2025-2026學年上海市寶山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）已知，下列等式中正確的是A． B． C． D．2．（4分）已知△中，，，，那么下列各式中，正確的是A． B． C． D．3．（4分）已知，則下列判斷錯誤的是A． B． C．與的方向相反 D．4．（4分）下列各組圖形不一定相似的是A．兩個等腰直角三角形 B．有一個角是的兩個等腰三角形 C．有一個角是的兩個等腰三角形 D．有一個角是的兩個直角三角形5．（4分）如圖，點是的邊上一點，，，如果的面積為15，那么的面積為A．15 B．10 C．7.5 D．56．（4分）在中，，．下列線段的長度不能使的形狀和大小都確定的是A．2 B．4 C． D．二、填空題（本題共12題，每小題4分，滿分48分）7．（4分）在比例尺為的地圖上，測得甲、乙兩地的距離約為9厘米，那么甲、乙兩地的實際距離約為千米．8．（4分）計算，．9．（4分）已知點是線段上的黃金分割點，，線段厘米，那么線段．10．（4分）如果兩個相似三角形的面積比是，那么它們的對應中線的比值為．11．（4分）如圖，當太陽光與地面成角時，直立于地面的玲玲測得自己的影長為，則玲玲的身高約為．（精確到（參考數(shù)據(jù)：，，．12．（4分）如圖，點是△的重心，，，那么的長為．13．（4分）在梯形中，，，是腰的中點，聯(lián)結．如果設，，那么（含、的式子表示）．14．（4分）某超市自動扶梯的坡比為．一位顧客從地面沿扶梯上行了6.5米，那么這位顧客此時離地面的高度為米．15．（4分）在等腰中，，如果，那么．16．（4分）如圖，已知正方形的邊在的邊上，頂點、分別在邊、上，如果，的面積為12，那么的長為．17．（4分）閱讀理解：如果一個三角形中有兩個內角、滿足，那么我們稱這個三角形為特征三角形．問題解決：如圖，在中，為鈍角，，，如果是特征三角形，那么線段的長為．18．（4分）如圖，在矩形中，點是邊上的點，，交邊于點，聯(lián)結、，如果，那么．三．（本大題共8題，滿分78分，第19-22題，每題10分，第23-24題，每題12分，第25題14分）19．（10分）計算：．20．（10分）如圖，在中，，、分別是邊上的中線和高，，，求、的長．21．（10分）已知：如圖，在中，，是斜邊的中線，過點作的垂線與邊和的延長線分別交于點和點．（1）求證：；（2）若，，求的長．22．（10分）某次臺風來襲時，一棵筆直大樹樹干（假定樹干垂直于水平地面）被刮傾斜（即后折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面處，測得，米，求這棵大樹的高度．（結果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：，，23．（12分）如圖，已知在菱形，點是的中點，于點，連接、、，交于點，且．（1）求證：；（2）求證：．24．（12分）已知一次函數(shù)的圖象經過點，與軸正半軸交于點，且．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）如果直線經過點，試問在線段上是否存在點，使△與△相似，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，設線段交軸于點，試寫出與的數(shù)量關系，并說明理由．25．（14分）如圖，在中，，，，點為射線上一點，聯(lián)結，過點作分別交射線、于點、，聯(lián)結，過點作，交直線于點．（1）當點在的延長線上時，如果，求；（2）當點在的延長線上時，設，，求關于的函數(shù)關系式（不需要寫函數(shù)的定義域）；（3）如果，求的長．

參考答案一．選擇題（共6小題）題號123456答案CDDCDA一、選擇題（本題共6小題，每題4分，滿分24分）1．（4分）已知，下列等式中正確的是A． B． C． D．解：，．故選：．2．（4分）已知△中，，，，那么下列各式中，正確的是A． B． C． D．解：，，，，．，故此選項錯誤；．，故此選項錯誤；．，故此選項錯誤；．，故此選項正確．故選：．3．（4分）已知，則下列判斷錯誤的是A． B． C．與的方向相反 D．解：、由可得，此選項正確；、令，則由知，，即，此選項正確；、由可得與的方向相反，此選項正確；、由知，則，此選項錯誤；故選：．4．（4分）下列各組圖形不一定相似的是A．兩個等腰直角三角形 B．有一個角是的兩個等腰三角形 C．有一個角是的兩個等腰三角形 D．有一個角是的兩個直角三角形解：、兩個等腰直角三角形，對應邊成比例，對應角相等，符合定義，一定相似，故正確；、各有一個角是的兩個等腰三角形，的角一定是頂角，其余兩角一定相等，故一定相似，故正確；、各有一個角是的兩個等腰三角形，一個三角形的角可能是底角，另一個三角形的角可能是頂角，所以對應角不一定相等，不一定相似，故錯誤；、各有一個角是的兩個直角三角形，都有一個直角，根據(jù)兩角對應相等，兩三角形相似，故正確．故選：．5．（4分）如圖，點是的邊上一點，，，如果的面積為15，那么的面積為A．15 B．10 C．7.5 D．5解：，，，，，，的面積為15，的面積，故選：．6．（4分）在中，，．下列線段的長度不能使的形狀和大小都確定的是A．2 B．4 C． D．解：如圖，過點作于點．在中，，觀察圖形可知，當或時，三角形唯一確定，故時，三角形不能唯一確定，故選：．二、填空題（本題共12題，每小題4分，滿分48分）7．（4分）在比例尺為的地圖上，測得甲、乙兩地的距離約為9厘米，那么甲、乙兩地的實際距離約為450千米．解：圖上距離為9厘米，實際距離為，，故答案為：450．8．（4分）計算，．解：原式，故答案為：．9．（4分）已知點是線段上的黃金分割點，，線段厘米，那么線段厘米．解：點是線段上的黃金分割點，，線段厘米，厘米，故答案為：厘米．10．（4分）如果兩個相似三角形的面積比是，那么它們的對應中線的比值為．解：設相似比為，則面積比為，已知面積比為，即，所以；對應中線的比等于相似比，故為；故答案為：．11．（4分）如圖，當太陽光與地面成角時，直立于地面的玲玲測得自己的影長為，則玲玲的身高約為1.70．（精確到（參考數(shù)據(jù)：，，．解：根據(jù)題意列式得：，即玲玲的身高為，故答案為：1.70．12．（4分）如圖，點是△的重心，，，那么的長為10．解：由重心性質可知，點是的中點，由條件可得，；故答案為：10．13．（4分）在梯形中，，，是腰的中點，聯(lián)結．如果設，，那么（含、的式子表示）．解：，，，，是腰的中點，，，．故答案為：．14．（4分）某超市自動扶梯的坡比為．一位顧客從地面沿扶梯上行了6.5米，那么這位顧客此時離地面的高度為2.5米．解：設顧客離地面的高度為米，則水平寬度為米，由勾股定理，得，解得：（舍去負值）；故答案為：2.5．15．（4分）在等腰中，，如果，那么．解：過點作于點，過點作于點，，，，設，，由于，，，，由勾股定理可知：，，，故答案為：．16．（4分）如圖，已知正方形的邊在的邊上，頂點、分別在邊、上，如果，的面積為12，那么的長為2.4．解：作于，交于，如圖所示：的面積，，，設正方形的邊長為．由正方形得，，即，，．，，，，，，，，，，，，解得．故正方的邊長為2.4，故答案為：2.4．17．（4分）閱讀理解：如果一個三角形中有兩個內角、滿足，那么我們稱這個三角形為特征三角形．問題解決：如圖，在中，為鈍角，，，如果是特征三角形，那么線段的長為．解：由題意可分：①設，，則在上截取一點，使得，如圖所示：，，，為鈍角，故不存在；②設，，過點作于點，過點作于點，如圖所示：是特征三角形，即，且，，平分，，，，設，，，則有，，，在中，由勾股定理得，解得：或（舍去），；故答案為：．18．（4分）如圖，在矩形中，點是邊上的點，，交邊于點，聯(lián)結、，如果，那么．解：四邊形是矩形，，，，，，，，四點共圓，，，△△，，，，，，設，，，，故答案為：．三．（本大題共8題，滿分78分，第19-22題，每題10分，第23-24題，每題12分，第25題14分）19．（10分）計算：．解：原式．20．（10分）如圖，在中，，、分別是邊上的中線和高，，，求、的長．解：過作于，則，，，，是的中線，，，，，，設，，由勾股定理得：，即，解得：，，即，由勾股定理得：，，，解得：，即，．方法，是的中線，，，，，，，即，解得，，由等積法可得，解得．21．（10分）已知：如圖，在中，，是斜邊的中線，過點作的垂線與邊和的延長線分別交于點和點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【解答】（1）證明：在中，，是斜邊的中線，，，，，，，；（2）解：，，在中，，，，，，，，，，，．22．（10分）某次臺風來襲時，一棵筆直大樹樹干（假定樹干垂直于水平地面）被刮傾斜（即后折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面處，測得，米，求這棵大樹的高度．（結果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：，，解：過點作于點，則．在中，，，，，．在中，，（米，（米，（米．答：這棵大樹原來的高度是米．23．（12分）如圖，已知在菱形，點是的中點，于點，連接、、，交于點，且．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1）于點，，點是的中點，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，點是的中點，，，．24．（12分）已知一次函數(shù)的圖象經過點，與軸正半軸交于點，且．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）如果直線經過點，試問在線段上是否存在點，使△與△相似，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，設線段交軸于點，試寫出與的數(shù)量關系，并說明理由．解：（1）如圖，一次函數(shù)的圖象經過點，與軸正半軸交于點，且．過點作軸于點，，當時，得：，，，，，，解得：，，將點的坐標代入得：，解得：，一次函數(shù)的解析式為；（2）在線段上存在點，使△與△相似；理由如下：如圖2，設直線的解析式為，將點，點的坐標分別代入得：，解得：，直線的解析式為，設，，，，，△△，，即，，解得：，；（3）；理由如下：如圖3，由（2）可知：△△，，，直線的解析式為，軸，，，，，，△△，，，．25．（14分）如圖，在中，，，，點為