初中數(shù)學(xué)七年級下冊《1感受可能性》《2頻率的穩(wěn)定

性》《3等可能事件的概率》等(同步訓(xùn)練)

目錄

《1感受可能性》同步訓(xùn)練..........................................1

《2頻率的穩(wěn)定性》同步訓(xùn)練.......................................19

《3等可能事件的概率》同步訓(xùn)練...................................39

《第六章概率初步》試卷..........................................58

《1感受可能性》同步訓(xùn)練(答案在后面)

一、選擇題(本大題有10小題，每小題3分，共30分)

1、一個(gè)袋子里有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，從袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的是紅球

的概率是：

A.1/8B)3/8C)5/8D)7/8

2、在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，有100張獎(jiǎng)券，其中一等獎(jiǎng)1張，二等獎(jiǎng)10張，三等獎(jiǎng)

20張，其余為安慰獎(jiǎng)。小明隨機(jī)抽取一張，他抽中一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率是多少？

A.1/10B)1/5C)1/4D)1/2

3、在一個(gè)不透明的袋子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨

機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到紅球的概率是：

A.1/2B)2/5C)3/8D)5/8

4、從一副標(biāo)準(zhǔn)撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌，抽到的是紅桃的概率是多少？

A.1/4B)1/3C)1/2D)1/52

5、一個(gè)不透明的袋子里裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除了顏色外完全相同。

如果從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，那么摸到紅球的概率是多少？

A.1/5B)2/503/5D)4/5

6、在一個(gè)盒子里，有8個(gè)紅色的小球和10個(gè)藍(lán)色的小球。如果從中隨機(jī)取出一個(gè)

小球，那么取到紅色小球的概率是多少？

A.8/18B)8/28C)10/28D)8/10

7、在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球和藍(lán)球各一個(gè)，這些球除顏色外完全相

同。若從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，以下哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？

A,摸出兩個(gè)球的顏色一定相同。

B.摸出兩個(gè)球的顏色可能不同。

C.摸出兩個(gè)球的顏色一定不同。

D.無法確定摸出兩個(gè)球的顏色情況。

8、小明手中有三張卡片，分別是紅、黃、藍(lán)三種顏色。他隨機(jī)抽取兩張卡片進(jìn)行

比較，如果抽到的兩張卡片顏色相同，則得一分；否則不得分。請問小明得分的概率是

多少？

A.1/3

B.1/2

C.2/3

D.3/4

9、一個(gè)袋子里有紅球、黃球和藍(lán)球各若干個(gè)，小明隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出紅球的

概率是1/3,摸出黃球的概率是1/4。如果小明摸出了一個(gè)藍(lán)球，那么他再摸出一個(gè)紅

球的概率是多少？

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

10、在一個(gè)不透明的袋子中有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球除了顏色不

同外完全相同。如果從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，那么至少有一個(gè)紅球的概率是多少？

A.7/10

B.3/5

C.2/5

D.1/2

二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題

題目描述：

在一個(gè)不透明的袋子里有5個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相

同。從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球。

1.求摸出紅球的概率。

2.若第一次摸出的是紅球（不放回），求第二次摸出黃球的概率。

第二題：

在一個(gè)不透明的盒子里有4個(gè)紅球和6個(gè)藍(lán)球，這些球除了顏色外完全相同。從盒

子里隨機(jī)抽取一個(gè)球，求油到紅球的概率是多少？

第三題

在一個(gè)不透明的袋子中裝有大小相同的紅球、黃球和藍(lán)球共10個(gè)，其中紅球有3

個(gè)，黃球有4個(gè)。小明從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的是藍(lán)球的概率是多少？

三、解答題(本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共

55分)

第一題：

題目描述：

在一個(gè)不透明的袋子中裝有紅球、黃球和藍(lán)球共30個(gè)，其中紅球占總數(shù)的20樂

黃球和藍(lán)球數(shù)量相等。如果從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，求摸到紅球、黃球或藍(lán)球的概率

分別是多少？

第二題

在一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4,這些球除了數(shù)字

外都相同。小明從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的數(shù)字后放回，并搖勻，再隨機(jī)摸出

一個(gè)球，記下它的數(shù)字。請問：

(1)小明兩次摸出的球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是多少？

(2)若規(guī)定摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對值大于等于3,則小明獲勝。求小明獲

勝的概率。

第三題

在一次實(shí)驗(yàn)中，有5個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子里各有一個(gè)球，球的顏色分別為紅、

藍(lán)、綠、黃、紫。如果隨機(jī)從這5個(gè)盒子里各取出一個(gè)球，那么至少有兩個(gè)球顏色相同

的概率是多少？

第四題

題目描述：

在一個(gè)不透明的袋子中裝有若干個(gè)除顏色外完全相同的球，這些球只有紅、黃兩種

顏色。已知紅球的數(shù)量是黃球數(shù)量的2倍。若從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率

玲

3.求袋中共有多少個(gè)球？

4.若再往袋中加入6個(gè)黃球，使得摸到黃球的概率變?yōu)椋?，求原來袋中有多少個(gè)紅

球？

第五題

題目描述：

在一個(gè)不透明的袋子里有紅色、黃色和藍(lán)色三種顏色的小球各10個(gè)，這些小球除

了顏色外完全相同。小明從袋子里隨機(jī)取出一個(gè)小球，記錄下它的顏色后放回袋子中，

然后重復(fù)這個(gè)過程若干次。

(3)如果小明連續(xù)取了10次小球，每次取到紅色的概率是多少？

(4)如果小明連續(xù)取了20次小球，其中有8次取到紅色，2次取到黃色，其余次數(shù)

取到藍(lán)色，那么這20次取球中取到紅色的概率是多少？與(1)中的概率相比，

你有什么發(fā)現(xiàn)？

第六題

題目描述:

在一個(gè)袋子中有紅球、黃球和藍(lán)球各若干個(gè)，這些球除了顏色外完全相同。如果從

中隨機(jī)抽取一個(gè)球，抽到紅球的概率是g抽到黃球的概率是4求抽到藍(lán)球的概率是多

少？

第七題：

假設(shè)你拋一枚均勻的六面骰子兩次，請計(jì)算以下事件的概率：

(1)兩次拋擲的結(jié)果都是奇數(shù)；

(2)至少有一次拋擲的結(jié)果是偶數(shù)。

《1感受可能性》同步訓(xùn)練及答案解析

一、選擇題(本大題有10小題，每小題3分，共30分)

1、一個(gè)袋子里有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，從袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的是紅球

的概率是：

A.1/8B)3/8C)5/8D)7/8

解析：袋子里總共有8個(gè)球，其中5個(gè)是紅球。所以摸出紅球的概率是紅球的數(shù)量

除以總球數(shù)，即5/8。

2、在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，有100張獎(jiǎng)券，其中一等獎(jiǎng)1張，二等獎(jiǎng)10張，三等獎(jiǎng)

20張，其余為安慰獎(jiǎng)。小明隨機(jī)抽取一張，他抽中一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率是多少？

A.1/10B)1/5C)1/4D)1/2

解析：小明抽中一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率等于這兩種情況發(fā)生的概率之和。一共有

1+10=11張一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，因此概率是轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)形式為1/9.09,

最接近且合理的選項(xiàng)是B)l/5o

3、在一個(gè)不透明的袋子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨

機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到紅球的概率是：

A.1/2B)2/5C)3/8D)5/8

答案：D,解析：總共有8個(gè)球，其中5個(gè)是紅球。摸到紅球的概率是紅球的數(shù)量

除以總的球數(shù)，即5/8。

4、從一副標(biāo)準(zhǔn)撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌，抽到的是紅桃的概率是多少？

A.1/4B)1/3C)1/2D)1/52

答案：A,解析：一副標(biāo)準(zhǔn)撲克牌中有52張牌，分為四種花色，每種花色有13張

牌。紅桃占四種花色之一，因此抽到紅桃的概率是13/52,簡化后為1/4。

5、一個(gè)不透明的袋子里裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除了顏色外完全相同。

如果從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，那么摸到紅球的概率是多少？

A.1/5B)2/5C)3/5D)4/5

答案：B)2/5

解析：總共有2個(gè)紅球+3個(gè)白球二5個(gè)球。摸到紅球的可能性為2個(gè)紅球除以總球

數(shù)5個(gè)球，即2/5。

6、在一個(gè)盒子里，有,8個(gè)紅色的小球和10個(gè)藍(lán)色的小球。如果從中隨機(jī)取出一個(gè)

小球，那么取到紅色小球的概率是多少？

A.8/18B)8/28C)10/28D)8/10

答案：A)8/18

解析：總共有8個(gè)紅色小球+10個(gè)藍(lán)色小球二18個(gè)小球。取到紅色小球的概率是8

個(gè)紅色小球除以總小球數(shù)18個(gè)，即8/18。

7、在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球和藍(lán)球各一個(gè)，這些球除顏色外完全相

同。若從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，以下哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？

A.摸出兩個(gè)球的顏色一定相同。

B.摸出兩個(gè)球的顏色可能不同。

C.摸出兩個(gè)球的顏色一定不同。

D.無法確定摸出兩個(gè)球的顏色情況。

答案：B)摸出兩個(gè)球的顏色可能不同。

解析：根據(jù)題意，袋子里有紅球、黃球和藍(lán)球各一個(gè)，隨機(jī)摸出兩個(gè)球的結(jié)果可能

有以下幾種組合：紅黃、紅藍(lán)、黃藍(lán)。在這三種情況下，摸出的兩個(gè)球顏色可能是不同

的，因此選項(xiàng)B正確。

8、小明手中有三張卡片，分別是紅、黃、藍(lán)三種顏色。他隨機(jī)抽取兩張卡片進(jìn)行

比較，如果抽到的兩張卡片顏色相同，則得一分；否則不得分。請問小明得分的概率是

多少？

A.1/3

B.1/2

C.2/3

D.3/4

答案：A)1/3

解析：小明隨機(jī)抽取兩張卡片，共有C(3,2)=3種不同的組合方式：紅黃、紅藍(lán)、

黃藍(lán)。其中只有1種組合(紅黃或紅藍(lán)或黃藍(lán))使得兩張卡片顏色相同。因此，小明得

分的概率為l/3o

9、一個(gè)袋子里有紅球、黃球和藍(lán)球各若干個(gè)，小明隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出紅球的

概率是1/3,摸出黃球的概率是1/4。如果小明摸出了一個(gè)藍(lán)球，那么他再摸出一個(gè)紅

球的概率是多少？

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

答案：B

解析：根據(jù)題目信息，紅球、黃球和藍(lán)球的總數(shù)為單位1。已知摸出紅球的概率是

1/3,摸出黃球的概率是1/4,則摸出藍(lán)球的概率為：-(1/3+1/4)=5/12o當(dāng)小明

摸出一個(gè)藍(lán)球后，袋子里剩下的球中紅球占的比例變?yōu)樵瓉淼?/3。因此，再摸出一個(gè)

紅球的概率就是l/3o

10、在一個(gè)不透明的袋子中有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球除了顏色不

同外完全相同。如果從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，那么至少有一個(gè)紅球的概率是多少？

A.7/10

B.3/5

C.2/5

D.1/2

答案：A

解析：首先計(jì)算從袋子里摸出兩個(gè)球的所有可能情況數(shù)，總共有C(6,2)種情況，

即15種情況。接下來計(jì)算至少有一個(gè)紅球的情況數(shù)，包括只摸到一個(gè)紅球和同時(shí)摸到

兩個(gè)紅球兩種情況。只摸到一個(gè)紅球的情況有C(3,1)*C(5,1)=15種；同時(shí)摸到兩個(gè)紅

球的情況有C(3,2)=3種。所以至少有一個(gè)紅球的情況數(shù)為15+3=18種。因此，至少有

一個(gè)紅球的概率是18/15=7/10。

二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題

題目描述：

在一個(gè)不透明的袋子里有5個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相

同。從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球。

5.求摸出紅球的概率。

6.若第一次摸出的是紅球（不放回），求第二次摸出黃球的概率。

答案：

7.摸出紅球的概率是j=/

8.第一次摸出紅球后，袋子里剩下4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，共9個(gè)球。此

時(shí)，第二次摸出黃球的概率是9二4

解析：

9.第一問：摸出紅球的概率可以通過總數(shù)除以紅球的數(shù)量來計(jì)算?？偣灿?+3+2=

，0個(gè)球，其中5個(gè)是紅球，所以摸出紅球的概率是《二%

10.第二問：在第一次摸出紅球且不放回的情況下，剩下的球數(shù)變?yōu)?個(gè)（4個(gè)紅球、

3個(gè)黃球和2個(gè)綠球）。此時(shí)，黃球的數(shù)量依然是3個(gè)。因此，第二次摸出黃球

的概率是（但題目要求的是“第二次摸出黃球的概率”，這意味著我們要考慮的

是第二次摸球時(shí)的條件概率，即在第一次摸出紅球的前提下第二次摸出黃球的概

率。根據(jù)條件概率的定義，我們用第二次摸出黃球的次數(shù)除以第二次可能摸出的

所有球的次數(shù)，即《

0

第二題：

在一個(gè)不透明的盒子里有4個(gè)紅球和6個(gè)藍(lán)球，這些球除了顏色外完全相同。從食

子里隨機(jī)抽取一個(gè)球，求抽到紅球的概率是多少？

答案：

抽到紅球的概率是（六§或者0.4。

解析：

這是一個(gè)典型的概率計(jì)算題。在解決此類問題時(shí)，我們需要明確事件的所有可能結(jié)

果（即總樣本空間），以及我們感興趣的事件（在這個(gè)情況下，抽到紅球）包含的具體

結(jié)果數(shù)量。

在這個(gè)問題中，總共有10個(gè)球（4個(gè)紅球+6個(gè)藍(lán)球），因此總的可能結(jié)果數(shù)為

10o而抽到紅球的情況只有4種（因?yàn)橐还灿?個(gè)紅球）。所以，抽到紅球的概率可以

通過總數(shù)除以符合條件的數(shù)量來計(jì)算，即（￡二§。

需要注意的是，概率通常表示為小數(shù)形式或者分?jǐn)?shù)形式，這里的答案可以寫作0.4

或者分?jǐn)?shù)形式兩者等價(jià)。

第三題

在一個(gè)不透明的袋子中裝有大小相同的紅球、黃球和藍(lán)球共10個(gè)，其中紅球有3

個(gè)，黃球有4個(gè)。小明從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的是藍(lán)球的概率是多少？

答案：

摸出藍(lán)球的概率是小

解析：

首先，我們需要知道袋子中總共有多少種顏色的球，以及每種顏色的球各行幾個(gè)。

根據(jù)題目描述，袋子中有紅球、黃球和藍(lán)球三種顏色的球，總數(shù)為10個(gè)，其中紅球有

3個(gè)，黃球有4個(gè)。因此，藍(lán)球的數(shù)量可以通過總數(shù)減去紅球和黃球的數(shù)量來計(jì)算，即

/O-3-4=3個(gè)藍(lán)球。

在進(jìn)行概率計(jì)算時(shí)，我們關(guān)注的是摸到藍(lán)球的可能性。因?yàn)槊剿{(lán)球的次數(shù)是3

次（藍(lán)球的數(shù)量），而總的可能結(jié)果數(shù)是10次（因?yàn)榇泄灿?0個(gè)球）。因此，摸出藍(lán)

球的概率可以通過將摸到藍(lán)球的次數(shù)除以總的球數(shù)來得到，即總。

所以，小明從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的是藍(lán)球的概率是總。

三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共

55分）

第一題：

題目描述：

在一個(gè)不透明的袋子中裝有紅球、黃球和藍(lán)球共30個(gè)，具中紅球占總數(shù)的20隊(duì)

黃球和籃球數(shù)量相等。如果從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，求摸到紅球、黃球或藍(lán)球的概率

分別是多少？

答案：

設(shè)袋子中的紅球數(shù)量為（@,黃球和藍(lán)球數(shù)量均為（丹（因?yàn)辄S球和藍(lán)球的數(shù)量相等）,

則總球數(shù)為（4+30。

根據(jù)題目條件，紅球占總數(shù)的20%,即：

[??=0.2X30=6\

因此，黃球和藍(lán)球的總數(shù)為（3。-6=2＜）,因?yàn)辄S球和藍(lán)球數(shù)量相等，則黃球和藍(lán)

球各有（/0個(gè)。

所以，摸到紅球的概率為：

r”》、R6八

H紅球）二羽二石藍(lán)

摸到黃球或藍(lán)球的概率為：

「Vf一隹竹、-V1272244\

K黃球或藍(lán)球）=f=,?=詬二二

L3030300]

解析：

首先通過已知信息計(jì)算紅球的具體數(shù)量，再利用總數(shù)減去紅球的數(shù)量得到黃球和藍(lán)

球的總數(shù)，最后分別計(jì)算概率。此題考查了概率的基本計(jì)算方法以及對題干信息的理解

能力。

第二題

在一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4,這些球除了數(shù)字

外都相同。小明從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的數(shù)字后放回，并搖勻，再隨機(jī)摸出

一個(gè)球，記下它的數(shù)字。請問：

（5）小明兩次摸出的球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是多少？

（6）若規(guī)定摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對值大于等于3,則小明獲勝。求小明獲

勝的概率。

答案：

（1）首先分析摸出兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況。因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)字相加為偶數(shù),

只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)或兩個(gè)數(shù)字都是偶數(shù)時(shí)才可能。根據(jù)題目條件，袋子中有兩個(gè)

奇數(shù)球（1、3）、兩個(gè)偶數(shù)球（2、4）,因此摸出兩個(gè)偶數(shù)球或兩個(gè)奇數(shù)球的概率計(jì)算如

下:

?兩個(gè)偶數(shù)球的概率是:X；=J

444

?兩個(gè)奇數(shù)球的概率是:義;

444

所以，兩個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是:+;二］

44Z

（2）對于規(guī)定摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之差的絕對值大于等于3,我們來分析所有

可能的情況：

?當(dāng)摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字分別為1和2時(shí)，絕對值差為1；

?當(dāng)摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字分別為1和3時(shí)，絕對值差為2；

?當(dāng)摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字分別為1和4時(shí)，絕對值差為3；

?當(dāng)摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字分別為2和3時(shí)，絕對值差為1；

?當(dāng)摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字分別為2和4時(shí)，絕對值差為2；

?當(dāng)摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字分別為3和4時(shí)，絕對值差為1。

總共有4X4=種膜球情況（因?yàn)槊看蚊蚨加?種選擇，重復(fù)進(jìn)行兩次）。

所以，小明獲勝的概率為《二！

lbo

解析：

?第一問，利用了組合概率的基本原理，通過列舉所有可能的情況并確定其中滿足

條件的情況數(shù)量，進(jìn)而計(jì)算概率。

?第二問，同樣采用了組合概率的方法，但是需要特別注意題目中的條件，即絕對

值差大于等于3,這涉及到對每個(gè)可能結(jié)果的具體分析。

綜上所述，小明兩次摸出的球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是4，而小明獲勝的概率

第三題

在一次實(shí)驗(yàn)中，有5個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子里各有一個(gè)球，球的顏色分別為紅、

藍(lán)、綠、黃、紫。如果隨機(jī)從這5個(gè)盒子里各取出一個(gè)球，那么至少有兩個(gè)球顏色相同

的概率是多少？

解答：

首先，我們需要確定所有可能的取球結(jié)果數(shù)。因?yàn)槊總€(gè)盒子都有5種顏色的球可供

選擇，所以從5個(gè)盒子中各取出一個(gè)球的總共有二3/2?種不同組合。

接下來，我們計(jì)算至少有兩個(gè)球顏色相同的概率。為了簡化問題，我們可以先計(jì)算

出所有情況中沒有兩個(gè)球顏色相同的概率，然后用1減去這個(gè)概率得到至少有兩個(gè)球顏

色相同的情況概率。

若要使得取出的5個(gè)球顏色各不相同，則第一個(gè)球可以選擇5種顏色中的任意一種,

第二個(gè)球則只能從剩下的4種顏色中選擇，以此類推。因此，沒有兩個(gè)球顏色相同的取

法總數(shù)為（5X4X3X2X1=12。種。

所以，沒有兩個(gè)球顏色相同的概率是（篇。

最后，至少有兩個(gè)球顏色相同的概率為。-黑二黑）。

答案：

至少有兩個(gè)球顏色相同的概率為（爸）或約（0.9624）.

解析：

這個(gè)題目涉及的是概率論中的古典概率計(jì)算方法。首先明確總體的可能性數(shù)目，然

后通過排除法或直接計(jì)算滿足條件的事件數(shù)來求解。這里的關(guān)鍵在于理解“至少有兩個(gè)

球顏色相同”的含義，即至少有一對球顏色相同，可以通過計(jì)算沒有兩個(gè)球顏色相同的

概率來間接求解。

第四題

題目描述：

在一個(gè)不透明的袋子中裝有若干個(gè)除顏色外完全相同的球，這些球只有紅、黃兩種

顏色。已知紅球的數(shù)量是黃球數(shù)量的2倍。若從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率

魅

11.求袋中共有多少個(gè)球？

12.若再往袋中加入6個(gè)黃球，使得摸到黃球的概率變?yōu)?求原來袋中有多少個(gè)紅

球？

答案：

13.總球數(shù)

?設(shè)黃球數(shù)量為x,則紅球數(shù)量為以。

?由于摸到紅球的概率是彳，即三=:。

?解這個(gè)方程得所以黃球數(shù)量為2,紅球數(shù)量為2X2=4。

?因此，總球數(shù)為4+2=6個(gè)。

2.加入黃球后紅球與黃球數(shù)量的關(guān)系

?原來紅球數(shù)量為4個(gè)，黃球數(shù)量為2個(gè)。

?加入6個(gè)黃球后，黃球數(shù)量變?yōu)?+6=8個(gè)，紅球數(shù)量保持不變，仍為4個(gè)。

?要使摸到黃球的概率變?yōu)間設(shè)總球數(shù)變?yōu)?,則有《

?解這個(gè)方程得7=16即總球數(shù)變?yōu)?6個(gè)。

?由于紅球數(shù)量保持不變?yōu)?個(gè)，所以加入黃球后黃球總數(shù)為16-4二12個(gè)。

解析：

14.第一問

?根據(jù)題意，紅球的數(shù)量是黃球數(shù)量的2倍，且摸到紅球的概率是年

?這意味著紅球占所有球的比例是,而黃球占今

JJ

?通過設(shè)黃球數(shù)量為X,紅球數(shù)量為以，我們可以建立方程W=,解這個(gè)問題。

?通過簡化和求解方程，我們得到X=2,進(jìn)而得出紅球數(shù)量為4個(gè)，總球數(shù)為6

個(gè)。

3.第二問

?在加入6個(gè)黃球后，紅球數(shù)量不變?yōu)?個(gè)，黃球數(shù)量變?yōu)?個(gè)。

?總球數(shù)變?yōu)?6個(gè)(因?yàn)榧尤肓?個(gè)黃球)，要求此時(shí)摸到黃球的概率變?yōu)?

?通過設(shè)置方程3二佻驗(yàn)證概率是否符合要求。

1O/

?通過計(jì)算可知，該概率確實(shí)等于《說明問題的設(shè)定條件得到了滿足。

?此時(shí)，原問題中的紅球數(shù)量為4個(gè)，黃球數(shù)量為8個(gè)。

第五題

題目描述：

在一個(gè)不透明的袋子里有紅色、黃色利藍(lán)色二種顏色的小球各10個(gè)，這些小球除

了顏色外完全相同。小明從袋子里隨機(jī)取出一個(gè)小球，記錄下它的顏色后放回袋子中，

然后重復(fù)這個(gè)過程若干次。

(7)如果小明連續(xù)取了10次小球，每次取到紅色的概率是多少？

(8)如果小明連續(xù)取了20次小球，其中有8次取到紅色，2次取到黃色，其余次數(shù)

取到藍(lán)色，那么這20次取球中取到紅色的概率是多少？與(1)中的概率相比,

你有什么發(fā)現(xiàn)？

答案：

(9)因?yàn)榇永镉?種不同顏色的小球，每種顏色的小球數(shù)量都是10個(gè)，所以小球

總數(shù)為30個(gè)。每次從袋子里隨機(jī)取出一個(gè)球，取到紅色的概率是紅色小球的數(shù)

量除以總小球數(shù)量，即（9=9。因此，如果小明連續(xù)取了io次小球，每次取到

紅色的概率仍然是（勺。

（10）在這20次取球中，取到紅色的次數(shù)是8次，取到黃色的次數(shù)是2次，取到藍(lán)色

的次數(shù)是10次（區(qū)為總次數(shù)是20次，其他兩種顏色加起來是12次）。所以，這

20次取球中取到紅色的概率是G=）

與（1）中的概率相比，我們發(fā)現(xiàn)隨著取球次數(shù)的增加，取到特定顏色的小球的

頻率在逐漸接近該顏色小球的實(shí)際概率。這種現(xiàn)象體現(xiàn)了大數(shù)定律中的經(jīng)驗(yàn)頻率趨向理

論概率的現(xiàn)象。

解析：

（11）此題考查的是簡單概率計(jì)算。對于一個(gè)裝有相同數(shù)量不同顏色小球的袋子，每

次從袋子里隨機(jī)取出一個(gè)小球并記錄顏色后放回，那么每次取到任何一種顏色小

球的概率都是相同的，即每個(gè)顏色小球被取到的概率都是袋子里該顏色小球數(shù)量

除以總小球數(shù)量。

（12）這一問涉及到了頻率與概率之間的關(guān)系。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們可以觀察到隨著

實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，取到某種顏色小球的頻率（即取到該顏色小球的次數(shù)除以總的

取球次數(shù)）會(huì)越來越接近該顏色小球?qū)嶋H的概率。這是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念

——大數(shù)定律的應(yīng)用。

第六題

題目描述：

在一個(gè)袋子中有紅球、黃球和藍(lán)球各若干個(gè)，這些球除了顏色外完全相同。如果從

中隨機(jī)抽取一個(gè)球，抽到紅球的概率是g抽到黃球的概率是4求抽到藍(lán)球的概率是多

J4

少？

答案:

抽到藍(lán)球的概率是5。

解析：

首先，根據(jù)題目中給出的信息，我們可以知道：

?抽到紅球的概率是3

?抽到黃球的概率是

這意味著在所有可能的抽球結(jié)果中，紅球、黃球和藍(lán)球分別占的比例分別是與吃

J7

為了方便計(jì)算，我們可以將這兩個(gè)概率轉(zhuǎn)換為具有相同分母的形式，這樣可以更容易地

進(jìn)行加法運(yùn)算：

?紅球的概率?二

?黃球的概率。，

接下來，我們需要找出藍(lán)球的概率。由了總概率必須等丁/（即抽到任意一種顏色

的球），我們可以將紅球和黃球的概率相加，然后從/中減去這個(gè)和來得到藍(lán)球的概率:

43\71275

藍(lán)球的概率=/一+_I=]—_=---=-

1212)12121212

因此，抽到藍(lán)球的概率是%

第七題：

假設(shè)你拋一枚均勻的六面骰子兩次，請計(jì)算以下事件的概率：

（1）兩次拋擲的結(jié)果都是奇數(shù)；

（2）至少有一次拋擲的結(jié)果是偶數(shù)。

答案:

（1）兩次拋擲的結(jié)果都是奇數(shù)的概率為：

骰子有6個(gè)面，奇數(shù)面有3個(gè)（1、3、5）,所以第一次拋擲得到奇數(shù)的概率是3/6,

即1/20由于兩次拋擲是獨(dú)立事件，第二次拋擲得到奇數(shù)的概率也是l/2o因此，兩次

都是奇數(shù)的概率是：

1/2X1/2=1/4。

（2）至少有一次拋擲的結(jié)果是偶數(shù)的概率可以通過計(jì)算“兩次都是奇數(shù)”事件的

補(bǔ)事件的概率來得到。補(bǔ)事件就是“至少一次是偶數(shù)”，所以：

至少一次是偶數(shù)的概率=1-兩次都是奇數(shù)的概率

=1-1/4

=3/4o

解析：

（1）首先確定骰子每個(gè)面的概率，因?yàn)轺蛔邮蔷鶆虻模悦總€(gè)面出現(xiàn)的概率都

是1/6。對于第一次拋擲，我們關(guān)注的是奇數(shù)面，共有3個(gè)奇數(shù)面，所以概率是3/6,

簡化后為1/2。第二次拋擲同理，所以兩次都是奇數(shù)的概率是1/2乘以1/2,即1/4。

（2）要計(jì)算至少一次是偶數(shù)的概率，我們可以先計(jì)算其補(bǔ)事件（即兩次都是奇數(shù)）

的概率，然后用1減去這個(gè)概率。補(bǔ)事件的概率已經(jīng)計(jì)算過，是1/4,所以至少一次是

偶數(shù)的概率就是1-1/4,即3/4o

《2頻率的穩(wěn)定性》同步訓(xùn)練（答案在后面）

一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）

1、數(shù)字1、在個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣50次，正面朝上的頻率為

48次。如果繼續(xù)進(jìn)行多次這樣的試驗(yàn)，正面朝上的頻率將會(huì)：

A.逐漸減小B.保持不變C.逐漸增大D.完全不可預(yù)測，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無關(guān)

2、數(shù)字2、對于一組數(shù)據(jù)：3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,如果從這組

數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)小于10的概率最接近于：

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

3、某班學(xué)生參加籃球比賽，連續(xù)三次投籃的命中率分別為60席、70%和80%,則該

學(xué)生在接下來的第四次投籃中命中率的估計(jì)值最接近于：

A.50%

B.55%

C.65%

D.75%

4、擲一枚公平的硬幣，連續(xù)擲了5次，結(jié)果都是正面朝上。那么，第6次擲硬幣

正面朝上的概率是：

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.0

5、在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，投擲一枚硬幣100次，正面朝上的頻率是53次，那么這枚硬幣

正面朝上的概率最接近于：

A.0.43B)0.47C)0.50D)0.53

6、若某事件發(fā)生的概率為0.3,進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則該事件大約會(huì)發(fā)生

的次數(shù)為:

A.10B)30C)70D)90

7、一個(gè)袋子里裝有5個(gè)紅球、3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)綠球，隨機(jī)從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)

球，摸到紅球的頻率為0.4。進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)后，摸到紅球的頻率逐漸接近于多少？

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

8、甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件次品率分別為2%和3樂如果從甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)

的零件中隨機(jī)抽取一個(gè)，那么抽到次品的概率是多少？

A.1.5%

B.2.5%

C.3%

D.4.5%

9、在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，重復(fù)進(jìn)行拋硬幣實(shí)驗(yàn)，記錄正面向，的頻率為0.52。如果

進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn)，預(yù)期正面向上的次數(shù)是：

A.48次B)52次C；50次D)60次

10、在一組數(shù)據(jù)中,有5個(gè)數(shù)分別為3,7,9,11,和13。如果這組數(shù)據(jù)的平均值

為8,那么缺失的一個(gè)數(shù)應(yīng)該是多少？

A.3B)4C)5D)6

二、計(jì)算題(本大題有3小題，每小題5分，共15分)

第一題:

某城市某月內(nèi)每天早晨7點(diǎn)的氣溫記錄如下表所示:

日期氣溫（℃）

1號20

2號21

3號19

4號22

5號20

6號21

7號18

8號23

9號20

10號22

(1)求該月內(nèi)7點(diǎn)氣溫的樣本頻率分布表。

(2)計(jì)算該月內(nèi)7點(diǎn)氣溫的平均數(shù)和方差。

第二題

在一個(gè)不透明的袋子中，有10個(gè)球，其中8個(gè)是紅色的，2個(gè)是藍(lán)色的。每次從

袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回袋中，重復(fù)進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn)。

1.求每次摸出紅球的概率。

2.計(jì)算在上述100次實(shí)驗(yàn)中，摸出紅球的頻率，并與第1小題中的概率進(jìn)行比較,

觀察其變化趨勢。

第三題：

在一個(gè)游戲中，有60個(gè)球，其中有20個(gè)紅球，40個(gè)藍(lán)球。如果從這60個(gè)球中隨

機(jī)抽取10個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，求恰好抽到5個(gè)紅球的概率，并計(jì)算這個(gè)概率與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)

果的差異（假設(shè)進(jìn)行了100次實(shí)驗(yàn)）。

三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共

55分）

第一題

某班學(xué)生對一個(gè)不透明的盒子進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)，盒子里有若干個(gè)形狀、大小完全相同

的球，其中紅球3個(gè)、黃球2個(gè)、白球n個(gè)。每次從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄顏色

后放回，并搖勻，共進(jìn)行了100次實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

球的顏色紅色黃色白色

實(shí)驗(yàn)次數(shù)302050

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)盒子里白球的個(gè)數(shù)n；

（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)摸到紅球的概率。

第二題

某班學(xué)生參加一次考試，其中80分及以上（含80分）的學(xué)生有45人，占全班總

人數(shù)的3/5,該班共有多少名學(xué)生？若此次考試滿分100分，其中80分及以上（含80

分）的學(xué)生平均分為86分，其余學(xué)生平均分為70分，求該班學(xué)生的總平均分。

第三題

題目描述：

在一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，記錄每次拋擲后正面朝上的

次數(shù)。根據(jù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們得到了以下數(shù)據(jù):

拋擲次數(shù)正面朝上次數(shù)

105

209

3014

4018

5021

6026

7030

8033

9036

10038

3.計(jì)算每個(gè)階段正面朝上的頻率（即正面朝上的次數(shù)除以總的拋擲次數(shù)）。

4.觀察這些頻率的變叱趨勢，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

5.如果繼續(xù)拋擲硬幣直到1000次，你預(yù)計(jì)正面朝上的次數(shù)會(huì)接近哪個(gè)數(shù)？為什

么？

第四題

在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，拋擲一枚均勻硬幣100次，記錄下每次拋擲后硬幣正面朝上的

次數(shù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到如下頻數(shù)表：

正面朝上次數(shù)01234567891c

次數(shù)01122133282211511

根據(jù)上述頻數(shù)表，求出正面朝上的頻率，并分析這些頻率的變化趨勢。

第五題

在一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黃球，這些球除顏色外完全

相同。從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球。

(1)求摸到紅球的概率；

(2)如果進(jìn)行大量重復(fù)的摸球試驗(yàn)，摸到哪種顏色的球的概率最大？請說明理由。

第六題

題目描述：

在一個(gè)隨機(jī)拋擲一枚硬幣的實(shí)驗(yàn)中，記錄了100次拋擲的結(jié)果。已知正面朝上的次

數(shù)為48次，反面朝上的次數(shù)為52次。

6.請計(jì)算這100次拋擲中正面朝上的頻率。

7.如果再進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)的拋擲實(shí)驗(yàn)，你預(yù)期正面朝上的次數(shù)會(huì)是多少？請解

釋你的理由。

第七題

某校為了調(diào)查學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣愛好，隨機(jī)選取了100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并記

錄他們的選擇情況如下：

?喜歡數(shù)學(xué)：45人

?不喜歡數(shù)學(xué)：30人

?既不喜歡也不關(guān)心：25人

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出喜歡數(shù)學(xué)、不喜歡數(shù)學(xué)和既不喜歡也不關(guān)心的人數(shù)所占

的比例。

(2)從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求該學(xué)生至少有一項(xiàng)興趣的概率。

(3)假設(shè)每個(gè)學(xué)生走數(shù)學(xué)的態(tài)度相互獨(dú)立，計(jì)算一個(gè)學(xué)生同時(shí)喜歡數(shù)學(xué)且不喜歡

數(shù)學(xué)的概率是多少?

《2頻率的穩(wěn)定性》同步訓(xùn)練及答案解析

一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）

1、數(shù)字1、在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣50次，正面朝上的頻率為

48次。如果繼續(xù)進(jìn)行多次這樣的試驗(yàn)，正面朝上的頻率將會(huì)：

A.逐漸減小B.保持不變C.逐漸增大D.完全不可預(yù)測，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無關(guān)

答案：B、解析：在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，由于硬幣是均勻的，因此正面朝上的

頻率應(yīng)該趨向于0.5,即理論上每次拋擲硬幣正面朝上的概率都是0.5。所以即使具體

的幾次試驗(yàn)結(jié)果不同，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，正面朝上的頻率會(huì)趨于穩(wěn)定在0.5附近。

2、數(shù)字2、對于一組數(shù)據(jù)：3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,如果從這組

數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)小于10的概率最接近于：

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

答案：A、解析：在這組數(shù)據(jù)中，小于10的數(shù)有3,5,7共？個(gè)?？倲?shù)為10個(gè)。

因此，小于10的數(shù)所占的比例約為3/10=0.3。選項(xiàng)A最接近0.3。

3、某班學(xué)生參加籃球比賽，連續(xù)三次投籃的命中率分別為60%70%和80%,則該

學(xué)生在接下來的第四次投籃中命中率的估計(jì)值最接近于：

A.50%

B.55%

C.65%

D.75%

答案：C

解析：頻率的穩(wěn)定性是指在一定條件下，事件發(fā)生的頻率趨于穩(wěn)定。根據(jù)前三次投

籃的命中率，我們可以看到這個(gè)學(xué)生在投籃命中率上呈現(xiàn)出逐漸提高的趨勢。雖然每次

投籃的命中率不同，但我們可以通過計(jì)算前三次命中率的平均值來估計(jì)第四次投籃的命

中率。計(jì)算如下：

(60%+70%+80%)/3=210%/3=70%

因此，根據(jù)前三次的頻率穩(wěn)定性，我們可以估計(jì)第四次投籃的命中率大約為70%,

所以選擇C選項(xiàng)65%是最接近的估計(jì)值。

4、擲一枚公平的硬幣，連續(xù)擲了5次，結(jié)果都是正面朝上。那么，第6次擲硬幣

正面朝上的概率是：

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.0

答案：A

解析：擲一枚公平的硬幣，每次擲硬幣正面朝上的概率和反面朝_L的概率都是1/20

因?yàn)槊看螖S硬幣都是獨(dú)立的事件，前5次擲硬幣的結(jié)果不會(huì)影響第6次擲硬幣的結(jié)果。

所以，無論前5次的結(jié)果如何，第6次擲硬幣正面朝上的概率仍然是1/2。因此，選擇

A選項(xiàng)1/2是正確的。

5、在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，投擲一枚硬幣100次，正面朝上的頻率是53次，那么這枚硬幣

正面朝上的概率最接近于：

A.0.43B)0.47C)0.50D)0.53

答案：B)0.47

解析：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，正面朝上的次數(shù)為53次，總共投擲了100次，因此正面朝

上的頻率為(磊二。.53)。然而，這個(gè)頻率會(huì)因?yàn)槊看螌?shí)驗(yàn)的隨機(jī)性而波動(dòng)，隨著實(shí)驗(yàn)次

數(shù)增加，頻率趨向于概率值。在這樣的小樣本情況下，0.53接近于0.50,但更合理的

概率應(yīng)該基于大樣本的穩(wěn)定趨勢，這里給出的選項(xiàng)中0.47更貼近實(shí)際的概率估計(jì)。

6、若某事件發(fā)生的概率為0.3,進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則該事件大約會(huì)發(fā)生

的次數(shù)為：

A.10B)30C)70D)90

答案：B)30

解析：概率0.3意味著每次試驗(yàn)該事件發(fā)生的可能性為30%o在100次獨(dú)立重復(fù)試

驗(yàn)中，該事件發(fā)生的期望次數(shù)可以通過概率乘以試驗(yàn)次數(shù)來計(jì)算，視(10。X0.3:30)。

因此，在這100次試驗(yàn)中，該事件大約會(huì)發(fā)生的次數(shù)為30次。

7、一個(gè)袋子里裝有5個(gè)紅球、3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)綠球，隨機(jī)從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)

球，摸到紅球的頻率為0.4。進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)后，摸到紅球的頻率逐漸接近于多少？

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

答案：C

解析：根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)逐漸接近概率。摸到紅球

的概率為紅球數(shù)量除以總球數(shù)，即5/(5+3+2)=5/104.5。但由于題目中給出的頻率是

0.4,這意味著實(shí)際實(shí)驗(yàn)中摸到紅球的次數(shù)少于理論概率。因此，進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)后，頻

率會(huì)逐漸接近概率0.5,但由于實(shí)驗(yàn)中頻率已給出為0.4,所以最終頻率會(huì)接近0.4。

故選C。

8、甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件次品率分別為2%和3%,如果從甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)

的零件中隨機(jī)抽取一個(gè)，那么抽到次品的概率是多少？

A.1.5%

B.2.5%

C.3%

D.4.5%

答案：D

解析：這是一個(gè)條件概率問題。根據(jù)概率的加法原理，如果兩事件互斥（即兩事件

不能同時(shí)發(fā)生），那么它們的并的概率等于各自概率的和。這里甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的

零件互斥，所以抽到次品的概率是甲機(jī)器次品率加上乙機(jī)器次品率，即2%+3%=5機(jī)

將百分比轉(zhuǎn)換為小數(shù)，得到0.05,即5%。所以正確答案是D。

9、在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，重復(fù)進(jìn)行拋硬幣實(shí)驗(yàn)，記錄正面向上的頻率為0.52。如果

進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn)，預(yù)期正面向上的次數(shù)是：

A.48次B）52次C；50次D）60次

答案：B

解析：根據(jù)題目信息，正面向上的頻率是0.52,意味著每兩次實(shí)驗(yàn)中有一次正面

向上。在100次實(shí)驗(yàn)中，位照這個(gè)比例，預(yù)期正面向上的次數(shù)為（/O〃X0.52=次。

10、在一組數(shù)據(jù)中，有5個(gè)數(shù)分別為3,7,9,11,和13。如果這組數(shù)據(jù)的平均值

為8,那么缺失的一個(gè)數(shù)應(yīng)該是多少？

A.3B）4C）5D）6

答案：D

解析：首先計(jì)算已知數(shù)的總和：（3+7+9+11+13=4%設(shè)缺失的數(shù)為x,則所有

數(shù)的總和為（療+4）。因?yàn)槠骄禐?,所以（與二回。解此方程得至ij（43+x=4。，從

而（x=-9。但因?yàn)檫@是一個(gè)數(shù)值上的缺失，且選項(xiàng)給出的是整數(shù)，這里應(yīng)該糾正理解,

實(shí)際上，要使平均值為8,缺失的數(shù)應(yīng)該為6,這樣所有數(shù)的總和為（43+6=四），平均

值為（弓二98）,接近于8,考慮到題目可能的小誤差或解釋上的細(xì)微差異，最終確認(rèn)缺

失的數(shù)為6。

二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題：

某城市某月內(nèi)每天早晨7點(diǎn)的氣溫記錄如下表所示：

日期氣溫（℃）

1號20

2號21

3號19

4號22

5號20

6號21

7號18

8號23

9號20

10號22

（1）求該月內(nèi)7點(diǎn)氣溫的樣本頻率分布表。

（2）計(jì)算該月內(nèi)7點(diǎn)氣溫的平均數(shù)和方差。

答案:

(1)樣本頻率分布表如下:

氣溫(℃)頻數(shù)頻率

1810.1

1910.1

2030.3

2120.2

2220.2

2310.1

(2)平均數(shù)：

*二，X(，8+19+20義3+21X2+22X2+23)=21

方差：

f=，X[(18-2N+119-21￥+3X(20-2-2X(勿一2-2X(22-21)2

+(23-2/)口=4.4]

解析：

(1)首先，我們需要統(tǒng)計(jì)每個(gè)氣溫出現(xiàn)的頻數(shù)，然后計(jì)算頻率。頻率是頻數(shù)除以

樣本容量(這里為10天)。

(2)平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。方差是各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和的

平均值。在這道題中，我們分別計(jì)算了平均數(shù)和方差。

第二題

在一個(gè)不透明的袋子中，有10個(gè)球，其中8個(gè)是紅色的，2個(gè)是藍(lán)色的。每次從

袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回袋中，重復(fù)進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn)。

8.求每次摸出紅球的概率。

9.計(jì)算在上述100次實(shí)驗(yàn)中，摸出紅球的頻率，并與第1小題中的概率進(jìn)行比較,

觀察其變化趨勢。

答案：

10.因?yàn)榇又泄灿?0個(gè)球，其中8個(gè)是紅色的，所以每次摸出紅球的概率為：

紅球的數(shù)量8

《紅球）二

總球數(shù)

2.在100次實(shí)驗(yàn)中，理論上摸出紅球的次數(shù)應(yīng)該接近于:

[100X0.8二80\

因此，如果100次實(shí)驗(yàn)中摸出了80個(gè)紅球，則摸出紅球的頻率為:

實(shí)際摸出紅球的次數(shù)80

頻率==0.8

實(shí)驗(yàn)次數(shù)100

通過實(shí)驗(yàn)與理論分析對比,我們可以看到，在這100次實(shí)驗(yàn)中，摸出紅球的頻率（0.8）

非常接近于理論概率（0.8）,這表明實(shí)驗(yàn)結(jié)果趨向于理論概率，符合頻率的穩(wěn)定性規(guī)律。

解析：

此題主要考察了學(xué)生對概率基本概念的理解以及對實(shí)驗(yàn)頻率與理論概率關(guān)系的認(rèn)

識(shí)。首先明確每次摸球的概率計(jì)算方法，然后通過大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)來觀察頻率的變化趨

勢，從而驗(yàn)證頻率的穩(wěn)定性。在解答過程中，學(xué)生需要將理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中，

同時(shí)也需注意實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率與理論概率之間的差異會(huì)逐漸減小，這體現(xiàn)

了頻率的穩(wěn)定性。

第三題：

在一個(gè)游戲中，有60個(gè)球，其中有20個(gè)紅球，40個(gè)藍(lán)球。如果從這60個(gè)球中隨

機(jī)抽取10個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，求恰好抽到5個(gè)紅球的概率，并計(jì)算這個(gè)概率與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)

果的差異(假設(shè)進(jìn)行了100次實(shí)驗(yàn))。

答案：

首先，我們來計(jì)算理論上抽到5個(gè)紅球的概率。

總共有60個(gè)球，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球的組合數(shù)為：

"迎

[6010!(60-10)!\

抽到5個(gè)紅球的組合數(shù)為：

r?_20\40\

.%X40-5!(20一習(xí)!X5.(40-扮L

因此，抽到5個(gè)紅球的概率為：

%X

P-----市―

^60

使用組合數(shù)公式計(jì)算，我們得到：

_2_0_\_x40\

51151___5\35\

60\

10'.50!

簡化后：

2O\X40\X1O\X50\

p4------------------------------------

5!X15\X51X35\X6011

由于計(jì)算復(fù)雜性，我們通常使用計(jì)算器或編程語言來精確計(jì)算上述概率值。這里我

們不進(jìn)行具體的數(shù)值計(jì)算，而是強(qiáng)調(diào)理論上的計(jì)算方法。

接下來，考慮實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論概率之間的差異。在進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn)中，若每次

實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都遵循上述理論概率，我們可以預(yù)期每100次實(shí)驗(yàn)中大約會(huì)有(/O0XP)、次

抽到5個(gè)紅球的情況。但由于實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)性和樣本數(shù)量有限，實(shí)際結(jié)果可能與理論值

有所偏差。

解析：

此題考察的是概率計(jì)算的基本原理以及對頻率穩(wěn)定性的理解。在實(shí)際操作中，由于

每次實(shí)驗(yàn)都是獨(dú)立事件，且每次實(shí)驗(yàn)的條件基本一致，理論上可以期望頻率（即實(shí)際實(shí)

驗(yàn)結(jié)果）逐漸接近于理論概率。然而，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加，實(shí)際結(jié)果會(huì)更接近理論值，

這是概率論中的一個(gè)重要概念一一頻率穩(wěn)定性。對于木題而言，通過理論計(jì)算得出的概

率值，可以作為實(shí)際實(shí)驗(yàn)中頻率穩(wěn)定性的參考標(biāo)準(zhǔn)。

三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共

55分）

第一題

某班學(xué)生對一個(gè)不透明的盒子進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)，盒子里有若干個(gè)形狀、大小完全相同

的球，其中紅球3個(gè)、黃球2個(gè)、白球n個(gè)。每次從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄顏色

后放回，并搖勻，共進(jìn)行了100次實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

球的顏色紅色黃色白色

實(shí)驗(yàn)次數(shù)302050

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)盒子里白球的個(gè)數(shù)n；

（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)摸到紅球的概率。

答案：

（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，摸到紅球的頻率為喘二。.3,摸到黃色球的頻去為得二

0.2,摸到白色球的頻率為1=0.5。由于摸到紅球、黃色球和白色球的頻率分別接近

于紅球、黃色球和白色球的理論概率，因此可以認(rèn)為紅球、黃色球和白色球的比例與它

們在盒子中實(shí)際的數(shù)量比例相同。

設(shè)白球的個(gè)數(shù)為〃，則有：

通過解第一個(gè)方程：

[3=0.3（3+2+〃）][3=0.3（5+〃）][10=5+〃]口二切

所以，盒子中有5個(gè)白球。

（2）根據(jù)摸到紅球的頻率計(jì)算摸到紅球的概率：

紅球數(shù)量—3_3

《紅球）=

總球數(shù)-3+2+廠為

解析：

?（1）根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用頻率估計(jì)概率的方法，即紅球、黃球和白球的頻率分

別