2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)長島中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）“相似的圖形”是A．形狀相同的圖形 B．大小不相同的圖形 C．能夠重合的圖形 D．大小相同的圖形2．（4分）在△中，，，，那么的正弦值是A． B． C． D．3．（4分）已知非零向量與，那么下列說法正確的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么4．（4分）如圖，下列能判斷的條件是A． B． C． D．5．（4分）如圖，在四邊形中，如果，那么下列條件中不能判定△和△相似的是A． B．是的平分線 C． D．6．（4分）如圖，△的兩條中線、交于點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)并延長與交于點(diǎn)，如果，，那么下列結(jié)論不正確的是A． B． C． D．二、填空題（共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如果地圖上、兩處的圖距是，表示這兩地實(shí)際的距離是，那么實(shí)際距離是的兩地在地圖上的圖距是．8．（4分）已知線段，，如果線段是、的比例中項(xiàng)，那么．9．（4分）已知，那么的值為．10．（4分）計算：．11．（4分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，則．12．（4分）邊長為2的等邊三角形的重心到邊的距離是．13．（4分）已知兩個相似三角形的面積之比是，那么這兩個三角形的周長之比是．14．（4分）已知在△中，，，，那么．15．（4分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)，交對角線于點(diǎn)．如果，那么．16．（4分）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．如果，，那么的值是．17．（4分）如圖，在梯形中，，與交于點(diǎn)，，點(diǎn)在的延長線上，如果，那么．18．（4分）如圖，在△中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將△沿翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時，．三、簡答題：（本大題共4題，每題10分，共40分）19．（10分）計算：．20．（10分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)．設(shè)，．（1）填空：向量（用向量，的式子表示）．（2）在圖中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．21．（10分）如圖，已知，和相交于點(diǎn)，交于，，．（1）求的長；（2）如果△的面積為4，求△的面積．22．（10分）設(shè)，是銳角△的兩條高，連接．（1）求證：△△；（2）若，，求．四、解答題：（本大題共3題，23、24題每題12分，25題14分，共38分）23．（12分）已知：如圖，在四邊形中，，對角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接交線段于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）連接，求證：．24．（12分）已知：如圖，第一象限內(nèi)的點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸上，軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且求：（1）反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）的余弦值．25．（14分）如圖，已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)在射線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，連接、，設(shè)．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時，①求△的面積；（用含的代數(shù)式表示）②當(dāng)時，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時，如果△與△相似，求的值．

參考答案一．選擇題（共6小題）題號123456答案ADDCCB一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）“相似的圖形”是A．形狀相同的圖形 B．大小不相同的圖形 C．能夠重合的圖形 D．大小相同的圖形解：相似圖形是形狀相同的圖形，大小可以相同，也可以不同，故選：．2．（4分）在△中，，，，那么的正弦值是A． B． C． D．解：，，，，故選：．3．（4分）已知非零向量與，那么下列說法正確的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么解：、如果，與的大小相等，與的方向不一向相同，故錯誤；、如果，與的大小相等，與不一定平行，故錯誤；、如果，與的大小不應(yīng)定相等，故錯誤；、如果，那么，故正確；故選：．4．（4分）如圖，下列能判斷的條件是A． B． C． D．解：，；故選：．5．（4分）如圖，在四邊形中，如果，那么下列條件中不能判定△和△相似的是A． B．是的平分線 C． D．解：在△和△中，，如果△△，需滿足的條件有：①或是的平分線；②；故選：．6．（4分）如圖，△的兩條中線、交于點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)并延長與交于點(diǎn)，如果，，那么下列結(jié)論不正確的是A． B． C． D．解：△的兩條中線、交于點(diǎn)，點(diǎn)是△的重心，，，，，，正確；，，錯誤；，是的中點(diǎn)，，，正確；，正確，故選：．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如果地圖上、兩處的圖距是，表示這兩地實(shí)際的距離是，那么實(shí)際距離是的兩地在地圖上的圖距是10．解：設(shè)這個圖距是，地圖上、兩處的圖距是，表示這兩地實(shí)際的距離是，實(shí)際距離是，，解得，故答案為：10．8．（4分）已知線段，，如果線段是、的比例中項(xiàng)，那么6．解：若是、的比例中項(xiàng)，即．則．故答案為：6．9．（4分）已知，那么的值為．解：根據(jù)比的性質(zhì)，，，所以的值為．故答案為：．10．（4分）計算：．解：原式，，，故答案為：．11．（4分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，則．解：由黃金分割的性質(zhì)可得：，，，，，故答案為：．12．（4分）邊長為2的等邊三角形的重心到邊的距離是．解：如圖，△為等邊三角形，過作，交于點(diǎn)，則，，在△中，由勾股定理可得：，則重心到邊的距離是為：，故答案為：．13．（4分）已知兩個相似三角形的面積之比是，那么這兩個三角形的周長之比是．解：兩個相似三角形的面積比是，這兩個相似三角形的相似比是，它們的周長比是．故答案為：．14．（4分）已知在△中，，，，那么9．解：，，故答案為：915．（4分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)，交對角線于點(diǎn)．如果，那么2．解：由題意，，，，，△△，．，，．故答案為：2．16．（4分）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．如果，，那么的值是．解：，，又，，，的值是．故答案為：．17．（4分）如圖，在梯形中，，與交于點(diǎn)，，點(diǎn)在的延長線上，如果，那么．解：在梯形中，，與交于點(diǎn)，，△△，，，，，，故答案為：．18．（4分）如圖，在△中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將△沿翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時，．解：時，則，如圖，，，，，是的中點(diǎn)，，由折疊性質(zhì)可知：，，，，，，，在，，，故答案為：．三、簡答題：（本大題共4題，每題10分，共40分）19．（10分）計算：．解：．20．（10分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)．設(shè)，．（1）填空：向量（用向量，的式子表示）．（2）在圖中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．解：（1），，，是邊的中點(diǎn)，，故答案為：；（2）如圖所示，向量和即為所求作．21．（10分）如圖，已知，和相交于點(diǎn)，交于，，．（1）求的長；（2）如果△的面積為4，求△的面積．解：（1）已知，和相交于點(diǎn)，交于，，．△△，，，，，，，△△，，即，；（2）由（1）得：△△，，，△的面積為4，，△的面積為25．22．（10分）設(shè)，是銳角△的兩條高，連接．（1）求證：△△；（2）若，，求．【解答】（1）證明：，是銳角△的兩條高，，，，又，△△，，，又，△△；（2）解：，，由（1）得△△，，，．四、解答題：（本大題共3題，23、24題每題12分，25題14分，共38分）23．（12分）已知：如圖，在四邊形中，，對角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接交線段于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）連接，求證：．【解答】證明：（1），．又，△△．．，．．（2），，△△．．又，△△．．．24．（12分）已知：如圖，第一象限內(nèi)的點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸上，軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且求：（1）反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）的余弦值．解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入，得：，反比例函數(shù)的解析式；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）當(dāng)時，由可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．25．（14分）如圖，已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)在射線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，連接、，設(shè)．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時，①求△的面積；（用含的代數(shù)式表示）②當(dāng)時，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時，如果△與△相似，求的值．解：（1）①已知平行四邊形中，，，，，，在直角三角形中，由勾股定理得：，，△△，，即，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：，，，