多項式的次數(shù)時，應(yīng)先計算出多項式的每一項的次數(shù)，然后再確定多項式的次數(shù)，即

取次數(shù)最大的項的次數(shù)作為該多項式的次數(shù).如，多項式/一^尸+工中，單項式/的次數(shù)是3,單

項式一fy2的次數(shù)是4,單項式X的次數(shù)是1,所以多項式%y+x的次數(shù)是4.

(6)多項式的項數(shù)：一個多項式中有幾個單項式就有幾項.每一個單項式就是一項。

說明：多項式的項，包括符號.如多項式5—3f中，二次項是一3r.

(7)常數(shù)項的定義：在多項式中，不含有字母的項叫做多項式的常數(shù)項。

(8)降騫排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這

個字母降暴排列.

(9)升暴排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這

個字母升基排列.

說明：把多項式按升基或降累排列時，一定要弄清是針對哪個字母的排列，排列時只看這個字母的

指數(shù)，而后按照加法交換律交換項的位置.對于不同的字母，排列后的順序往往不同，切記重新排

列多項式時，各項一定要帶著符號移動位置.如：

9+2?），-7盯3-/-7=2<v+V-7xy3~/~7①

=—7—y4—+/+2xy②

=-/-Jxy3+2^y+xi-7③

=-7+9+2v4y-7x/-J#④

其中，①是按工的降舞排列；②是按x的升鼎排列；③是按)，的降累排列；④是按)，的升哥排

列.

(10)整式的定義：單項式和多項式統(tǒng)稱整式.

說明：知道一個代數(shù)式，不論是單項式還是多項式，都一定是整式；反之，如果已知一個代數(shù)式是

整式，那么它或者是單項式，或者是多項式，二者必具其一.如單項式一,x等都是整式，多項

式3一工，一丁一工+1等都是整式；在整式2x,1中，2x是單項式，d—1是多項式.

方法引導(dǎo)

1.對單項式、多項式、整式進行判斷

例1判斷下列各代數(shù)式，哪些是單項式，哪些是多項式，哪些不是整式.

(1)-(2)2/+1；(3)；(x+y+l)；(4)—a2；(5：0；

(6)—；⑺也；(8)—；(9)^+--1；(10)—；

y32xxx+1

2、說出單項式、多項式的次數(shù)和項

例2指出下列各單項式的系數(shù)與次數(shù)：

(1)^-；(2)-mn3-.(3)4K)’(4)-3；

83

例3、填空：

(1)多項式2?-3*5-2/是次項式，最高次項的系數(shù)是,四次

項的系數(shù)是，常數(shù)項是，補足缺項后按字母x升轅排列得;

(2)多項式。3-3《必2+3/6—護是次項式，它的各項的次數(shù)都是,

按字母b降幕排列得.

例題講解

(-)題型分類全析

1、與代數(shù)式有關(guān)的題型

例1.用代數(shù)式表示：

(1)把溫度是IC的水加熱到1OOC,水溫升高了℃o

(2)一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b,則這個兩位數(shù)可表示為o

(3)用字母表示兩個連續(xù)奇數(shù)為___________。

(4)若正方體的棱長是a—1,則正方體的表面積為。

(5)如圖，亮亮家裝飾新家，他為自己的房間選了一款窗簾(上方陰影固定)，請你幫他計算

可以射進陽光的面積為米2。

咪

【搭配練習(xí)】

1.長方形的長為。厘米，寬為〃厘米，該長方形的周長為厘米，面積為

平方厘米。

2.一桶汽油倒出30%還剩。千克，則這桶汽油原有千克。

2、如果一個多項式是五次多項式，那么（）

A.這個多項式最多有六項；

B.這個多項式只能有一項的次數(shù)是六；

C.這個多項式一定是五次六項式；

D.這個多項式最少有二項，并且最高次項的次數(shù)是五.

3、請你寫出一個四次項系數(shù)為T的四次多項式，并指出其余各項的次數(shù)和系數(shù).

例4說出下列各多項式分別是幾次幾項式.

(l)3x-23；⑵我+2。-3〃一4；

(6)2(xy+gji3—y+/).

（4）U3-Z?3+l）X-；

3

【搭配練習(xí)】

1、在X2,；(x+y),--

—3,—-341，單項式是,多項式是

71X

整式是

2、多項式外一1是次項式.

3、多項式5/一外2+1按字母），的降累排列是一

4、下列說法正確的是（）.

1A3x—2v

A.乙不是單項式；B.幺是單項式；C.x的系數(shù)是0；D..是整式.

2a2

（二）思維重點突破

例5若一是關(guān)于X、），的單項式，且系數(shù)為-6,次數(shù)為3,則4=,m=____

【搭配練習(xí)】

2y

ytF.Sabc,萬蜘曰田她曰

1、單項式—--的系數(shù)是____________＞次數(shù)是_____________.

2、系數(shù)是一3,且只含有字母x和），的四次單項式共有個，分別是.

3.如果單項式342r吁4的次數(shù)與單項式11）,2Z2的次數(shù)相同，試求〃?的值。

3

例6當(dāng)x為何侑時，下列多項式可化簡為關(guān)于），的一次單項式.

(l)-x-5y-5；⑵K+3.V-4+6.

32

【搭配練習(xí)】

當(dāng)a時，整式/+〃—1是單項式.

例7觀察下列式子：

Ix4+2=6=2x3；

2x5+2=12=3x4；

3x6+2=20=4x5；

4x7+2=30=5x6…???

請你將猜想得到的式子用含正整數(shù)n的式子表示來

【搭配練習(xí)】

1、用黑白兩顏色的正六邊形地面磚按如圖所示規(guī)律，拼成若干個圖案：

(I)第4個圖案中有白色地面磚塊；

2、下列每個圖形都是若干個棋子圍成的正方形圖案，圖案的每條邊(包括兩個頂點)上都有

〃(〃22)個棋子，每個圖案棋子總數(shù)為S,按下圖的排列規(guī)律推斷，S與〃之間的關(guān)系可以用式子

來表示。

課后作業(yè)

A類作業(yè):

1、填空題：

（1）某種足球。元，則漲價20%后是元；

（2）箱橘子重x依，每箱重_______kg；

（3）購買單價為a元的筆記本8本，共需人民幣元；

（4）小明的體重是。kg，小紅比小明重〃kg,則小紇的體重是kg；

（5）練習(xí)本每本定價0.6元，鉛筆每支定價0.2元，買a本練習(xí)本，b支鉛筆共需元:

（6）三個連續(xù)偶數(shù)中間的一個為2n,則這三個數(shù)的和表示為o

2、選擇題：

（1）在一次數(shù)學(xué)測驗中，3（）名男生平均得分為a,20名女生平均得分為b,這個班所有同學(xué)的

平均得分是（）。

a+b門30〃+20〃萬30。+20/?_a+b

A.----B.---------C.---------D.----

225050

（2）一種小麥磨成面粉后重量減輕15%,要得到m千克面粉，需要小麥（）千克。

A.(1+15%)mB.(l-15%)mC./n+15%D.tn-15%

3、設(shè)某數(shù)為x,用x表示下列各式：

（1）某數(shù)與1的差：（2）某數(shù)的［與1的和；

223

（3）某數(shù)與1的差的平方；（4）某數(shù)與2的和的倒數(shù)

4、觀察下列各組數(shù)，用含〃的代數(shù)式來表示第〃個數(shù)。

(1)1,2,3,4,?

(2)2,4,6,8,

(3)1,3,5,7,-

(4)3,7,11,15,

B類作業(yè)：

一、填空題：

1、如果〃表示一個自然數(shù)，則它的下一個自然數(shù)是.

2、小穎今年〃歲，去年小穎歲，6年后小穎歲.

3、止方體的棱長為表面積S=,體枳V=.

二、選擇題;

4、如力兩數(shù)的平方和可表示為（）

A、(a+b)2B、a+b2C、a2+bD、a2+b2

5、有三個連續(xù)偶數(shù)，最大一個是2〃+2,則最小一個可以表示為（）

A、2n~2B、2nC、2?+1D、2〃一1

6、每100千克小麥可出工千克面粉，y千克小麥可出面粉的千克數(shù)為（）

100)，B工C、100xy_

A、D、

X孫ioo

7、一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是小個位數(shù)字是〃，則這個兩位數(shù)是（）

AxabB、a+bC、\0a+bD、\0b+a

8、設(shè)〃?是用字母表示的有理數(shù)，則下面各數(shù)中必大于零的是（）

A、2mBxm+2C、Im\D、nr+2

三、解答題:

9、說出兩個可以用6/表示結(jié)果的實際問題.

10、用字母表示圖中陰影部分的面積.

C類作業(yè):

1、有一大捆粗細均勻的制筋，現(xiàn)要確定其長度，先稱出這捆鋼筋的總質(zhì)量為m千克，再從中

截取5米長的鋼筋，稱出它的質(zhì)量為n千克，那么這捆鋼筋的總長度為（）米

IDmn5m

B>-C、wD^

A、nbo

2、下列各式不是代數(shù)式的是（）

,2

A.0B.4x2—3x+lC.a+b=b+aD^-

y

3、兩個數(shù)的和是25,其中一個數(shù)用字母x表示，那么K與另一個數(shù)之積用代數(shù)式表示為

A.x(x+25)B.x(x-25)C.25xD.x(25—x)

4、一2x3y的系數(shù)是，一叱的系數(shù)是；一a2b的系數(shù)是，/R?的系數(shù)是.

3

5、觀察下列算式:2'=2,2?=4,2^8,2,=16,25:32,2包64,27:128,2^256,…那么227的未位數(shù)字

L

6、研究下列各式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

1,1111-111

―I*…I■??I=―——?■一.?■一,'-?—i.?????

1X2,2,2X323*3X434‘

將你找到的規(guī)律用含n的等式表示出來

7、觀察下列數(shù)表：

1234???第一■行

2345???第二行

345.6???第三行

4567第四行

???,?■?????????

根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為,第n行與第n列

交叉點上的數(shù)應(yīng)為(用含有n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù))

8、觀察下列各等式：

4-2=4+2.微—3="1-+3?(—J)—)=(-.........

乙乙,乙乙乙乙

(1)以上各等式都有一個共同的特征：某兩個實數(shù)的一等于這兩個實數(shù)的:如果

等號左邊的第一個實數(shù)用X表示，第二個實數(shù)用y表示，那么這些等式的共同特征可用含X,y的等

式表示為.

(2)將以上等式變形，用含y的代數(shù)式表示x為；

(3)請你再找出一組滿足以上特征的兩個實數(shù)，并寫出等式形式：

第二講整式的加減

概念總匯

1、整式加減的有關(guān)概念

(1)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類

項。如：6x?y2和-4x2y2就是同類項，一3和5也是同類項：但418與”從就不是同類項，因為相

同字母的指數(shù)不相同。

(2)合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，即把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不

變。如：6x2y2+(-4x2y2)=2x2y2

說明：①只有同類項才可合并，不是同類項的不能合并；

②合并同類項，只合并系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變；

③合并同類項后若其系數(shù)是帶分數(shù)，要把它化成假分數(shù)；

④多項式中，如果兩同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，合并后這兩項互相抵消，結(jié)果為0。

(3)去括號法則：括號前面是正號，把括號和括號前的正號去掉后，括號里的各項不改變符號；括

號前是負號，把括號和括號前的負號去掉，括號里的各項都要改變符號。如：A+(5A+3B)-(A

—2B)=A+5A+3B-A+2B=5A+5Bo

說明：去括號法則相當(dāng)于乘法分配律的應(yīng)用，如：A+(5A+3B)—(A—2B)=A+1X(5A+3B)+

(-1)X(A-2B)=A+5A+3B+(-1)A+(-1)X(-2B)=A+5A-3B-A+2B=5A+5Bo如果括號前面有數(shù)

字因數(shù)，就按乘法分配律去括號。如：

1333

—(3a2-2ab+4b2)-2(—a2-ab-3b2)=—a2-ab+2b2--a2+2ab+6b2=ab+8b2

2422

(4)添括號法則：給括號前添正號，括在括號里的各項都不改變符號；給括號前添負號，括到括號

里的各項都要改變符號。

說明：去括號與添括號是互逆的過程，它們的依據(jù)是乘法分配律的順逆運用。

可把+(a~b)看作(+1)(a~b)?把-(a-b)看作(~1)(a-b)則有+(a~b)=a-b,

-(a-b)=-a+b,這樣乘法分配律的一個應(yīng)用便是去括號；添括號可理解為乘法分配律的逆用。

2、整式加減法法則

幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接.整式加減的一般步驟是：

①如果遇到括號，按去括號法則去括號；②合并同類項

說明：整式的加減實際上就是去括號和合并同類項。合并同類項時，只能把同類項合為一項。

如果同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項后為0,不是同類項的不合并，但每步運算中不能漏掉,

在運算中，如果遇到括號，應(yīng)先運用去括號法則去掉括號。當(dāng)遇到多重括號時，每去掉一個括號后

要及時合并同類項，以減少項數(shù)避免錯誤及簡化計算。整式加減運算的結(jié)果書寫形式的要求：

①結(jié)果按照某個字母的降轅或升舞排列；

②每一項的數(shù)字系數(shù)寫前面；

③結(jié)果不出現(xiàn)帶分數(shù)；帶分數(shù)要化成假分數(shù)；

④結(jié)果不出現(xiàn)號，改寫成分數(shù)的形式；

⑤結(jié)果中不再有括號(一般情況)。

方法引導(dǎo)

1、同類項的概念及合并同類項的注意點

例1已知代數(shù)式(廣。3與—是同類項，那么a、b的值是()

a=2a=2a=-2a=-2

b=1

A."B.iC."D.lb=l

【搭配練習(xí)】

1、若單項式2/j嚴和是同類項，求m、n的值

2、已知—4x%2y3與爐),7-2”是同類項，求m—n的值

例2三角形的周長為48,第一邊長為3a+2b,第二邊的2倍比第一邊少a-2b+2,求第三邊長是多

少？

【搭配練習(xí)】

已知一個三角形的周長為5。+3〃—2,第一條邊長為a—〃+2,第二條邊比第一條的2倍還

少2,試求第三條邊

2、求代數(shù)式值要注意的問題

(1)化簡求值法

例3.若工二一4，求代數(shù)式

6

2(3/-4x2+5x-6)-7(3/-5x-7)+10(—31+2x2-4x-5)的值?

【搭配練習(xí)】

先化簡，再求值。

1、3x~—8x+丁—12x~—+1,其中x=2

2、4x2+2xy+9^2-2x2-3xy+y2,其中x=2,y=l.

(2)整體代入法

門.a—b.4小皿45(〃—b)a+b“』八

例4若-----=4,求代數(shù)式二~一--------二的值？

a+ha+b2(a-b)

【搭配練習(xí)】

31,,

1、當(dāng)〃二一二8=一時，求5(2〃+8)2-3(3〃+26)—3(2。+??+2(3〃+2b)的值。

42

2^已知。一/?=2,/?一。二一3,(?-1=5,求(a-c)(/?-d)+(a-d)的值

例題講解

(-)題型分類全析

1、整式加減類型題

整式包括單項式和多項式，因此，整式的加減就包括單項式與單項式、單項式與多項式及多項

式與多項式的加減.。求兩個多項式的和或差時，要把每個多項式應(yīng)作為一個整體，用括號括起來，

再進行加或減，然后去掉括號，合并同類項，化簡。整式的加減實際上就是合并同類項，在運算中，

23222

有括號要先去括號.去括號時一定要注意括號前的符號，如(x+x)-(1-3X+2X)=X+X-1+3X-2X=-X+4X-1z

要特別注意括號前是負號的時候，不要只對括號中的首項變號，其他項也要變號。

例1：求3/-6x+5與4x?+7X一6的和與差。

【搭配練習(xí)】

1、求多項式2x-3y與5x+4y的和.

2、求多項式8a-7b與4a-5b的差

例2：.已知A=a2+b2dB=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=O,問C是什么樣的多項式.

【搭配練習(xí)】

已知多項式A=/+2y2—z2,8=-4x2+3)，2+2z2且A+B+C=0,則C為()

(A)5x~--z~(B)3x~-5)盧一z"

(C)3x~—y~-3z2(D)3x~-5y"+z~

例3已知小明的年齡是m歲，小紅的年齡比小明的年齡的2倍少4歲，小華的年齡比小紅年

齡的L還多1歲，求這三名同學(xué)的年齡之和是多少？

2

【思維直現(xiàn)】已知小明的年齡是m歲，小紅的年齡比小明的年齡的2倍少4歲，可以用含m的

代數(shù)式表示小紅的年齡；小華的年齡比小紅年齡的,還多1歲，可以用含m的代數(shù)式表示小華的年

2

齡，這樣三個人的年齡和就是三個多項式的和。

【搭配練習(xí)】

某商店原有5袋大米，每袋大米為x千克，上午賣出3袋，下午又購進同樣包裝的大米4袋，

進貨后這個商店有大米多少千克

2、求代數(shù)式值的題型

例4已知：|x+2|+(y+l)2=0,求—3。一2)，)3—2(2x—)，)3的值。

【搭配練習(xí)】

已知|1加一2|+(14〃-1)2=°，求5。-{7人一[11。-6〃-5(2。+3)]}的值。

例5.設(shè)a=-0.7,b=0.49,求代數(shù)式的值:

2348

京9+2b-0.28)一盆—切一5(3。一h)

例6：已知：A=5a+3b,B=3a2—2a2b,C=a2+7a2b—2,當(dāng)a=l,b=2時，

求A-2B+3C的值,

【搭配練習(xí)】

已知n?與一2n2的和為A,1+/與一2m2的差為B,求2A—4B

(二)思維重點突破

例7兩個多項式的次數(shù)都是n,這兩個多項式的差的次數(shù)能否小于n?為什么？

【搭配練習(xí)】

如果A是x的3次多項式，B是x的5次多項式，那么A-B是().

A.3次多項式B.2次多項式C.8次多項式D.5次多項式

例8.已知2。2-3。—5=0,求4/—12々3+9/—io的值？

【搭配練習(xí)】

已知x=2,y=-4,代數(shù)式+2007,求工=-4,丁二一工時，代數(shù)式

3ax-24Z?y3+5010的值。

例9.已知A=2F+4.p—2x—3,B=-x2+.ry+2o且3A+6B的值與x無關(guān)，你能求出)，的值

嗎？

【搭配練習(xí)】

(-3A7+?yx-3)+(xyz2-4Ay-1)一(lxyz2+xy)的結(jié)果()

A.與x、y、z的大小無關(guān)

B.與x、y的大小有關(guān)，而與z的大小無關(guān)

C.與x的大小有關(guān)，而與)，、z的大小無關(guān)

D.與X、丁、z的大小有關(guān)

課后作業(yè)

A類作業(yè)：

一、填空題

43、

1、化簡：a-2(a-3b)+3(a-b)=_______,—ah—ab-h~=_________。

54

22

2、-9X+6X-1=(/-1)+()=y-()=6x-l-()

二、選擇題

1、下列去括號正確的是()

A.a-(lb-c-d)=a-2b-c+dB.-(3a+2b+c-d)=3a-2b-cd

C.(a+l)-(-〃+c)=a+l+Z?+cD.3a-\5b-2(c-\)]=3a-5b+2c-2

三、解答題

I、合并下列各式的同類項:

1

22

-22222222

XV5XV(2)-3xy+2xy+3xy-2xy；(3)4a+3b+2ab-4a-4b

2、求多項式3a+abc-Lc2-3a+，c2的值，其中a=-'，b=2,c=-3

336

3、水庫中水位第一天連續(xù)下降了a小時，每小時平均下降2cm,(3第二天連續(xù)上升了a小時，每小

時平均上升0.5cm,這兩天水位總的變化情況如何？

4、化簡下列各式：

(1)8a+2b+(5a-b)；(2)(5a-3b)-3(a2-2b)

B類作業(yè)：

一、選擇題

1、若)，=2x1,z=3y,則x+y+z=()

A.2x-lB.29x-2C.9工一3D.9x-4

2、一條鐵絲正好可?圍成一個長方形，一邊長為2〃+〃，另?邊比它大人，則長方形的周長是

()

A.5a+bB.\0a+3bC.10^+22?D.1Otz+6Z?

2、個位上數(shù)字是a,十位上數(shù)字是b,百位上的數(shù)字是c的三位數(shù)與把該三位數(shù)的個位數(shù)字、百位數(shù)

字對調(diào)位置后所得的三位數(shù)的差為_______.

三、解答題

1、先化簡再求代數(shù)式的值：

5a2+[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)],其中a=--：

2

2、設(shè)一個多項式與多項式一2。%一4/+2出?的差比4"-〃小一"〃一3b2,求這個多項式。

3、大客車上原有(3a-b)人，中途下車一半人,又上車若干人，這時車上共有乘客(8a-5b)人,問上車乘客是

多少人?當(dāng)a=10,b=8時,上車乘客是多少人？

C類作業(yè):

I、設(shè)多項式A和B都是五次多項式，那么/VB一定是（)

A.五次多項式B,十次多項式

C.次數(shù)不高于五次的整式D.次數(shù)不低于五次的整式

2、如果a-b二!，那么—3（b-a）的值是（）.

2

A.--B.-C.-D.-

5326

3、已知上二3,求2H小的值

x+y-x+3xy-y

4、若代數(shù)式（2/+。工-），+6）-（2〃/-31+5》+1）的值與字母式的取值無關(guān)，求多項式

#一2〃一；（〃3一2〃）的值。

5、兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)?，乙船逆水，團兩船在靜水中的速度都是50千米/

時，水流速度是a千米/時.

（1）2小時后兩船相距多近？

（2）2小時后甲船比乙船多航行多少千米？

6、周長相同的正方形和圓，哪一個面積比較大？（提示：用字母表示其周長）

7、某公司計劃砌一個形狀如下圖（1）的噴水池，后有人建議改為如下圖（2）的形狀，且外圓直徑

不變，只是擔(dān)心原來備好的材料不夠，請你比較兩種方案，哪一種需用的材料多（即比較兩個圖

形的周長）？若將三個小圓改為n個小圓，又會得到什么結(jié)論？

8、如圖，大正方形的邊長為a,小正方形的邊長為2,求陰影部分的面積.

BE

第三講整式的乘除

概念總匯

1、同底數(shù)幕的乘法

（1）同底數(shù)基的乘法法則，其推到過程是特殊到一般的過程，即由103?102,33-3?到23-a?

到a'"-a",把舞的底數(shù)與指數(shù)分兩步進行概括抽象，要注意推出這一法則每一步的依據(jù)

（2）同底數(shù)幕的乘法法則是：

同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加

a*a”=a"""（字母m,n表示正整數(shù)）

當(dāng)三個或三個以上的同底數(shù)制相乘時，也具有這樣的性質(zhì)，即：

an,?a”?ap=a/M+M+p（字母m,n,p表示正整數(shù)）

說明：

（1）同底數(shù)幕相乘，就應(yīng)用同底數(shù)幕的乘法法則；整式加減就要合并同類項。兩者不能混淆。

（2）、一a?的底數(shù)a,不是一a。計算一a??a?的結(jié)果是一（a?-a2）=-a4,而不是（一小，）=a'。

（3）、若底數(shù)是多項式時，要把底數(shù)看成一個整體進行計算

2、嘉的乘方

⑴、暴的乘方的性質(zhì)推導(dǎo)

當(dāng)乘方的運算中底數(shù)變成基時，這種運算就變成一種新的運算：即累的乘方，其運算法則可由乘方

運算的定義和同底數(shù)幕的乘法法則推導(dǎo)出來。

（2）＞事的乘方法則

幕的乘方,底數(shù)不變，指數(shù)相乘。用字母表示就是（an）5（m、n都是正整數(shù)底如（103）2=106

說明：

（1）、幕的乘方是單項式乘除運算的基礎(chǔ)，應(yīng)學(xué)會運用乘方的定義及同底數(shù)基乘法推導(dǎo)其運算法則,

同時注意與同底數(shù)累乘法法則的區(qū)別，應(yīng)用時不能混淆。

（2）、不管是同底數(shù)累的乘法運算，還是哥的乘方運算，要學(xué)會正確識別嘉的“底”是什么？事的

指數(shù)是什么？乘方的“指數(shù)”是什么？若在底數(shù)中有負號，則要根據(jù)指數(shù)的奇偶性決定正負號，即

乘方的指數(shù)為奇數(shù)，負號保留，乘方的指數(shù)為偶數(shù)，負號去掉。

3、積的乘方

（1）積的乘方

當(dāng)事的底數(shù)有兩個或兩個以上數(shù)或字母相乘時，就是枳的乘方。如(2X3)2,(abc)3等等。

(2)積的乘方法則

積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的鼎相乘，用字母表示就是(ab)。=a。b。(n

nnnn

為正整數(shù))。三個或三個以上的積的乘方，也具有這一性質(zhì)。如(abc)=abco

說明：

(1)用積的乘方的法則進行計算時，我們要認清“因式有幾個？分別是什么？”特別是系數(shù)和負號

這樣的特殊因式不能搞錯。

(2)在同底數(shù)暴的乘法、暴的乘方與積的乘方的混合運算中，要學(xué)會靈活正確的分析算式的每一部

分和每一種運算，然后采取合理簡捷的方法進行運算。

4、整式的乘法

(1)整式的乘法有3種：單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘。其中

單項式與單項式的乘法是整式的乘法的基礎(chǔ)，其他兩種乘法都可以轉(zhuǎn)化為這種運算，所以我們要熟

練、牢固地掌握單項式乘以單項式的運算法則。

(2)單項式與單項式相乘的運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘的

積作為積的因式，其余的字母連同它的指數(shù)不變，也作為積的因式

(3)單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，用單項式乘以多項式的每一項，再把

所得的積相加，用字母表示為

b,(p+q)=bp+bq或(p+q)?b=bp+bq

(4)多項式與多項式相乘的運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項去乘以另一

個多項式的每一項，再把所得的積相加。用字母表示為

(a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn

說明：

(1)整式的乘法包括單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式的乘法三種。其中單項式

與單項式的乘法是整式的乘法的基礎(chǔ)，其他兩種乘法都可以轉(zhuǎn)化為這種運算，所以我們要熟練、牢

固地掌握單項式乘以單項式的運算法則

(2)在學(xué)習(xí)多項式與多項式的乘法時，要熟練地掌握公式：

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

這可以為以后學(xué)習(xí)乘法公式打下良好的基礎(chǔ)

5、同底數(shù)基的除法

(1)同底數(shù)幕的除法法則

同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減

(m、n是正整數(shù)且m>n,aXO)

(2)規(guī)定任何不等于零的數(shù)的零次哥為1,即a°=l(aWO)

說明：

(1)始終抓住法則中的二個要素：判定同底，指數(shù)相減，并注意過程和運算結(jié)果的規(guī)范表示

6、單項式除以單項式

(1)一般地，單項式除以單項式有如下法則：

兩個單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)基分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為商的一個因式

說明：

(1)計算的時候分三步：①系數(shù)相除②同底數(shù)幕相除③只在被除式里的塞不變

7、多項式除以單項式

(1)多項式除以單項式有如下法則：

多項式除以單項式，先把多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加

方法引導(dǎo)

1、寨的運算

例1下列計算錯誤的是()

(A)a2?a4=a8(B)2a34-a=2a2(C)(-a3)2=a6(0包一】產(chǎn)二二

a-

【搭配練習(xí)】

在下列計算中，正確的是()

A.(ab2)3=ab6B.(3xy)3=9x3y3C.(~2a2)2=-4a4D.(-2)

例2計算x2y3+(xy)2的結(jié)果是()

A.xyB.xC.yD.xy2

【搭配練習(xí)】

計算：(-2y5)2-i-(2y3)

例3若小3二］,則a等于()

A.l,0；B.l,3；C.l,-1；D.l,-1,3.

【搭配練習(xí)】

若(2r+l)°=l,則()

AYE2——B.xW——C.xW——D/W—

2222

例4計算：

(l)(a+2b)(3a-7b)；

(2)(16x2y3z+8x3y2z)4-8x2y2

計算

21

I(-2ax)2?(―-x4y3z3)4-(―-a5xy2)

2、a,f2+2anl)-r(―^a11-1)

2、巧用箱的運算簡化計算

例5

(1)計算：(―3嚴1.(3,嚴2。

1()3

(2)已知3X9mx27m=321,求m的值。

(3)已知X?n=4,求(3x3n)2—4(x2)2n的值。

【搭配練習(xí)】

1、已知：39*27"'=36,求m.

2、若0=5,求(301-4(9"的值.

3、己知4'=2*T,求x的值。

例題講解

(-)題型分類全析

1、整式乘除類型題

例1：下列計算正確的是()

(A)(-x)?(-X)?(-xj=(-X)'=_/(B)_小(7)2工2=―/.￡./=―/

(C)(-x)2.(-%)3-(-x)4=x9(D)(-x)-(-x)3-(-x5)x=-x10

【搭配練習(xí)】

1、計算：(—x)~?(—X)'+2x'(―x)4—(―X),x4-

2、計算:一(打位力3(一67=------------

3、下列計算中正確的是()

(A)xn-2-i-xnl=x2(B)(xy)5-T-xy3=(xy)2

,04284n2n3n3n2

(C)x-F(X4-X)=X(D)(x4-x)?x=x*

例2：計算：(一1.2xIO?1x(5x10邛x(2x104)2=.

【搭配練習(xí)】

計算(4x1071.(2x10歲

2、求值的題型

例3若2x+5y—3=0,求2v的值

【搭配練習(xí)】

1、xn=5,yn=3,則僅丫產(chǎn)=,若2x=m,2y=n,則8"丫=.

2、已知。2〃=3,/'"=5,求/"9，〃的值。

(二)思維重點突破

例4一個長方形的長增加4cm,寬減少1cm,面積保持不變；長減少2cm,寬增加1cm,面

積仍保持不變。求這個長方形的面積

【搭配練習(xí)】

1、求不等式儀+16）3+4）＞a+12尸的解集

2、解方程3（x+2）?+（2x—I）2—7（x+3）（x-3）=28

3、四個連續(xù)自然數(shù)中，已知兩個大數(shù)的積與其余兩個數(shù)的積的差等于58,求這四個數(shù)的和

例5.比較25⑻，64120,81"的大小

【搭配練習(xí)】

I、比較a—??,b=322,c=4"的大小

2、比較29、4182的大小

課后作業(yè)

A類作業(yè)：

一、填空題

1、IO3X1O5=；(a-b)3.(a-b)5=.

2、-(a3)4=.若/m=2,貝Ijx9m=.

3、a6+a2=,(—a)5+(-a).=.

4、若A=3x—2,B=l-2x,C=-5x,則A?B+A?C=.

二、選擇題

1、下列各式中，①②丁?X3=2X6,③/?/=/,④/+/="2,⑤

（一。）4?（一/）=/.正確的式子的個數(shù)是（）

A.1個；B.2個；C.3個;D.4個.

2、計算（-3a?）2的結(jié)果是（）

A.3a4B.-3a4C.9a4D.-9a4

3、下列計算正確的是（）

A.(—y)74-(—y)4=yJ；B.(x+y)5+(x+y)=x4+y4：

C.(a-1)6+(a-1)2=(a-1)3；D.—x5-r(—x3)=x2.

4、下列說法完整且正確的是（）

A.同底數(shù)幕相乘，指數(shù)相加；

B.幕的乘方，等于指數(shù)相乘:

c.積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的寢相乘;

D.單項式乘以單項式，等于系數(shù)相乘，同底數(shù)塞相乘

5、下列計算正確的是()

A.(2x-5)(3x-7)=6X2-29X+35

B.(3x+7)(IOx-8)=30X2+36X+56

C.(—3x+—)(--x)=3x2+—x+-

2326

D.(I—x)(x+1)+(x+2)(x—2)=2x2—3

三、計算題

(1)x2,x3+(x3)2(2)[-(x3y2n)3]2

⑶(町)4+(冷，)2(4)(-ab21-i-(-ah2)2；

(5)-5a(a+3)-a(3a-13)(6)—2a2(—ab+b2)-5ab(a2—1)

2

(7)(x—2y)(x+3y)(8)(x—I)(x2—x+J)

B類作業(yè)：

一、選擇題

1、若2,川二16,則x等于()

A.7；B.4；C.3；D.2.

2、計算(-0.25)2010X4?⑴。的結(jié)果是()

A.-1B.1C.0.25D.44020

3、下列各式計算結(jié)果不正確的是()

A.ab(ab)2=a3b3；B.a3b2-r2ab=-a2b；

2

C.(2ab2)3=8a3b6；D.a34-a5*a3=a2.

4、i|算：(xD"-36xn-()

A.36xnB.36xn3C.36xn2*nD.36x2，B

5、若x(3x—4)+2x(x+7)=5x(x—7)+90,則x等于()

11

A.-2B.2C.--D.一

22

二、解答題

1、計算

(1)in3?nr'm74-m2?m6(2)4-子面了；

2ii

(3)(-Q)7+(-Q)4X(-〃)3；(4)(-)lWx(1-)*00X(-\2009義423°

324

(5)(2a2-1)(a-4)一(a2+3)(2a-5)

2、(一題多變)已知am=5,an=3,求a?"1，3n的值.

(1)一變：已知am=5,a2m*n=75,求a\

(2)二變：已知am=5,bm=2,求(a2b3)m.

3.已知32m=5,3"=10,求(1)9叱〃；(2)922”.

C類作業(yè)：

一、填空題

I、若a2n=3,則(2a3n)2=___.

2、計算：X9-rX5?X5=,/+(/+工3)=.

二、選擇題

1、若3、=5,3、=4,則32=等于()

?5

A.—；B.6；C.21；D.2().

4

2、對于非零實數(shù)〃7,下列式子運算正確的是()

A.