單自由度非線性振動(dòng)等效線性化法分析

陳儉勇

2等效線性化法

(1)等效線性化法簡(jiǎn)介

非線性振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程可以概括為：

??/?\

inx+kxsfx.x,￡為小量。(1)

\/

當(dāng)￡=>0時(shí)，mx+kx=O=>x=acos0(2)

方程(1)的一次近似解設(shè)為x=〃cos。,

())=cot^x=-acnsin0

可將非線性力展開成傅里葉級(jí)數(shù)并僅

\/

保留基頻；

8f=￡/(t7COS0,-t?sin^)

=4(67)cos0+B1⑷sin°+o(/)

其中，

4⑷=—J。8/(acos(I),-act)sin功cosM0

1尸九.\?

B1(4)=一J?！?'(qcos0,一q①sin°)sin川。

摘要：對(duì)于單自由度非線性振動(dòng)的微分方程的求解方法很多，但等效線，、生法

是一種處理簡(jiǎn)單、實(shí)左的方法。其對(duì)于研究如單擺等弱非線性問(wèn)題的精度是可

以滿足要求的。當(dāng)前關(guān)于單擺式運(yùn)動(dòng)的研究不斷深入和創(chuàng)新，形成能夠使主體

結(jié)構(gòu)耗能減震的TMD隹尼器。

關(guān)鍵詞：非線性振動(dòng)；等效線性化；單擺；TMD阻尼器

：0322：A

1引言

工程系統(tǒng)可以分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，對(duì)于愛(ài)性系統(tǒng)的動(dòng)力微分方程的求

解已經(jīng)有很成熟和精確的方法。但對(duì)于非線性系統(tǒng)的動(dòng)力微分方程的求解還沒(méi)

有精確的方法，現(xiàn)在形成并應(yīng)用的有相平面法，攝動(dòng)法，數(shù)值法，其中一種方

法-等效線性化法由于處理簡(jiǎn)單常被應(yīng)用研究弱非線性問(wèn)題。本文將詳細(xì)分析和

研究等效線性化法處理思路和應(yīng)用。

2等效線性化法

（1）等效線性化法筒介

非線性振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程可以概括為：

,為小量。（1）

當(dāng)時(shí)，（2）

方程（1）的一次近似解設(shè)為，

可將非線性力展開成博里葉級(jí)數(shù)并僅保留基頻；

(3)

其中，

將其帶入方程（1）可得：

（4）

因此，可記為：

這樣，就可以將非線性系統(tǒng)化為形式上的線性系統(tǒng)即：

-為等效阻尼系數(shù)，-為等效剛度系數(shù)，則有，系統(tǒng)的固有頻率為：，系統(tǒng)的

阻尼比為：

系統(tǒng)的解為：

（2）等效線性化方法的最優(yōu)性

當(dāng)假設(shè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，在的一個(gè)周期內(nèi)考志非線性力與等效線性力誤差

的平方累計(jì)：

（6）

以代入（5）式則有，

為確定△的極值，分別對(duì)和取偏導(dǎo)數(shù)有：

（7）

從上式可知，當(dāng)且僅當(dāng)（5）成立時(shí)有，，故此時(shí)有極值，再分別對(duì)（7）式

求二階倒數(shù)可知：

由高等數(shù)學(xué)的極值定律可知，（5）式給出的，使取極小值。

因此，假設(shè)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)等效線性化力逼近非線性力時(shí)的誤差平方和累計(jì)最

小。故此時(shí)等效線性化具有最優(yōu)性。

3單擺的非線性振動(dòng)

單擺系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為：

當(dāng)擺角不大時(shí)可寫成：

將右端非線性力展開成傅里葉級(jí)數(shù)：

由上述推導(dǎo)知：

得等效線性系統(tǒng)為：

單擺的振動(dòng)雖然簡(jiǎn)單，但近年來(lái)，工程師發(fā)現(xiàn)單擺可以運(yùn)用到結(jié)構(gòu)的耗能減

震中，并取得了良好的效果。如下圖的懸吊擺式TMD,通過(guò)控制擺長(zhǎng)可以調(diào)節(jié)

其頻率并有效地起到主體結(jié)構(gòu)的減震作用。

圖1懸吊擺式阻尼器

4空腔樓蓋內(nèi)置FPS-TMD結(jié)構(gòu)減震

隨著人們對(duì)擺動(dòng)研究工作的深入，開發(fā)出了多種形式的阻尼器。諸如下圖的摩

擺式阻尼器，它克服了懸吊式阻尼器的所需空間大的缺點(diǎn)，可以在小空間內(nèi)并

可以采用特殊形式的支座來(lái)進(jìn)行調(diào)諧達(dá)到結(jié)構(gòu)減震的目的。

圖中，1-半徑為r的底座滑道，2-質(zhì)量為1n的滑塊，

3-結(jié)構(gòu)樓板質(zhì)量為mn

該摩塊的振動(dòng)微分方程可以描述為：

此非線性微分方程可以采用上述的等效線性化的方法進(jìn)行近似求解。

近年，高層結(jié)構(gòu)為了節(jié)約混凝土的用量研究出了空腔樓板，作者未來(lái)在此領(lǐng)域

想利用空腔的內(nèi)置空間，結(jié)合摩擺式阻尼器的原理，在空腔內(nèi)設(shè)置FPS-TMD阻

尼器以期達(dá)到既經(jīng)濟(jì)又滿足結(jié)構(gòu)耗能減震的雙重目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳立群.關(guān)于單自由度非線性諧迫振動(dòng)等效線性化方法的注記長(zhǎng)沙大學(xué)

學(xué)報(bào)，2003(4).

[2]陳立群.等效線性化方法的最優(yōu)性[J].力學(xué)與實(shí)踐，1996(1).

[3]陳予恕.非線性振動(dòng)[M].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，1983